Квазилинейные системы с одной степенью свободы

Уравнение второго порядка

где периодическая с периодом функция, которую можно представить в виде ряда Фурье

описывает колебания квазилинейной неавтономной системы с одной степенью свободы.

Если частота существенно отлична от чисел то говорят, что колебания происходят вдали от резонанса. В этом случае порождающая система допускает единственное -периодическое решение

а уравнение в вариациях не имеет -периодических решений. Поэтому, согласно изложенному выше, исходное уравнение при достаточно малом допускает единственное -периодическое решение, аналитическое по и обращающееся при это решение можно найтп в виде ряда (42). Условием асимптотической устойчивости рассматриваемого решения является неравенство

на получении которого не будем останавливаться Заметим лишь, что в случае, когда зависит от х линейно, это условие сводится к требованию положительности коэффициента затухания (или его среднего за период значения).

Если равно или мало от него отличается, то говорят, что колебания происходят вблизи от резонанса. В этом случае полагают, что «расстройка» , а также амплитуды гармоники функции имеют порядок малости Относя соответствующие слагаемые к функции уравнение колебаний записывают в форме.

Положив это уравнение можно представить в виде системы первого порядка

Соответствующая порождающая система допускает семейство -периодических решении

зависящее от двух произвольных параметров и Система в вариациях допускает два независимых -периодических решения которые могут быть получены дифференцированием функций по эти решения соответствуют двум чисто мнимым корням характеристического уравнения Иных независимых -периодических решений система в вариациях в данном случае не имеет. Решения сопряженной системы, удовлетворяющие условиям (53), имеют вид

Поэтому уравнения (50) в рассматриваемом случае записываются в форме

Каждому решению этих уравнений для которого корни уравнения

[см. условие (51) и уравнение (54)], имеют отрицательные вещественные части, при достаточно малых отвечает единственное аналитическое относительно асимптотически устойчивое решение исходного уравнения с периодом обращающееся при в порождающее решение Это решение можно искать в виде ряда (42).

Помимо рассмотренного обычного (основного) резонанса в нелинейных системах возможен так называемый резонанс рода [38] — интенсивные субгармонические колбания с периодом возникающие в случаях, когда частота близка к где целое число. Уравнение колебаний при этом может быть записано в форме

где малое слагаемое, пропорциональное расстройке, как и выше, отнесено к функции Порождающее уравнение допускает семейство -периодических решений

по-прежнему зависящее от двух произвольных параметров Уравнения для определения этих параметров теперь имеют вид

а уравнение, от характера корней которого зависит решение вопроса об устойчивости решения, совпадаег с приведенным выше.

Уравнение

описывает колебания автономной квазилинейной системы с одной степенью свободы. Соответствующее порождающее уравнение допускает семейство периодических решений зависящее от произвольного параметра а также от параметра а, который всегда можно ввести, заменив на Рассуждения и простые выкладки, аналогичные проведенным выше, приводят к следующему уравнению для определения параметра [см, уравнение (59)]:

Условием устойчивости периодического решения, соответствующего определенному корню последнего уравнения, согласно (60), будет неравенство

Выражение для поправки к периоду имеет вид