Построение асимптотических решений в случае собственных колебаний, близких к линейным.

Изложим метод построения асимптотических решений сперва для случая колебаний, определяемых автономными дифференциальными уравнениями вида

где в — малый положительный параметр.

При отсутствии возмущений, т. е. при колебания будут чисто гармоническими с постоянной амплитудой и «равномерно вращающимся» фазовым углом: (амплитуда а и фаза колебания будут постоянными во времень величинами, зависящими от начальных условий).

Наличие нелинейного возмущения ( приводит к появлению в решении уравнения (69) высших гармоник, обусловливает зависимость мгновенной частоты от амплитуды и может вызвать систематическое увеличение или уменьшение амплитуды колебаний в зависимости от притока или поглощения энергии возмущающими силами.

Все эти эффекты возмущения исчезают в предельном случае

Учитывая все это, общее решение уравнения (69) ищем в виде

где периодические функции угла с периодом функции времени, определяемые дифференциальными уравнениями:

Итак, возникает задача подбора соответствующих выражений для функций

так, чтобы выражение (70), в которое вместо подставлены функции времени, определяемые уравнениями (71), оказалось бы решением исходного уравнения (69).

Как только эта задача будет решена и будут найдены явные выражения для коэффициентов разложений, стоящих в правых частях (70), (71), вопрос об интегрировании уравнения (69) сведется к более простому вопросу об интегрировании уравнений (71) с разделяющимися переменными.

Определение коэффициентов указанных разложений не вызывает принципиальных затруднений, однако ввиду быстрого усложнения формул практически легко могут быть найдены обычно лишь два-три первых члена. Поэтому применимость метода определяется не свойствами сходимости выписанных сумм разложения (70) при а их асимптотическими свойствами для данного небольшого фиксированного

Таким образом, ставится задача о нахождении таких функций (72), чтобы выражение (70) при фиксированном в котором функции времени определяются уравнениями приближения, удовлетворяло уравнению (69) с точностью до величин порядка малости

Эта задача неоднозначная. Для однозначного построения функций (72) нужно наложить еще некоторые дополнительные условия, например условие отсутствия первой гармоники в функциях

После ряда выкладок можно выписать для уравнения (69) приближенные решения в явном виде

Первое приближение. Решение уравнения (69) в первом приближении где должны быть определены из уравнений первого приближения

Здесь

Заметим, что исходя из (73), можем написать:

где некоторые средние значения на интервале Рассматривая последние выражения, видим, что время в теченне которого величины смогут получить конечные приращения, должны быть порядка С другой стороны уравнения (73) получаются после пренебрежения в уравнениях (71) членами порядка малости а такая ошибка в значениях первых производных за время приводит к ошибке порядка в значениях самих функций

Следовательво, в том интервале времени, в течение которого успеют заметно отойти от своих начальных значений, погрешности в значениях амплитуды и фазы колебаний будут величинами порядка 8, и поэтому в этом интервале в первом приближении можно положить так как погрешность как формулы так и формулы будут величинами первого порядка малости.

Дополнительное слагаемое вносит только качественное уточнение в решение, т. е. малые высшие гармоники. Поэтому лишь в ряде случаев целесообразно рассматривать так называемое «улучшенное первое приближение» где определяют из системы (73).

Второе приближение. Решение уравнения (69) во втором приближении где должны быть определены из уравнений второго приближения

Здесь определяют по (74),

и

где

Рассмотрим частные случаи автономных уравнений (69).