Консервативные системы, близкие к линейным.

Рассмотрим свободные псевдогармонические колебания без затухания некоторой массы описываемые уравнением в котором зависимость между упругой силой и перемещением является нелинейной. Предполагая, что эта нелинейность достаточно малая, положим Тогда, рассматривая разложение в ряд Фурье для функции и воспользовавшись приведенными выше формулами, получаем откуда находим аким образом, для первого приближеиия получаем

После ряда выкладок для второго приближения находим

Амплитуда о и во втором приближении не зависит от времени и сохраняет любое свое начальное значение.

Фазовый угол «вращается» с постоянной скоростью, т. е. Рассматривая разложение в ряд Фурьер окончательно получаем следующие формулы для первого приближения

для второго приближения

Пример. Рассмотрим уравнение свободных колебаний математического маятника массой и длиной I без учета трения

угол отклонения маятника от положения равновесия. В данном примере следовательно,

где функции Бесселя.

Согласно приведенным выше формулам находим для первого приближения

где

для второго приближения