1. Уравнения гидродинамики. Пусть $x_{0}, y_{0}, z_{0}$ – координаты частицы жидкости в начальный момент времени $t=0 ; x, y, z$ – ее координаты во время $t ; u, v, w$ – составляющие скорости; $\rho$ – плотность жидкости, $p$ – давление.

Выберем в качестве переменных $x_{0}, y_{0}, z_{0}, t$, являющиеся системой лагранжевых переменных, или $x, y, z, t$, определяющие систему переменных Эйлера. Примем следующие обозначения, вводя через
\[
\frac{d u}{d t}, \frac{d u}{d x_{0}}, \frac{d u}{d y_{0}}, \frac{d u}{d z_{0}}
\]

производные по отношению к лагранжевым переменным и через
\[
\frac{\partial u}{\partial t}, \quad \frac{\partial u}{\partial x}, \quad \frac{\partial u}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial z}
\]

производные по отношению к эйлеровским переменным.
В лагранжевой системе $x, y, z$ нвляются функциями от $x_{0}, y_{0}, z_{0}, t$.
\[
\frac{d x}{d t}=u, \quad \frac{d y}{d t}=v, \quad \frac{d r}{d t}=w
\]

являются составляющими скорости, а
\[
\frac{d u}{d t}, \quad \frac{d v}{d t}, \quad \frac{d w}{d t}
\]

представляют собой составляющие ускорения.
Для того чтобы записать одну систему переменных через другую, достаточно применить обычные правила дифференцирования, что приводит к формуле
\[
\frac{d u}{d t}=\frac{\partial u}{\partial t}+\frac{\partial u}{\partial x} \frac{d x}{d t}+\frac{\partial u}{\partial y} \frac{d y}{d t}+\frac{\partial u}{\partial z} \frac{d z}{d t}
\]

или
\[
\frac{d u}{d t}=\frac{\partial u}{\partial t}+u \frac{\partial u}{\partial x}+v \frac{\partial u}{\partial y}+w \frac{\partial u}{\partial z} .
\]

Кроме того,
\[
\frac{d \rho}{d t}=\frac{\partial \rho}{\partial t}+u \frac{\partial \rho}{\partial w}+v \frac{\partial \rho}{\partial y}+w \frac{\partial \rho}{\partial z}
\]

Пусть имеется элемент объема $d \tau$, тогда масса жидкости, которую содержит данный элемент, $-\rho d \tau$. Обозначим через $\rho X d \tau, \rho Y d \tau$, $\rho Z d \tau$ проекции на оси равнодействующей всех сил, которые действуют на этот элемент. Уравнения гидродинамики, выражающие состояние равновесия этого элемента, будут иметь вид
\[
\frac{\partial \rho}{\partial x}=\rho X, \quad \frac{\partial \rho}{\partial y}=\rho Y, \quad \frac{\partial \rho}{\partial z}=\rho Z .
\]

Для того чтобы получить из этих уравнений уравнения гидродинамики, необходимо к действительным силам добавить фиктивные силы инерции (принцип Даламбера). Составляющие этих сил инерции соответственно равны произведению составляющих ускорения на массу с измененным знаком, то есть
\[
-\rho d \tau \frac{d u}{d t}, \quad-\rho d \tau \frac{d v}{d t}, \quad-\rho d \tau \frac{d w}{d t} .
\]

Следовательно, уравнения гидродинамики можно представить в форме: $1^{\circ}$. В лагранжевой системе
\[
\frac{\partial p}{\rho \partial x}=X-\frac{d u}{d t}, \quad \frac{\partial p}{\rho \partial y}=Y-\frac{d v}{d t}, \quad \frac{\partial p}{\rho \partial z}=Z-\frac{d w}{d t} .
\]
$2^{\circ}$. В эйлеровой системе
\[
\frac{\partial p}{\rho \partial x}=X-\frac{\partial u}{\partial t}-u \frac{\partial u}{\partial x}-v \frac{\partial u}{\partial y}-w \frac{\partial u}{\partial z} \text { и т.д. }
\]
2. В последующем будем полагать, что $x, y, z$ являются непрерывными функциями $x_{0}, y_{0}, z_{0}$. Это условие, вообще говоря, выполнено не всегда. Действительно, пусть два сосуда, разделенные перегородкой с открытым отверстием, заполнены жидкостью и в одном из них давление больше, чем в другом. Это приведет к тому, что жидкость в трубке получит равномерное движение, а жидкость в сосудах останется неподвижной. Предположим, что трубка имеет форму цилиндра, параллельного оси $x$.

Вне цилиндра имеем равенство
\[
x=x_{0}, \quad y=y_{0}, \quad z=z_{0} ;
\]

во внутренней части –
\[
x=x_{0}+v t, \quad y=y_{0}, \quad z=z_{0} .
\]

Таким образом, $x$ является разрывной функцией от $x_{0}, y_{0}, z_{0}$.
Если $x, y, z$ являются непрерывными функциями от $x_{0}, y_{0}, z_{0}$, то частицы жидкости, образующие в начальный момент времени $t=0$ кривую или непрерывную поверхность, образуют новую кривую или непрерывную поверхность в некоторый момент времени $t$; если же кривая в начальный момент времени замкнута, то она остается таковой в любой момент времени $t$.

Действительно, пусть частицы в начальном положении образуют некоторую кривую. Уравнения этой кривой могут быть выражены следующим образом:
\[
x_{0}=f_{0}(\alpha), \quad y_{0}=f_{0}^{\prime}(\alpha), \quad z_{0}=f_{0}^{\prime \prime}(\alpha),
\]

где $f_{0}, f_{0}^{\prime}, f_{0}^{\prime \prime}$ являются непрерывными функциями параметра $\alpha$.
Во время $t$ координаты частиц становятся $x, y, z$, они же в свою очередь, согласно гипотезе, являются непрерывными функциями от $x_{0}$, $y_{0}, z_{0}$. Следовательно, они будут непрерывными функциями и от $\alpha$ :
\[
x=f(\alpha), \quad y=f^{\prime}(\alpha), \quad z=f^{\prime \prime}(\alpha) .
\]

Эти уравнения определяют также непрерывную кривую.
Если первоначальная кривая $C_{0}$ замкнута, то $x_{0}, y_{0}, z_{0}$ являются периодическими функциями от $\alpha$. Так как $x, y, z$ – однозначные функции $x_{0}, y_{0}, z_{0}$, они также будут периодическими функциями от $\alpha$, а кривая $C$, заполненная частицами в момент времени $t$, также является замкнутой.

Если частицы в начальный момент времени занимают непрерывную поверхность $S_{0}$, то их координаты выражаются следующим образоM
\[
x_{0}=f_{0}(\alpha, \beta), \quad y_{0}=f_{0}^{\prime}(\alpha, \beta), \quad z_{0}=f_{0}^{\prime \prime}(\alpha, \beta),
\]

где $f_{0}, f_{0}^{\prime}, f_{0}^{\prime \prime}$ являются непрерывными функциями от параметров $(\alpha, \beta)$. В момент времени $t$ координаты становятся $x, y, z$ и будут непрерывными функциями от $x_{0}, y_{0}, z_{0}$ и, следовательно, от $(\alpha, \beta)$. Таким образом:
\[
x=f(\alpha, \beta), \quad y=f^{\prime}(\alpha, \beta), \quad z=f^{\prime \prime}(\alpha, \beta),
\]

где $f, f^{\prime}, f^{\prime \prime}$ – непрерывные функции; и эти уравнения задают непрерывную поверхность $S$.
3. Уравнение непрерывности. Рассмотрим элемент поверхности $d \omega$ и попытаемся оценить количество жидкости, которое пересекает этот элемент в течение времени $d t$. Частицы, пересекающие элемент $d \omega$ за время $t$, переходят в момент времени $t+d t$ в элемент поверхности $d \omega^{\prime}$, бесконечно близкий $d \omega$. В частности, центр тяжести $G$ элемента $d \omega$ переходит в $G^{\prime}$ – центр тяжести элемента $d \omega^{\prime}$. Частицы, которые пересекают $d \omega$ за время $t+d t$, заполнят сам этот элемент. Наконец, те частицы, которые пересекли $d \omega$ в интервале между $t$ и $t+d t$, будут находиться в промежуточных положениях.
Подводя итог сказанному, отметим, что все частицы, которые прошли через $d \omega$ за время $d t$ находятся в момент $t+d t$ в объеме, уподобляемом цилиндру, имеющему основание в виде элемента $d \omega$, с образующими параллельными $G G^{\prime}$ (рис. 1). Заметим также,
Рис. 1 что $G G^{\prime}=V d t$, где $V$ является скоростью жидкости в рассматриваемый момент времени. Высота цилиндра является проекцией $G G^{\prime}$ на нормаль к $d \omega$. Таким образом:
\[
V d t \cos \left(G^{\prime} G N\right)=V_{n} d t,
\]

а количество жидкости, пересекающей элемент $d \omega$ за время $d t$, равно:
Рис. 2
\[
\rho V_{n} d \omega d t .
\]

Рассмотрим теперь прямоугольный параллелепипед, ребра которого параллельны осям координат и соответственно равны $d x, d y, d z$ (рис. 2). Из ранее сказанного следует, что масса жидкости, которая пересекает за время $d t$ сторону $A B C D$, перпендикулярную оси $O x$, равна:
\[
\rho u d y d z d t
\]

а масса жидкости, которая пересекает противоположную сторону:
\[
\left(\rho u+\frac{\partial \rho u}{\partial x}\right) d y d z d t .
\]

Таким образом, масса жидкости, вошедшей в параллелепипед через эти стороны, выражается в виде
\[
-\frac{\partial \rho u}{\partial x} d x d y d z d t .
\]

Производя подобные вычисления для двух других пар сторон, можно найти, что общая масса жидкости, вошедшей в параллелепипед за время $d t$, равна:
\[
-\left(\frac{\partial(\rho u)}{\partial x}+\frac{\partial(\rho v)}{\partial y}+\frac{\partial(\rho w)}{\partial z}\right) d x d y d z d t .
\]

С другой стороны, приращение массы жидкости $\rho d x d y d z$ в объеме параллелепипеда за время $d t$ будет иметь вид
\[
\frac{\partial \rho}{\partial t} d x d y d z d t
\]

так как $\frac{\partial \rho}{\partial t} d t$ представляет приращение плотности $\rho$ за время $d t$.
Таким образом, необходимо, чтобы
\[
\frac{\partial \rho}{\partial t}+\frac{\partial(\rho u)}{\partial x}+\frac{\partial(\rho v)}{\partial y}+\frac{\partial(\rho w)}{\partial z}=0,
\]

что представляет собой уравнение непрерывности в системе переменных Эйлера. Это уравнение может быть записано также следующим образом:
\[
\frac{\partial \rho}{\partial t}+\sum \rho \frac{\partial u}{\partial x}+\sum u \frac{\partial \rho}{\partial x}=0
\]

либо, принимая во внимание отношение (2),
\[
\frac{d \rho}{d t}+\rho \sum \frac{\partial u}{\partial x}=0 .
\]

Отметим, что в последней форме содержится два вида производных.
4. Упрощение уравнений Лагранжа. Уравнения Лагранжа поддаются упрощению, если принять некоторые допущения, необходимые для применения принципа Гельмгольца.
Если силы $X, Y, Z$ допускают потенциал $V$, имеем:
\[
X=\frac{\partial V}{\partial x}, \quad Y=\frac{\partial V}{\partial y}, \quad Z=\frac{\partial V}{\partial z} .
\]

Заметим, кроме того, что какова бы ни была жидкость, плотность $\rho$, давление $p$ и температура $T$ связаны некоторым отношением:
\[
\rho=f(p, T) .
\]

Для того чтобы доказываемый далее результат был справедливым, необходимо, чтобы $\rho$ была функцией только от $p$. Это возможно, если рассматривать идеальную жидкость или газ, которые подчиняются закону Мариотта. Согласно этому закону температура постоянна ( $\rho=p$ ), или если речь идет о газе, то можно предположить, что он подвергается адиабатическому преобразованию $\left(\rho=p^{\gamma}\right)$. Если температура не является постоянной, то необходимо, чтобы поверхности с равными давлениями совпадали с поверхностями равных температур. Также, если имеются две несмешиваемые жидкости, необходимо, чтобы давление было постоянным на поверхности раздела, для которой можно непосредственно применить теорему.
Если $\rho$ является функцией от $p$, то $\frac{d p}{\rho}$ — точный дифференциал, а
\[
\int \frac{d p}{\rho}
\]

представляет собой функцию только от $p$. Положим
\[
V-\int \frac{d p}{\rho}=\psi
\]

и продифференцируем обе части по $x$. Отсюда следует, что
\[
\frac{\partial \psi}{\partial x}=\frac{\partial V}{\partial x}-\frac{\partial p}{\rho \partial x} .
\]

В первом уравнении Лагранжа заменим $\frac{\partial p}{\rho \partial x}$ на величину, полученную из этого соотношения. Учитывая, что $\frac{\partial V}{\partial x}=X$, окончательно имеем:
\[
\frac{d u}{d t}=\frac{\partial \psi}{\partial x}, \quad \frac{d v}{d t}=\frac{\partial \psi}{\partial y}, \quad \frac{d w}{d t}=\frac{\partial \psi}{\partial z} .
\]

5. Теорема Гельмгольца. Рассмотрим бесконечное количество частии жидкости, образующих в момент $t=0$ замкнутую кривую $C_{0} ;$ в момент $t$ эти частицы образуют другую замкнутую кривую $C$ (2). Интеграл
\[
J=\int(u d x+v d y+w d z)
\]

взятый вдоль кривой $C$, постоянен.
Указанная форма интеграла отличается от формы Гельмгольца, первоначально введенной им в своей теореме, но, как мы увидим далее, эквивалентна последней.

В частности, в этой теореме содержится результат Лагранжа, утверждающий, что если в начальный момент времени существует потенциал скоростей, то он существует и в любой другой момент времени.
Действительно, в этом случае имеем:
\[
u d x+v d y+w d z=d \varphi,
\]

интеграл $J$ равен нулю в начальный момент времени. Если интеграл постоянен, то он всегда равен нулю, а выражение под знаком интеграла $\int$ – всегда полный дифференциал.
6. ДоКаЗатЕльСтво тЕоРемЫ. Уравнения замкнутой кривой $C_{0}$ имеют вид:
\[
x_{0}=f_{0}(\alpha), \quad y_{0}=f_{0}^{\prime}(\alpha), \quad z_{0}=f_{0}^{\prime \prime}(\alpha),
\]

где $f_{0}, f_{0}^{\prime}, f_{0}^{\prime \prime}$ являются непрерывными и периодическими функциями от $\alpha$. Для кривой $C$ имеем аналогичное представление:
\[
x=f(\alpha), \quad y=f^{\prime}(\alpha), \quad z=f^{\prime \prime}(\alpha) .
\]

Предположим, что величина $A$ является периодом по переменной $\alpha$ :
\[
J=\int_{0}^{A}\left(u \frac{d x}{d \alpha}+v \frac{d y}{d \alpha}+w \frac{d z}{d \alpha}\right) d \alpha .
\]

Необходимо доказать, что
\[
\frac{d J}{d t}=0 .
\]

Действительно,
\[
\begin{array}{c}
J=\int_{0}^{A} \sum u \frac{d x}{d \alpha} d \alpha \\
\frac{d J}{d t}=\int_{0}^{A} \sum \frac{d u}{d t} \frac{d x}{d \alpha} d \alpha+\int_{0}^{A} \sum u \frac{d^{2} x}{d \alpha d t} d \alpha .
\end{array}
\]

При этом я считаю, что каждая из сумм $\sum$ является полным дифференциалом.
Таким образом,
\[
\begin{array}{l}
\sum \frac{d u}{d t} \frac{d x}{d \alpha} d \alpha=\sum \frac{\partial \psi}{\partial x} \frac{d x}{d \alpha} d \alpha \\
\sum \frac{\partial \psi}{\partial x} \frac{d x}{d \alpha}=\frac{\partial \psi}{\partial x} \frac{d x}{d \alpha}+\frac{\partial \psi}{\partial y} \frac{d y}{d \alpha}+\frac{\partial \psi}{\partial z} \frac{d z}{d \alpha}=\frac{d \psi}{d \alpha},
\end{array}
\]

откуда следует, что
\[
\sum \frac{d u}{d t} \frac{d x}{d \alpha} d \alpha=d \psi
\]

С другой стороны,
\[
u \frac{d^{2} x}{d \alpha d t} d \alpha=u \frac{d u}{d \alpha} d \alpha=\frac{1}{2} \frac{d u^{2}}{d \alpha} d \alpha=\frac{1}{2} d u^{2} \text { и т.д. }
\]

Следовательно,
\[
\frac{d J}{d t}=\int\left[d \psi+\frac{1}{2} d\left(u^{2}+v^{2}+w^{2}\right)\right] .
\]

Подынтегральное выражение является полным дифференциалом, интеграл, взятый по замкнутой кривой, равен нулю, а поэтому
\[
\frac{d J}{d t}=\mathbf{0} .
\]
7. ЗамЕчАниЕ. Эта теорема справедлива при условии, что $d \psi$ – полный дифференциал, иначе говоря, что $\rho$ является функцией от $p$. При этом внешние силы допускают потенциал, то есть в системе отсутствует трение. Иногда об этом последнем условии говорят, что теорема справедлива при отсутствии мгновенных сил ${ }^{1}$. Эта формулировка не совсем точна.
${ }^{1}$ Forces instantanées (франц.) – Прим. ред.

8. Теорема Стокса. Для дальнейшего преобразования теоремы Гельмгольца применим теорему Стокса, предварительно напомнив ее читателю.

Пусть имеется замкнутая кривая С. Эта кривая лежит на некоторой поверхности и ограничивает на ней некоторую площадь $A$. Пусть $d \omega$ – элемент этой площади; $l, m, n$ – направляющие косинусы нормали к $d \omega$. Теорема Стокса утверждает, что
\[
\begin{array}{l}
\int_{C}(u d x+v d y+w d z)= \\
=\int d \omega\left[l\left(\frac{d w}{d y}-\frac{d v}{d z}\right)+m\left(\frac{d u}{d z}-\frac{d w}{d x}\right)+n\left(\frac{d v}{d x}-\frac{d u}{d y}\right)\right],
\end{array}
\]

где первый интеграл берется по всем элементам кривой $C$; второй по всем элементам $d \omega$ площади $A$.
$1^{\circ}$. Предположим сначала, что площадь $A$ – плоская и располагается, например, в плоскости $(x, y)$. В этом случае:
\[
l=m=0, \quad n=1, \quad d z=0, \quad d \omega=d x d y,
\]

а поэтому
\[
\int_{C} u d x+v d y=\int d x d y\left(\frac{d v}{d x}-\frac{d u}{d y}\right) .
\]

Это – известная теорема анализа. То же самое будет и в двух других координатных плоскостях.
$2^{\circ}$. Площадь $A$ является плоской, но расположенной в некоторой произвольной плоскости.

Пусть три бесконечно малых отрезка $O A, O B$, $O C$ (рис. 3) параллельны осям. Соєдиним точки $A$, $B, C$; они образуют бесконечно малый треугольник $A B C$. Наша теорема справедлива для этого треугольника. Действительно,
\[
\int_{A B C A}=\int_{A B O A}+\int_{B C O B}+\int_{C A O C} .
\]

Рис. 3

При этом стороны $O A, O B, O C$ дважды пробегаются в противоположных направлениях, в правой части остаются интегралы, взятые вдоль $A B, B C, C A$, как и в левой части. Исходя из того, что треугольники $A O B$ и т.д. бесконечно малые, и прилагая к каждому из этих треугольников, лежащих в координатных плоскостях, равенство (1), получим:
\[
\begin{aligned}
\int(u d x+ & v d y+w d z)= \\
& =\overline{A O B}\left(\frac{d w}{d y}-\frac{d v}{d z}\right)+\overline{A O C}\left(\frac{d u}{d z}-\frac{d w}{d x}\right)+\overline{B O C}\left(\frac{d v}{d x}-\frac{d u}{d y}\right) .
\end{aligned}
\]

Треугольники $A O B, A O C, B O C$ являются ни чем иным как проекцией треугольника $A B C$ на координатные плоскости. Таким образом, если обозначить
\[
A B C=d \omega, \quad A O B=l d \omega, \quad A O C=m d \omega, \quad B O C=n d \omega,
\]

то будем иметь:
\[
\int u d x+v d y+w d z=\int l d \omega\left(\frac{d w}{d y}-\frac{d v}{d z}\right)+\ldots
\]

Теперь теорема доказана в общей постановке, так как произвольная площадь может быть разложена на достаточно маленькие треугольники, подобные $A B C$.

В своем известном трактате Максвелл часто пользовался этой теоремой.
9. Замечания Гельмгольца. Определение вихря. Гельмгольц ввел следующие величины
\[
\frac{d w}{d y}-\frac{d v}{d z}=2 \xi, \quad \frac{d u}{d z}-\frac{d w}{d x}=2 \eta, \quad \frac{d v}{d z}-\frac{d u}{d y}=2 \zeta .
\]

В этом случае, согласно формуле Стокса, имеем:
\[
\int(u d x+v d y+w d z)=2 \int d \omega(l \xi+m \eta+n \zeta) .
\]

Согласно установленному нами уравнению (6), этот интеграл, взятый по площади $A$, постоянен при движении этой площади.

Вектор, имеющий компоненты $(\xi, \eta, \zeta)$, Гельмгольц назвал вихрем (завихренностью) ${ }^{1}$. Этот термин требует некоторых пояснений.

Предположим, что кривая $C$ является окружностью (рис. 4). Через точку $M$ на этой кривой проведем вектор $M V$, который представляет собой скорость с составляющими $(u, v, w)$. Выражение
\[
u d x+v d y+w d z
\]

Рис. 4
представляет произведение элемента кривой $M M^{\prime}$ на проекцию скорости в направлении $M M^{\prime}$. Это произведение представляет собой работу, которую дала бы сила, численно равная скорости, когда ее точка приложения переместилась бы из $M$ в $M^{\prime}$. Интеграл $J$ равен работе, которую произвела бы эта сила, если бы точка $M$ описывала всю окружность.

Разложим вектор $M V$ на три другие, первый из которых параллелен оси $O A$, перпендикулярной плоскости круга, второй направлен по касательной к кругу в точке $M$ и, наконец, третий – по радиус-вектору $O M$. Работа при этом будет произведена только касательной компонентой. Представим эту компоненту в виде $\varphi R$, где $\varphi$ является угловой скоростью, $R$ радиусом круга. Если положить
\[
x=R \cos \omega, \quad y=R \sin \omega,
\]

то получим
\[
J=\int_{0}^{2 \pi} \varphi R^{2} d \omega .
\]

Пусть $\varphi_{0}$ – средняя угловая скорость движения по окружности, определенная формулой
\[
\int_{0}^{2 \pi} \varphi d \omega=2 \pi \varphi_{0} .
\]

Отсюда
\[
J=2 \pi \varphi_{0} R^{2} .
\]

С другой стороны, известно, что для того, чтобы получить элемент интеграла $J$, необходимо умножить элемент $d \omega$ площади $A$ на два и на
${ }^{1}$ Tourbillion (франц.) – Прим. ред.

проекцию $l \xi+m \eta+n \zeta$ вектора $(\xi, \eta, \zeta)$ на нормаль. Эта проекция является нормальной составляющей вихря. Если окружность достаточно мала, то можно принять ограниченную ей площадь за элемент $d \omega$, из чего получим:
\[
J=2 \pi R^{2}(l \xi+m \eta+n \zeta) .
\]

Следовательно,
\[
\varphi_{0}=l \xi+m \eta+n \zeta,
\]

где $\varphi_{0}$ является нормальной составляющей вихря.
10. Линии тока. Таким образом, в каждой точке имеется два вектора: скорость, которая имеет составляющие $u, v, w$, и вихрь с компонентами $\xi, \eta, \zeta$.

Можно рассмотреть линии, для которых касательные вектора в каждой точке совпадают с вектором скорости. Они задаются дифференциальными уравнениями
\[
\frac{d x}{u}=\frac{d y}{v}=\frac{d z}{w}
\]

и определяют линии тока. Эти линии не обязательно являются траекториями частиц жидкости. Это верно лишь в случае стационарного течения, при котором скорость в каждой точке постоянна во времени.
11. Вихревые линии. Возможно также рассмотреть линии, которые в каждой точке пространства имеют в качестве касательных вихревые вектора. Их дифференциальные уравнения будут иметь вид
\[
\frac{d x}{\xi}=\frac{d y}{\eta}=\frac{d z}{\zeta} .
\]

Это – вихревые линии. Предположим теперь, что скорость не зависит от $z$ и параллельна плоскости $x y$, т.е. $w=0$, а также что производные $u$ и $v$ по $z$ равны нулю. Тогда, по определению вихря (11) (п. 9):
\[
\xi=\eta=0, \quad \zeta=-\frac{d u}{d y} .
\]

Уравнения вихревых линий имеют вид:
\[
\frac{d x}{0}=\frac{d y}{0}=\frac{d z}{\zeta}
\]

или
\[
d x=d y=0 .
\]

В этом случае вихревые линии являются прямыми, параллельными оси $O z$.
12. Вихревые поверхности. Вихревой поверхностью называется поверхность, порожденная вихревыми линиями: иначе говоря, это поверхность, касательная плоскость которой в каждой точке проходит через вектор вихря. Условие, выражающее, что поверхность $f(x, y, z)=0$ является вихревой поверхностью, имеет вид
\[
\xi \frac{d f}{d x}+\eta \frac{d f}{d y}+\zeta \frac{d f}{d z}=0
\]

Рассмотрим дугу некоторой кривой $A B$ (рис. 5), через различные точки этой кривой проведем вихревые линии. Результатом их совокупности будет вихревая поверхность, которая является односвязной, если кривая $A B$ не замкнута.

Проведем на этой поверхности замкнутую кривую $C$, ограничивающую некоторую площадь $\alpha$. Интеграл $J$, взятый вдоль $C$, равен нулю. Действительно,
Рис. 5
\[
J_{C}=\int_{\alpha} 2 d \omega(l \xi+m \eta+n \zeta) .
\]

Но нормальная составляющая вихря $l \xi+m \eta+n \zeta$ равна нулю для всех элементов $d \omega$ площади $\alpha$, принадлежащей вихревой поверхности. Это и приводит к равенству $J=0$.
13. Напротив, если поверхность удовлетворяет свойству, что интеграл $J$, взятый по любой замкнутой кривой, находящейся на этой поверхности, равен нулю, то эта поверхность является вихревой. Действительно,
\[
J=\int_{\alpha} 2 d \omega(l \xi+m \eta+n \zeta) .
\]

Для того чтобы этот интеграл равнялся нулю, какой бы ни была площадь $\alpha$, необходимо, чтобы для всех элементов поверхности
\[
l \xi+m \eta+n \zeta=0,
\]

то есть чтобы нормальная составляющая вихря была равна нулю. Но это и требуется в определении вихревой поверхности.
14. Предположим, что в момент времени $t=0$ имелось некоторое число частиц, занимающих вихревую поверхность. Оказывается, что в любой момент времени $t$ эти частицы также займут вихревую поверхность.

Действительно, согласно вышесказанному, в начальный момент времени $t=0$ интеграл $J$ равен нулю для занятой этими частицами поверхности. По теореме Гельмгольца $J$ остается постоянным. Таким образом, этот интеграл будет равен нулю в любой другой момент времени, а занятая частицами в этот момент времени поверхность снова будет вихревой.

Пересечение двух вихревых поверхностей является вихревой линией, и, напротив, любая вихревая линия всегда определяет две вихревые поверхности.

Теперь рассмотрим множество частиц жидкости, занимающих в начальный момент времени $t=0$ вихревую линию $C_{0}$. В момент времени $t$ эта линия принимает некоторое положение $C$. Я утверждаю, что $C$ также является вихревой линией.

Действительно, пропустим через $C_{0}$ две вихревые поверхности $S_{0}$ и $S_{0}^{\prime}$. В момент времени $t$ эти две поверхности переходят в $S$ и $S^{\prime}$, образующие при пересечении кривую $C$. Согласно уже доказанному, $S$ и $S^{\prime}$ остаются вихревыми поверхностями, таким образом, пересечение $C$ вновь является вихревой линией.
15. Вихревая трубка. Вихревой трубкой называется поверхность, полученная проведением вихревых линий через различные точки замкнутой кривой (рис. 6). На такой поверхности можно выделить два рода замкнутых кривых.

Кривые $C$ первого рода ограничивают часть площади на поверхности.

Кривые второго рода, такие как $D P E Q$, разделяют поверхность на две области, ни одна из которых не ограничена только кривой $D P E Q$.

На развертке поверхности только кривые первого рода являются замкнутыми.
16. Момент вихревой трубки. Интеграл $J$, взятый вдоль замкнутой кривой первого рода, равен нулю (п. 12). Но доказательство не применимо непосредственно к кривым второго вида, и, следовательно, формулировка теоремы должна быть изменена следующим образом:

Теорема. Интеграл $J$, взятый вдоль замкнутой кривой второго рода, имеет одно и то же значение, какой бы ни была эта кривая.

Действительно, пусть $D P E Q$ и $D^{\prime} P^{\prime} E^{\prime} Q^{\prime}$ – два замкнутых контура: необходимо показать, что
Рис. 6
\[
J_{D P E Q}=J_{D^{\prime} P^{\prime} E^{\prime} Q^{\prime}} .
\]

Возьмем точку $P$ на первой кривой, точку $P^{\prime}$ – на второй и соединим их между собой $P P^{\prime}$ (рис. 7). Контур
\[
P E Q D P-P P^{\prime}-P^{\prime} D^{\prime} Q^{\prime} E^{\prime} P^{\prime}-P^{\prime} P
\]

может быть рассмотрен как замкнутый контур первого рода. Таким образом, вдоль этого контура интеграл $J$ равен нулю, другими словами:
\[
J_{P E Q D P}+J_{P P^{\prime}}+J_{P^{\prime} D^{\prime} Q^{\prime} E^{\prime} P^{\prime}}+J_{P^{\prime} P}=0 .
\]

Второй и четвертый интегралы взаимно уничтожаются, так как отрезок $P P^{\prime}$ дважды пробегается в проРис. 7 тивоположных направлениях. Таким образом, получим
\[
J_{P E Q D P}+J_{P^{\prime} D^{\prime} Q^{\prime} E^{\prime} P^{\prime}}=0
\]

или
\[
J_{P E Q D P}=J_{P^{\prime} E^{\prime} Q^{\prime} D^{\prime} P^{\prime}} .
\]

Определенный таким образом интеграл $J$ называется моментом вихревой трубки. Этот момент остается постоянным, в то время как частицы, расположенные в трубке, могут перемещаться.

Рис. 8
17. Применение. Бесконечно тонкие вихревые трубки. Рассмотрим бесконечно тонкую вихревую трубку (рис. 8). Проведем прямое сечение этой трубки (являющейся замкнутой кривой второго рода). Таким образом, можно вычислить момент трубки, взяв интеграл $J$ вдоль этого сечения. Его значение, как следует из п. 9 , равно
\[
J=2 \int d \omega \xi_{n},
\]

где $\xi_{n}$ является нормальной составляющей вихря. В рассматриваемом случае
\[
J=2 \xi d \omega,
\]

так как вектор вихря $\xi$ перпендикулярен выбранному элементу площади $d \omega$ (прямое сечение, которое всегда можно положить параллельным плоскости $y z$ ). Теперь можно заключить, что:

Произведение перпендикулярного сечения бесконечно тонкой вихревой трубки на вихрь постоянно вдоль трубки. Это произведение остается также постоянным в любой момент времени.

Эти два предположения немедленно следуют из того, что $J$ постоянен при тех же условиях, что и п. 6. Они могут быть применены как к жидкостям, так и к газам, когда существует функция, обозначенная ранее через $\psi$.
18. Теоремы, связанные с единственными жидкостями. Пусть имеется бесконечно тонкая трубка тока (силовая трубка) и два перпендикулярных сечения, бесконечно близкие между собой в трубке. Объем трубки, заключенной между этими двумя сечениями (рис. 8), может быть рассмотрен как цилиндр, который имеет в качестве основания дифференциал площади $d \omega$, а в качестве высоты $M M^{\prime}$, где $M$ и $M^{\prime}$ являются точками двух сечений, расположенных на одной и той же вихревой линии. Объем этого цилиндра равен
\[
M M^{\prime} d \omega .
\]

В следующий момент времени частицы, которые составляли этот объем, образуют другую вихревую трубку. Частицы, которые занимали два перпендикулярных сечения, займут другие сечения, бесконечно близкие первоначальным, которые не обязательно будут перпендикулярными. При этом уподобляемый цилиндру объем, заключенный между этими сечениями, будет равен
\[
M_{1} M_{1}^{\prime} d \omega_{1},
\]

где $M_{1} M_{1}^{\prime}$ – отрезок образующей, а $d \omega_{1}$ – перпендикулярное сечение.
Если речь идет о жидкости, то ее объем остается постоянным и
\[
M M^{\prime} d \omega=M_{1} M_{1}^{\prime} d \omega_{1} .
\]

Таким образом, очевидно, что $d \omega$ меняется в обратно пропорциональной зависимости от вихря. При этом расстояние $M M^{\prime}$ между двумя частицами меняется пропорционально вихрю. Можно сказать, что $M M^{\prime}$ представляет собой по величине, направлению и смыслу величину вихря, умноженную на некоторую постоянную $\varepsilon$.

Пусть $x, y, z$ – координаты точки $M$, а $x+\varepsilon \xi, y+\varepsilon \eta, z+\varepsilon \zeta-$ координаты точки $M^{\prime}$.

За бесконечно малый отрезок времени $d t$ координаты точки $M$ станут равными
\[
x+u d t, \quad y+v d t, \quad z+w d t .
\]

Координаты точки $M^{\prime}-$
\[
x+\varepsilon \xi+u_{1} d t, \ldots \text { и т. д. }
\]

При этом
\[
u_{1}=u+\frac{\partial u}{\partial \xi} \varepsilon \xi+\frac{\partial u}{\partial \eta} \varepsilon \eta+\frac{\partial u}{\partial z} \varepsilon \zeta .
\]

Таким образом, координаты точки $M^{\prime}$ запишутся в виде
\[
x+\varepsilon \xi u d t+\varepsilon d t\left(\xi \frac{\partial u}{\partial x}+\eta \frac{\partial u}{\partial y}+\zeta \frac{\partial u}{\partial z}\right) \text { и т. д. }
\]

С другой стороны, учитывая, что проекции $M M^{\prime}$ равняются $\varepsilon \xi, \varepsilon \eta, \varepsilon \zeta$, координаты этой точки имеют вид
\[
x+u d t+\varepsilon\left(\xi+\frac{d \xi}{d t} d t\right) .
\]

Приравнивая два эти выражения, получим
\[
\frac{d \xi}{d t}=\xi \frac{\partial u}{\partial x}+\eta \frac{\partial u}{\partial y}+\zeta \frac{\partial u}{\partial z} .
\]

Это сооотношение тождественно следующему
\[
\frac{d \xi}{d t}=\xi \frac{\partial u}{\partial x}+\eta \frac{\partial v}{\partial x}+\zeta \frac{\partial w}{\partial x} .
\]

Действительно, если вычтем одно из другого, то получим:
\[
0=\eta\left(\frac{\partial u}{\partial y}-\frac{\partial v}{\partial x}\right)+\zeta\left(\frac{\partial u}{\partial z}-\frac{\partial w}{\partial x}\right)
\]

или
\[
0=-2 \eta \zeta+2 \eta \zeta=0 .
\]

Соотношение (15) и два другие, получающиеся перестановкой, выражают теорему Гельмгольца, но исключительно для случая жидкостей.
19. Другие доказательства теоремы Гельмгольца. Доказательство Гельмгольца. Гельмгольц вывел свою теорему, применяя соотношение (15), полученное выше, и используя уравнения Эйлера.
В п. 4 записаны уравнения Лагранжа:
\[
\frac{d u}{d t}=\frac{\partial \psi}{\partial x} \text { и т.д., }
\]

которое содержит как лагранжевы, так и эйлеровы переменные. Для того чтобы оставить только последние, выполним преобразование:
\[
\frac{d u}{d t}=\frac{\partial u}{\partial t}+u \frac{\partial u}{\partial x}+v \frac{\partial u}{\partial y}+w \frac{\partial u}{\partial z} \text { и т. д., }
\]

в результате которого получим:
\[
\left\{\begin{array}{l}
\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial \psi}{\partial x}-u \frac{\partial u}{\partial x}-v \frac{\partial u}{\partial y}-w \frac{\partial u}{\partial z} \\
\frac{\partial v}{\partial t}=\frac{\partial \psi}{\partial y}-u \frac{\partial v}{\partial x}-v \frac{\partial v}{\partial y}-w \frac{\partial v}{\partial z} \\
\frac{\partial w}{\partial t}=\frac{\partial \psi}{\partial z}-u \frac{\partial w}{\partial x}-v \frac{\partial w}{\partial y}-w \frac{\partial w}{\partial z}
\end{array}\right.
\]

Продифференцируем уравнение (3) по $y$, уравнение (2) по $z$ и вычтем одно из другого. Вспомнив предварительно определение $\xi, \eta, \zeta$ (п. 9), получим
\[
\begin{aligned}
2 \frac{\partial \xi}{\partial t} & =-2 u \frac{\partial \xi}{\partial x}-2 v \frac{\partial \xi}{\partial y}-2 w \frac{\partial \xi}{\partial z}-\frac{\partial u}{\partial y} \frac{\partial w}{\partial x}- \\
& -\frac{\partial v}{\partial y} \frac{\partial w}{\partial y}-\frac{\partial w}{\partial y} \frac{\partial v}{\partial z}+\frac{\partial u}{\partial z} \frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial z} \frac{\partial w}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z} \frac{\partial w}{\partial z}
\end{aligned}
\]

С другой стороны,
\[
\frac{d \xi}{d t}=\frac{\partial \xi}{\partial t}+u \frac{\partial \xi}{\partial x}+v \frac{\partial \xi}{\partial y}+w \frac{\partial \xi}{\partial z},
\]

и имеем уравнение непрерывности для жидкостей, которое можно записать в компактной форме:
\[
\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}=0 .
\]

Учитывая эти соотношения, уравнению (4) можно придать форму
\[
\frac{d \xi}{d t}=\xi \frac{\partial u}{\partial x}+\eta \frac{\partial v}{\partial x}+\zeta \frac{\partial w}{\partial x}
\]

В этой форме несложно обнаружить уравнение (16). Наконец, необходимо отметить, что это доказательство теоремы Гельмгольца также применимо только к жидкостям.
20. Доказательство Кирхгофа. Кирхгоф берет за основу уравнения Лагранжа
\[
\frac{d u}{d t}=\frac{\partial \psi}{\partial x}, \quad \frac{d v}{d t}=\frac{\partial \psi}{\partial y}, \quad \frac{d w}{d t}=\frac{\partial \psi}{\partial z},
\]

преобразованные таким образом, что исключена зависимость от лагранжевых переменных.
Воспользуемся соотношением
\[
\frac{d \psi}{d x_{0}}=\frac{\partial \psi}{\partial x} \frac{d x}{d x_{0}}+\frac{\partial \psi}{\partial y} \frac{d y}{d x_{0}}+\frac{\partial \psi}{\partial z} \frac{d z}{d x_{0}} .
\]

Умножим первое уравнение Лагранжа на $\frac{d x}{d x_{0}}$, второе – на $\frac{d y}{d x_{0}}$, третье – на $\frac{d z}{d x_{0}}$, что после суммирования приводит к соотношению
\[
\frac{d u}{d t} \frac{d x}{d x_{0}}+\frac{d v}{d t} \frac{d y}{d x_{0}}+\frac{d w}{d t} \frac{d z}{d x_{0}}=\frac{d \psi}{d x_{0}}
\]

и к двум другим аналогичным, полученным симметричным образом.
21. Впрочем, можно придать этим уравнениям более общую форму, заменяя $x_{0}, y_{0}, z_{0}$ тремя другими переменными $a, b, c$, определенные некоторыми соотношениями
\[
x_{0}=\varphi_{0}(a, b, c), \quad y_{0}=\varphi_{1}(a, b, c), \quad z_{0}=\varphi_{2}(a, b, c),
\]

где $a, b, c$ не зависят от $t$. Производные по $t$ будут одинаковыми в двух системах переменных.
Действуя таким же образом, как и ранее, получим
\[
\frac{d u}{d t} \frac{d x}{d a}+\frac{d v}{d t} \frac{d y}{d a}+\frac{d w}{d t} \frac{d z}{d a}=\frac{d \psi}{d a},
\]

а также два аналогичные уравнения, в которых $a$ заменено на $b$, а затем на $c$.
В результате будем иметь систему:
\[
\left\{\begin{array}{l}
\sum \frac{d u}{d t} \frac{d x}{d a}=\frac{d \psi}{d a} \\
\sum \frac{d u}{d t} \frac{d x}{d b}=\frac{d \psi}{d b} \\
\sum \frac{d u}{d t} \frac{d x}{d c}=\frac{d \psi}{d c}
\end{array}\right.
\]

Продифференцируем (1) по $b$, уравнение (2) по $a$ и вычтем одно из другого
\[
\sum\left(\frac{d^{2} u}{d t d b} \frac{d x}{d a}-\frac{d^{2} u}{d t d a} \frac{d x}{d b}\right)=0 .
\]

Это соотношение тождественно следующему
\[
\frac{d}{d t} \sum\left(\frac{d u}{d b} \frac{d x}{d a}-\frac{d u}{d a} \frac{d x}{d b}\right)=0,
\]

эквивалентному также равенству
\[
\frac{d u}{d b} \frac{d x}{d a}-\frac{d u}{d a} \frac{d x}{d b}+\frac{d v}{d b} \frac{d y}{d a}-\frac{d v}{d a} \frac{d y}{d b}+\frac{d w}{d b} \frac{d z}{d a}-\frac{d w}{d a} \frac{d z}{d b}=\text { const. }
\]

Можно получить два других аналогичных уравнения, меняя местами один за другим $a, b, c$ и изменяя значение произвольной постоянной.
21′. Эти уравнения Кирхгофа эквивалентны уравнению, которое мы привели ранее, т.е.:
\[
J=\int u d x+v d y+w d z=\text { const. }
\]

Действительно, рассмотрим точку $M$, координаты которой $(x, y, z)$ в системе Эйлера или ( $a, b, c$ ) в системе Кирхгофа: $x, y, z$ изменяются во времени, в то время как $a, b, c$ не зависят от $t$, а лишь от $x_{0}, y_{0}, z_{0}$. Точка $M$ принадлежит некоторой кривой $C$. Выберем $a, b, c$ так, чтобы для всех точек этой кривой $c=0$. Если это условие выполняется в момент времени $t=0$, оно будет справедливо в любой момент времени.

Примем для некоторого момента времени $a, b$ как декартовы координаты точки на плоскости. При этом каждой точке $M$ из $C$ будет соответствовать точка $M^{\prime}$ плоскости и, когда $M$ описывает кривую $C$, $M^{\prime}$ описывает некоторую кривую $C^{\prime}$, которая будет замкнутой в том и только в том случае, если $C$ замкнута. Кривая $C^{\prime}$ неподвижна, в то время как кривая $C$ изменяется при движении жидкости. Вычислим значение интеграла
\[
\int_{C} u d x
\]

вдоль кривой $C$ :
\[
\int_{C} u d x=\int_{C^{\prime}}\left(u \frac{d x}{d a} d a+u \frac{d x}{d b} d b\right)
\]

причем второй интеграл берется вдоль кривой $C^{\prime}$. Преобразуем этот интеграл с помощью формулы Стокса (п. 8)
\[
\int_{C^{\prime}}\left(u \frac{d x}{d a} d a+u \frac{d x}{d b} d b\right)=\iint\left[\frac{d}{d a}\left(u \frac{d x}{d b}\right)-\frac{d}{d b}\left(u \frac{d x}{d a}\right)\right],
\]

где двойной интеграл берется по всей площади $A^{\prime}$, ограниченной кривой $C^{\prime}$.

После дифференцирований в подынтегральном выражении получим
\[
\int_{C} u d x=\iint\left(\frac{d u}{d a} \frac{d x}{d b}-\frac{d u}{d b} \frac{d x}{d a}\right) d a d b .
\]

Воспользуемся тем же преобразованием для $\int_{C} v d y$ и $\int_{C} w d z$ и, сложив полученные выражения, будем иметь
\[
J=\int_{C} u d x+v d y+w d z=\int_{A^{\prime}} \sum\left(\frac{d u}{d a} \frac{d x}{d b}-\frac{d u}{d b} \frac{d x}{d a}\right) d a d b .
\]

Площадь $A^{\prime}$ не меняется, так как кривая $C^{\prime}$ фиксирована. Сумма $\sum$, помещенная под знак интеграла, постоянна по рассуждениям Кирхгофа, т.е. $J=$ const.