12. ПРЯМЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ

В математической физике методы приближенного решения дифференциальных и интегральных уравнений, основанные на сведении задач к решению системы алгебраических уравнений, принято называть прямыми методами. Прямые методы широко применяют непосредственно для построения приближенных решений задач, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями и уравнениями в частных производных, а также вариационных задач, к которым сводятся соответствующие задачи математической физики.

Основная идея прямых методов применительно к вариационным задачам о минимизации функционалов состоит в том, что вариационную задачу рассматривают как предельную для некоторой задачи на экстремум функции конечного числа переменных.

Действительно, функционал можно рассматривать как функцию

бесконечного числа переменных. Это становится очевидным, если предположить, что допустимые функции, минимизирующие функционал, могут быть разложены в ряды

(степенные, тригонометрические или какие-либо другие).

Таким образом, для задания функции в виде ряда достаточно задать значения всех коэффициентов и следовательно, значение функционала в этом случае будет определяться бесконечной последовательностью чисел: т. е. рассматриваемый функционал является функцией бесконечного числа переменных

В отличие от задачи на экстремум функций конечного числа переменных в вариационной задаче необходимо исследовать на экстремум функции бесконечного числа переменных. Поэтому вполне естественной является основная идея прямых методов: рассматривать вариационные задачи как предельные для задач на экстремум функций конечного числа переменных. Если при решении вариационных задач не совершать предельного перехода, то получим их приближенное решение.

Обычно при постановке вариационных задач о минимизации функциалов задаются граничные условия, которым должны удовлетворять искомые функции. Например, требуется найти минимум функционала

при следующих краевых условиях:

В таком случае значение функционала рассматривается на допустимых в данной вариационной задаче кривых (или функциях Их допустимость обуславливается необходимостью удовлетворять заданным краевым условиям и определенным в зависимости от вида функционала свойствам гладкости. Выбор классов допустимых функций и составляет сущность отдельных прямых методов в вариационных задачах.

Метод Ритца заключается в том, что значения некоторого функционала рассматривают не на произвольных допустимых кривых данной вариационной задачи, а лишь на всевозможных линейных комбинациях с постоянными коэффициентами, составленных из первых функций некоторой последовательности линейно независимых функций

Функции должны быть допустимыми в рассматриваемой задаче, что и накладывает некоторые ограничения на выбор последовательности функций (176), называемых координатными функциями. На таких линейных комбинациях функционал превращается в функцию коэффициентов которые выбирают так, чтобы функция достигала экстремума. Отсюда следует, что должны быть определены из системы уравнений

Понятие о допустимости выбора некоторой последовательности функций вида (176) в качестве координатных функций данной вариационной задачи обычно включает требования удовлетворения этими функциями определенным краевым условиям, линейной независимости функций на некотором интервале, а также определенным свойствам гладкости.

Важным требованием к системе координатных функций (176) является условие полноты, заключающееся в том, что каждая допустимая функция приведенной выше вариационной задачи, а также ее производная входящая в функционал может быть сколь угодно точно аппроксимирована линейной комбинацией координатных функций при достаточно большом Это условие является достаточным для построения методом Ритца минимизирующей последовательности функций где для которой значения функционала сходятся к минимуму.

Вопрос о полноте последовательности координатных функций имеет принципиальное значение, так как нарушение требования полноты может привести к большим погрешностям в получаемых приближенных решениях вариационной задачи.

Если с помощью метода Ритца определяют минимум функционала, то приближенное значение его находят с избытком, так как минимизирующие функции составляют лишь часть класса допустимых функций. Следует заметить, что решение системы уравнений (177) является сложной задачей. Эта задача существенно упрощается, если исследуется на экстремум квадратичный относительно неизвестной функции и ее производных функционал так как в этом случае система уравнений (177) линейна относительно Условия сходимости минимизирующей последовательности построенной методом Ритца, к решению вариационной задачи и оценка быстроты сходимости для конкретных, часто встречающихся функционалов были установлены . Крыловым и Н. Н. Боголюбовым [11].

Метод Бубнова-Галеркина также относится к прямым методам, он получил широкое распространение и применяется для получения приближенных решений линейных и нелинейных задач.

Изложим метод Бубнова-Галеркина применительно к линейной краевой задаче, описываемой обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка

с однородными краевыми условиями

Заметим, что неоднородные краевые условия, например и заменой переменных легко сводятся к однородным.

Введем в рассмотрение дифференциальный оператор и запишем уравнение (178) в виде

Выбрав полную на отрезке системы непрерывных линейно независимых функций

удовлетворяющих краевым условиям приближенное решение рассматриваемой краевой задачи будем искать в виде линейной комбинации первых функций системы (180)

Подставляя в уравнение (179), выбираем коэффициенты таким образом, чтобы функция

была ортогональна на отрезке каждой из функций

Приближенное решение при будет стремиться к

Если полученный ряд (183) сходится и допускает двукратное почленное дифференцирование, то функция ортогональна на отрезке каждой функции системы (180), а так как система (180) полная, то а это значит, что у является решением уравнения (179) или (178). Очевидно, у удовлетворяет и краевым условиям так как все

Определение всех коэффициентов из линейной системы (182), а затем предельный переход в (181) при редко осуществимы, поэтому обычно ограничиваются лишь конечным (небольшим) числом при этом условие полноты координатных функций отпадает.

При составлении уравнений в методе Бубнова-Галеркина никакие связи с вариационными задачами вообще говоря не используются, поэтому этот метод является универсальным. Он может быть применен к уравнениям в частных производных различных типов: эллиптическим, гиперболическим, параболическим. Однако для вариационных задач метод Бубнова-Галеркина находится в тесном взаимоотношении с методом Ритца, а в ряде случаев эквивалентен последнему в том смысле, что приводит к тому же приближенному решению, но с помощью более простых выкладок.

Метод Бубнова-Галеркина для задач нелинейных колебаний можно представить как прямой метод построения приближенного решения, удовлетворяющего соответствующему дифференциальному уравнению «в среднем» за цикл колебаний [83]. Действительно, уравнения метода Бубнова-Галеркина вида (182) могут быть получены на основе принципа возможных перемещений [68]. Если считать независимую переменную х временем, выражение (181) для принять за приближенное выражение установившегося процесса вынужденных колебаний, в котором координатные функции времени, — параметры, обеспечивающие наилучшее приближение для а также положить где период внешней возмущающей силы, то уравнения (182) допускают простую механическую интерпретацию. Учитывая, что возможные виртуальные перемещения, соответствующие координатным функциям, заключаем, что уравнения (182) для определения параметров выражают равенство нулю средних значений виртуальной работы за цикл колебания.

В качестве примера рассмотрим систему с линейным демпфированием с нелинейными восстанавливающими силами, описываемую дифференциальным уравнением

Рассматривая установившиеся вынужденные колебания с частотой примем их в первом приближении гармоническими

где

Для определения двух параметров запишем два уравнения вида

где

Подставляя (185) и выполняя интегрирование, получим систему уравнений относительно амплитуды и фазы вынужденных колебаний

Из последних двух уравнений находим

Таким образом, получены амплитудно-фазовые уравнения для приближенного решения (185) методом Бубнова — Галеркина Для каждого частного случая из системы (186) можно вычислить амплитуду с и фазовый угол а.

При отсутствии трения системы (186) находим и т. е. вынужденные колебания либо совпадают по фазе с возмущающей силой, либо противоположны ей Амплитуды этих колебаний определяются соответственно из уравнений

Методом Бубнова-Галеркина можно исследовать более общие уравнения нелинейных колебаний по сравнению с уравнением (184); в частности можно изучить случай демпфирующих и восстанавливающих сил более общего вида [83].

Приведем в заключение схему метода Бубнова-Галеркина для отыскания -периодических решений нелинейной системы [69]

где -мерные векторы; -периодическая по вектор-функция. В соответствии с указанной схемой -периодическое приближение решения порядка разыскивают в виде тригонометрического полинома

коэффициенты которого определяют из системы уравнений

Если система (187) имеет изолированное -периодическое решение и это решение лежит в области непрерывной дифференцируемости функции то существуют

приближения Бубнова-Галеркина любого порядка при условии, что то достаточно велико. Для отклонения верна оценка

где постоянные, не зависящие от от

При общих предположениях из приближения Бубнова-Галеркина любою порядка следует сходимость приближений Бубнова-Галеркина к некоторой функции х, являющейся -периодическим решением системы (187), причем скорость сходимости определяется неравенством где постоянная.

К прямым методам относят также метод наименьших квадратов и метод конечных разностей: они универсальны и хорошо изложены в литературе [23, 41]. Достаточно точным и широко распространенным прямым методом является метод Канторовича [76].