C 1885 года А. Пуанкаре прочитал на разных кафедрах в Сорбонне несколько курсов лекций. Среди них курсы термодинамики, небесной механики, электростатики, оптики, теории вероятностей, распространения тепла, упругости, ньютоновского потенциала и др. Теория вихрей в этом списке занимает особую роль. Она объединяет в себе результаты, изложенные А. Пуанкаре в нескольких курсах. В частности на этот курс обычно ссылаются как на единственный, в котором систематически обсуждается аналогия между гидродинамикой и электростатикой.

Вместе с тем А. Пуанкаре излагает почти все известные к тому времени результаты, которые давно стали классическими. С различных сторон и точек зрения обсуждается теория Гельмгольца, приводится несколько задач, разобранных Кирхгофом. В этом курсе А. Пуанкаре также приводит ряд своих результатов, хотя и ни один из результатов не обладает той законченностью и полнотой, как, например, в небесной механике. Следует особо отметить, что, подобно остальным курсам лекций А. Пуанкаре, курс «Теория вихрей» содержит много неточностей и не совсем законченных рассуждений. Одну из частей своего курса, посвященную идее Гельмгольца об образовании туманов, он так и не опубликовал, как пишет А. Пуанкаре в своем «Аналитическом резюме» «так как я не пришел к заключениям, которые меня бы удовлетворили».

Вообще говоря, по мнению многих известных математиков сорбоннские лекции не вполне отражают тот математический гений, который был присущ Пуанкаре и который присутствует в его научных работах. Также особо следует отметить, что с исторической точки зрения Пуанкаре не всегда ссылается на многие, даже хорошо известные факты и результаты, и поэтому курс не может быть рекомендован для первого чтения, а скорее может быть использован как некоторое дополнительное руководство.

После Пуанкаре теория вихрей претерпела значительные изменения. Прежде всего следует подчеркнуть развитие ее прикладных аспектов, создание феноменологической модели, вихревого обтекания тел жидкостью (метод дискретных вихрей), теории пограничного слоя. Результаты Жуковского, Чаплыгина, Прандтля позволили в первой половине XX века создать общую теорию подъемной силы и решить различные задачи прикладной аэродинамики.

Теоретические вопросы теории вихрей также остаются предметом интенсивного обсуждения. Для получения представления о современном уровне теории вихрей российскому читателю следует рекомендовать две недавно вышедшие в издательстве РХД книги: книгу В. В. Козлова «Общая теория вихрей», посвященную общему формализму вихревой теории и ее связям с различными областями математической физики, оптики, теоретической механики, а также книгу А.В.Борисова и И.С. Мамаева «Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике», в которой разобраны многие классические и современные задачи динамики точечных вихрей, а также дана их новая интерпретация с точки зрения современной алгебраической теории и топологических методов. Гидродинамическим аспектам теории вихрей посвящена книга Ф. Дж. Сэффмэна «Динамика вихрей», вышедшая в 2000 году в издательстве «Научный мир». В заключении следует подчеркнуть, что за прошедшие годы книга Пуанкаре не утратила своего значения, она по-прежнему остается весьма доступным и интересным введением в один из наиболее интересных и важных разделов гидродинамики.

Я также благодарен своему аспиранту А. А. Килину, который взял на себя серьезную работу не только переводчика, но и проверил многие формулы, так как оригинал изобиловал множеством опечаток.