5. ЗАХВАТЫВАНИЕ И ВИБРАЦИОННОЕ ПОДДЕРЖАНИЕ ВРАЩЕНИЯ НЕУРАВНОВЕШЕННОГО РОТОРА

Вибрация оси вращения неуравновешенного ротора с некоторой частотой со может привести к тому, что ротор будет стационарно вращаться с той же или в целое число раз меньшей частотой, несмотря на то, что при отсутствии вибрации ротор вращался с другой частотой Иными словами, имеет место эффект захватывания вращения ротора вибрацией его оси Более того, вибрация может вызвать и устойчиво поддерживать вращение ротора с частотой со или целое число), если при отсутствии вибрации ротор вообще не вращался. Последнее явление называется вибрационным поддержанием вращения неуравновешенного ротора [6, 10, 13, 40]; оно используется, например, в ряде вибрационных машин и устройств (см.

Уравнение движения неуравновешенного ротора, горизонтально расположенная ось которого совершает гармонические колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях по закону

(где амплитуды; — частота колебаний; угол, характеризующий сдвиг фаз между составляющими колебаний), имеет вид (см. рисунок в п. 2. таблицы на с. 245)

здесь угол поворота ротора, отсчитываемый по ходу часовой стрелки; - соответственно масса, момент инерции и эксцентриситет ротора; ускорение свободного падения; момент, передаваемый от электродвигателя (так называемая статическая характеристика); момент сил сопротивления.

Рассматривая вращение ротора с угловой скоростью, близкой к , где положим

и представим уравнение (66) в форме

где

Обычно так как кроме того, будем предполагать, что

Таким образом, зачада сводится к исследованию внешней синхронизации (захватывания) объекта с почти равномерным вращением (см. п. 3). Основное уравнение (21), служащее для определения параметра порождающего решения

может быть представлено в виде [10]

а условие устойчивости сводится к неравенству

где а — решения уравнения (71).

Величина уравнении представляет собой так называемый вибрационный момент (см. гл. IX), определяющий своеобразие поведения ротора с вибрирующей осью; этот момент выражается формулой

где

Величины представляют собой соответственно большую и малую оси эллиптической траектории колебаний, определяемой равенствами (65); значениям соответствует движение оси ротора по эллипсу в направлении хода часовой стрелки, а значениям против часовой стрелки. Поэтому если рассматривается вращение ротора в направлении, совпадающем с направлением движрния оси ротора по эллиптической траектории (65), и при несовпадениях указанных направлений. Величину А назовем эффективной амплитудой колебаний осн ротора. В соответствии с равенствами (74) эффективная амплитуда равна полусумме полуосей эллипса, если рассматривается вращение ротора в направлении движения его оси по эллиптической траектории равна полуразности полуосей при вращении в обратном направлении

При прямолинейных колебаниях оси и эффективная амплитуда равна половине амплитуды колебаний оси ротора. При колебаниях оси ротора по окружности радиуса эффективная амплитуда если рассматривается вращение ротора в том же направлении, что и движение оси по окружности Если указанные направления противоположны, то эффективная амплитуда, а следовательно, и вибрационный момент равны нулю.

Рассмотрим случай, когда двигатель отсутствует или выключен В этом случае уравнение (71) при учете равенства (73) может быть представлено в форме

а условие устойчивости в виде

При выполнении неравенства

уравнение (75) допускает два существенно различных решения

первому из которых согласно (76) соответствует устойчивое, а второму неустойчивое вращение ротора со средней угловой скоростью

Условие существования (77) основного режима вибрационного поддержания вращения неуравновешенного ротора имеет простой физический смысл: момент сил сопротивления вращению ротора не должен превышать некоторого предельного значения равного максимальному значению вибрационного момента что то же самое, мощность, необходимая для преодоления момента сопротивления не должна превышать некоторого предельного значения т. е.

Отметим, что указанная мощность может реально достигать довольно больших значений. Например, для ротора со статическим моментом см при эффективной амплитуде см и частоте колебаний получаем

Следует иметь в виду, что приведенные выше условия еще не гарантируют возникновения рассмотренного стационарного режима вращения ротора при произвольных начальных условиях: этот режим может возбуждаться жестко

Из неравенств (77) и (79) следует, что условие поддержания «ращения ротора в направлении движения его оси по эллиптической траектории является более «мягким», чем соответствующее условие для случая, когда указанные направления противоположны (в первом случае эффективная амплитуда А больше, чем во втором) При колебаниях оси по окружности в определенном направлении вращение ротора в противоположном направлении вообще

невозможно Исключение составляет случай прямолинейных колебаний оси, когда оба направления вращения равноправны.

Рассмотрим случай включенного двигателя При выполнении соотношения

уравнение (71) допускает два существенно различных решения, из которых одно устойчиво, а другое неустойчиво.

Обозначим через

избыточный момент на валу ротора, т. е. разность между моментом сил сопротивления и моментом, развиваемым двигателем, а через наибольшее возможное значение вибрационного момента. Тогда соотношения (71) и (80) могут быть представлены в форме

Смысл условия (83) заключается в следующем: для существования изучаемого режима избыточный момент не должен превышать по абсолютной величине наибольшего возможного значения вибрационного момента.

Рассмотрим подробнее неравенство (83). Предположим сначала, что ось ротора не колеблется. Тогда в соответствии с уравнением движения (66) угловая скорость вращения ротора в установившемся режиме определится из условия равенства вращающего момента и момента сил сопротивления

Введем парциальную угловую скорость вращения ротора отличающуюся от тем, что отсчитывается она в направлении вращения ротора, а не по ходу часовой стрелки. Тогда

Колебания оси ротора в принципе могут вызвать вращение в направлении, противоположном тому, в котором его стремится вращать двигатель. В этом случае, соответствующем работе двигателя в генераторном режиме, может оказаться, что т. е. что парциальная скорость отрицательна. (Заметим, что парциальная скорость со по своему смыслу вполне соответствует частоте автоколебаний системы.)

Пусть тогда согласно (84) и (85) справедливо соотношение

Отсюда следует, что если парциальная угловая скорость положительна и частота колебаний оси ротора (о совпадает с то условие (80) или (83) непременно выполняется. Иными словами, если при отсутствии колебаний оси ротора последний вращался в установившемся режиме с угловой скоростью сто), то при наличии колебаний с частотой этот ротор также сможет вращаться с той же угловой скоростью. Рассматриваемый режим, однако, будет существовать и в случае, когда частота колебаний со не совпадает с парциальной скоростью но не сильно от нее отличается, так что вибрационный момент может скомпенсировать избыточный момент Следовательно, будет существовать интервал изменения частоты колебаний

внутри которого вращение ротора захватывается частотой внешнего возмущения; ширину этого интервала называют полосой захватывания.

Полоса захватывания для рассматриваемой системы может быть достаточно широкой (в частности, когда парциальная угловая скорость со равна нулю).

Помимо интервала (87), содержащего частоту могут быть и иные области изменения частоты в которых существует рассматриваемый режим вращения ротора. Эти области можно опоеделить построением графиков функций [10]. Полагая вблизи

где

находим

Из формул (90) следует отсутствие порога захватывания (такого значения эффективной амплитуды колебаний, при котором полоса захватывания пропадает). Для случая обычной автоколебательной системы этот факт был установлен А. А. Андроновым и А. А. Внттом [1].

Колебания оси ротора с частотой и могут также поддерживать его стационарное вращение по закону

т. е. со средней угловой скоростью в целое число раз меньшей, чем а. Основное уравнение в случае имеет вид [10, 34, 38]

где вибрационный момент

существенно зависит от ускорения свободного падения и не зависит от частоты колебаний. Из условия наличия у уравнения (93) вещественных решений а следуют условия существования рассматриваемых режимов; условие устойчивости по-прежнему дается неравенством (72).

В данном случае существуют два устойчивых режима вращения ротора, отличающихся значениями фазы а; область захватывания обычно значительно уже, чем в случае .

Захватывание вращения неуравновешенного ротора с эксцентрично присоединенным маятником, т. е. по существу двойного физического маятника, рассмотрено в работе [16].

Выше частота вибрации со полагалась заданной и неизменной, т. е. считалось, что вибрация задается «весьма мощным» объектом. Сопоставление приведенного решения с решением аналогичной задачи о взаимной синхронизации выполнено в работе