2. ОСНОВНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ МЕХАНИКИ МЕДЛЕННЫХ ДВИЖЕНИЙ ПРИ ДЕЙСТВИИ ВИБРАЦИИ НА НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ. МЕТОД ПРЯМОГО РАЗДЕЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЙ

Предполагаем, что уравнения движения системы можно представить в виде

где обобщенная координата масса; соответственно «медленное» и «быстрое» время «большой» параметр); соответственно «медленная» и «быстрая» силы, имеющие по период Относительно гладкости функций делаем обычные предположения, обеспечивающие существование рассматриваемых решений.

Основная предпосылка для применения излагаемого подхода состоит в том, что изучаемое «установившееся по быстрому времени движение системы имеет вид

где соответственно медленная и быетрая составляющие. Предполагаем, что функция есть -периодическая по причем для определенности положим

т. е. считаем равным нулю среднее значение быстрой составляющей по быстрому времени при «замороженном» медленном.

От исходного уравнения (1) можно перейти (см. [4]) к следующей системе двух интегро-дифференциальных уравнений для функций

где через

обозначена быстро изменяющаяся функция, обращающаяся в нуль при

Система (4) — (5) эквивалентна исходному уравнению (1) независимо от темпа изменения функций по крайней мере в том смысле, что если найдено какое-нибудь решение этой системы то выражение будет решением уравнения (1); это устанавливается сложением уравнений (4), (5) при учете (6).

Если известно решениеф ( уравнения (5), то, подставив его в (4), получим

где

Уравнение (7) есть уравнение для определения медленной составляющей X, в котором наряду с обычной медленной силой присутствует некоторая дополнительная медленная сила называемая вибрационной силой Это уравнение и представляет собой основное уравнение механики медленных движений [аналогичное уравнению механики относительного движения (термин предложен Степановым)].

Вибрационная сила является результатом усреднения по быстрому времени «собственно быстрой силы» и силы которая выделяется из медленной силы на траектории движения системы. В соответствии с этим можно различать собственно вибрационную силу и индуцированную вибрационную силу

Для получения точного решения система (4) — (5) не проще исходного уравнения (1). Однако при учете основного предположения о характере функций указанную систему можно решать приближенно следующим образом. Вначале решаем уравнение (5), причем величины изменение которых за период быстрого движения относительно мало, в процессе решения считаем постоянными («замороженными. Предположим, что это уравнение действительно допускает при постоянных из рассматриваемой области изменения этих величин быстро устанавливающееся асимптотически устойчивое -периодическое по решение, удовлетворяющее условию (3). Обычно указанное предположение, которое может быть смягчено, выполняется; заметим, что уравнение (5) таково, что необходимое условие существования указанного решения выполняется автоматически. Подставив найденное решение в правую часть уравнения (4), придем к уравнению типа (7) для медленной составляющей X, которое теперь будет приближенным.

Описанный прием применялся в работах Н. Н. Боголюбова [11], П. Л. Капицы [19] и В. Н. Челомея [34].

Поскольку функция входит в выражение для под знаком интеграла, то можно ограничиться ее приближенным определением из уравнения (5), например в виде суммы небольшого числа гармоник или небольшого числа членов ряда по степеням малого параметра. Поэтому изложенный подход естественно сочетается с асимптотическими методами и методами Пуанкаре—Ляпунова (см. п. 3 гл. II). Часто можно считать, что мало по сравнению с X (X мало по сравнению с вследствие исходного предположения). Наконец, во многих случаях допустимо учитывать лишь линейные члены в разложении функции по степеням положив согласно (6)

где производные вычисляются при Тогда согласно (3) имеется лишь собственно вибрационная сила а индуцированная вибрационная сила отсутствует. Таким образом, индуцированная составляющая имеется лишь в случае нелинейности медленной силы по С другой стороны, при отсутствии в исходном уравнении быстрой силы вибрационная сила может быть отличной от нуля за счет своей иидуцироваииой составляющей, что характерно для случая автоколебаний в системах с медленными силами. В связи с этим заметим, что быстрые движения в нелинейной системе могут возникнуть и при отсутствии быстрых сил Специфика этого «автономного по быстрому времени» (или, при отсутствии зависимости от автономного также и в обычном смысле) случая состоит в том, что период быстрого движения заранее неизвестен и должен быть найден в процессе решения задачи. В данном случае имеется лишь индуцированная составляющая вибрационной силы причем уравнение (5) непременно допускает тривиальное решение которому соответствует нулевое значение Таким образом, для автономной (по крайней мере по быстрому времени системы интерес представляют именно те случаи, когда уравнение (5) допускает нетривиальные асимптотически устойчивые решения автоколебательного типа.

Разделение сил на быстрые и медленные несколько условно в том смысле, что ошибки не произойдет, если некоторые или все медленные силы отнести к быстрым. Именно так и следует поступать в сомнительных случаях.

Заметим также, что, составив уравнение (7), следует произвести проверку справедливости исходного допущения о разделимости движений, ибо движения, описываемые этим уравнением, могут оказаться быстрыми, несмотря на то, что движения, описываемые тем же уравнением при были медленными.

В случае многомерных систем, в которых движения по ряду обобщенных координат являются быстрыми, размерность системы (7) для медленных составляющих X оказывается ниже, чем размерность исходной системы (1).

В изложенной выше общей форме данный подход к решению задач теории нелинейных колебаний был предложен И. И. Блехманом [4]: этот подход является обобщением и развитием приема, использованного П. Л. Капицей в статье [19], где введено также понятие вибрационного момента. В дальнейшем прием П. Л. Капицы был использован С. С. Духиным при решении задачи о дрейфе частицы в стоячей звуковой волие [15] и успешно применен Рагульскисом для изучения динамики механизмов на вибрирующем основании [32]. Понятие о вибрационных силах использовалось в работах [3, 5, 6, 12, 20] для интерпретации результатов поведения различных систем под действием вибрации. Отдельные элементы изложенного подхода встречались в работах, предшествовавших появлению статьи П. Л. Капицы [19]: в исследованиях по нелинейной акустике, радиоэлектронике, и также в предложенном позднее методе исследования нелинейных управляемых систем — методе гармонической линеаризации [22, 23, 31].