Основные теоремы. Трубки вращения ${ }^{1}$
107. Вихревые трубки вращения. Предположим, что в бесконечной жидкости существуют вихревые трубки с вращательной симметрией относительно оси $z$. Если в начальный момент времени это условие выполнено, то оно будет выполнено всегда. Плоскость, проходящая через ось $z$, будет плоскостью симметрии.

Пусть $M$ – некоторая точка жидкости. Проведем меридианную плоскость, проходящую через эту точку (рис. 30), и рассмотрим изображение системы в этой плоскости. При преобразовании симметрии скорость точки $M$ не должна изменяться. Вследствие этого она постоянно находится в этой Рис. 30 меридианной плоскости.
108. Рассмотрим бесконечно тонкую трубку, образующую нечто вроде тора (рис. 31). Пусть $d \omega$ – его перпендикулярное сечение, $R-$ расстояние от центра масс этого сечения до оси $O z$. Объем трубки
\[
2 \pi R d \omega
\]

должен оставаться постоянным. Вихрь $\sigma$ перпендикулярен меридианной плоскости, и момент трубки имеет значение
\[
2 \sigma d \omega
\]

постоянное по всей длине трубки. Поскольку $d \omega$ – постоянно, необходимо, чтобы $\sigma$ также было постоянным и зависело только от $z$ и от $R$. Полагая:
\[
x=R \cos \varphi, \quad y=R \sin \varphi, \quad z=z,
\]
${ }^{1} \mathrm{~B}$ настоящее время принято название «вихревые кольца». – Прим. ред.

получим
\[
\sigma=f(R, z) .
\]

С другой стороны, момент трубки должен оставаться неизменным во времени. Следовательно, то же самое будет справедливо для $\frac{\sigma}{R}$.
109. Необходимо найти функции $u, v, w$, удовлетворяющие уравнениям
\[
\begin{array}{c}
2 \xi=\frac{d w}{d y}-\frac{d v}{d z}, \quad 2 \eta=\frac{d u}{d z}-\frac{d w}{d x}, \\
2 \zeta=\frac{d v}{d x}-\frac{d u}{d y}, \quad \frac{d u}{d x}+\frac{d v}{d y}+\frac{d w}{d z}=0 .
\end{array}
\]

Рис. 31
Эти уравнения имеют тот же вид, что и уравнения Максвелла. Если заменить вихревые трубки на токи с составляющими $\frac{\xi}{2 \pi}, \frac{\eta}{2 \pi}, \frac{\zeta}{2 \pi}$, то функции $u, v, w$ будут составляющими магнитного поля, определенного этими токами.

Максвелл ввел так называемый векторный потенциал, компоненты $F, G, H$ которого определены условиями
\[
u=\frac{d H}{d y}-\frac{d G}{d z} \text { и т. д. }
\]

и который удовлетворяет условию
\[
\frac{d F}{d x}+\frac{d G}{d y}+\frac{d H}{d z}=0 .
\]

Подставляя $u, v, w$ в (1), находим ${ }^{1}$
\[
\Delta F+4 \pi v=0
\]

или
\[
\Delta F+4 \pi \frac{\xi}{2 \pi}=0 .
\]

Следовательно, $F$ является потенциалом притягивающей материи, плотность которой равна $\frac{\xi}{2 \pi}$. Пусть $x, y, z-$ координаты точки поля,
1 Данное уравнение записано в обозначениях п. 43. Под $u$ понимается составляющая электрического тока. – Прим. ред.

Движение вихревых трубок. Основные теоремы. Трубки вращения 101 $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$ – координаты центра масс элемента объема $\partial \tau ; \xi^{\prime}, \eta^{\prime}, \zeta^{\prime}$ значения $\xi, \eta, \zeta$ в этой точке, а $r$ – расстояние между точками с координатами $x, y, z$ и $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$. Исходя из этого, получим следующие соотношения
\[
F=\int \frac{\xi d \tau}{2 \pi r}, \quad G=\int \frac{\eta d \tau}{2 \pi r}, \quad H=\int \frac{\zeta d \tau}{2 \pi r} .
\]

Эти формулы задают $F, G, H$ и, следовательно, $u, v, w$ по известным $\xi, \eta, \zeta$ (см. «Электричество и оптика», I, стр. 144). ${ }^{1}$
110. Выражение живой силы жидкости. Полная живая сила жидкости выражается следующей формулой
\[
T=\frac{1}{2} \int\left(u^{2}+v^{2}+w^{2}\right) d \tau
\]

при этом плотность жидкости полагается равной единице. В электродинамической аналогии, если среда, в которой находятся токи, не является магнитной ( $\mu=1$ ), то электрокинетическая энергия ${ }^{2}$ будет следующей
\[
\frac{1}{8 \pi} \int\left(u^{2}+v^{2}+w^{2}\right) d \tau=\frac{T}{4 \pi} .
\]

Эта энергия может быть выражена другим способом. Действительно, рассмотрим элемент тока на одном из контуров, порождающих поле. Пусть $d s$ – этот элемент; $i$ – сила тока; $P$ – проекция векторного потенциала на направление элемента $d s$, тогда сумма:
\[
\frac{1}{2} \int i d s P
\]

взятая по всем элементам тока, представляет собой кинетическую энергию. Если следуя Максвеллу обозначим через $u, v, w$ компоненты тока, то, как доказал Максвелл, будет справедливо следующее равенство:
\[
\frac{1}{2} \int i d s P=\frac{1}{2} \int(F u+G v+H w) d \tau .
\]
(См. «Электричество и оптика», I, стр. 153.)
${ }^{1}$ Здесь и далее А. Пуанкаре ссылается на свои лекции. В современном изложении данный материал можно найти в любом учебнике университетского курса электричества, например, Сивухин «Электричество». – Прим. ред.
${ }^{2}$ Энергия магнитного поля. – Прим. ред.

В настоящих обозначениях компоненты тока имеют вид
\[
\frac{\xi}{2 \pi}, \frac{\eta}{2 \pi}, \frac{\zeta}{2 \pi},
\]

откуда
\[
\frac{1}{2} \int i d s P=\frac{1}{2} \int\left(F \frac{\xi}{2 \pi}+G \frac{\eta}{2 \pi}+H \frac{\zeta}{2 \pi}\right) d \tau=\frac{1}{4 \pi} \int(F \xi+G \eta+H \zeta) d \tau
\]

И
\[
T=\int(F \xi+G \eta+H \zeta) d \tau .
\]
111. Тождество двух выражений для $T$ доказывается непосредственно. Действительно, справедливо равенство
\[
\int(F \xi+G \eta+H \zeta) d \tau=\int \sum F \xi d \tau=\int \sum F \frac{d w}{d y} d \tau-\int \sum F \frac{d v}{d z} d \tau .
\]

Заметим, что $d \tau=d x d y d z$. Проинтегрируем по частям
\[
\int \sum F \frac{d w}{d y} d x d y d z=\int F w d x d z-\int w \frac{d F}{d y} d \tau .
\]

Интеграл берется от $-\infty$ до $+\infty$. В бесконечности $F$ и $w$ равны нулю, следовательно, подстановка первого интеграла на границах равна нулю. Таким образом, остается следующее равенство
\[
\int F \frac{d w}{d y} d \tau=-\int w \frac{d F}{d y} d \tau,
\]

также
\[
\int F \frac{d v}{d z} d \tau=-\int v \frac{d F}{d z} d \tau,
\]

и, следовательно, для $T$ получаем следующее выражение:
\[
T=-\frac{1}{2} \int \sum w \frac{d F}{d y} d \tau+\frac{1}{2} \int \sum v \frac{d F}{d z} d \tau,
\]

либо, раскладывая суммы,
\[
\begin{aligned}
T & =\frac{1}{2} \int d \tau\left(v \frac{d F}{d z}+w \frac{d G}{d x}+u \frac{d H}{d y}-w \frac{d F}{d y}-u \frac{d G}{d z}-v \frac{d H}{d x}\right)= \\
& =\frac{1}{2} \int d \tau\left[u\left(\frac{d H}{d y}-\frac{d G}{d z}\right)+v\left(\frac{d F}{d z}-\frac{d H}{d x}\right)+w\left(\frac{d G}{d x}-\frac{d F}{d y}\right)\right] .
\end{aligned}
\]

Движение вихревых трубок. Основные теоремы. Трубки вращения 103
Используя уравнения (2), получим
\[
T=\frac{1}{2} \int\left(u^{2}+v^{2}+w^{2}\right) d \tau .
\]
112. Взаимодействия элементов тока, заменяющие вихревые трубки. Пусть элемент тока $M M^{\prime}$ длины $d s$ и силой $i$ расположен в магнитном поле. Пусть $M T$ – вектор, представляющий магнитную силу в точке $M . M C$ – касательный к $M M^{\prime}$ и пропорциональный к $i d s$ вектор. На элемент $M M^{\prime}$, как известно, действует сила, перпендикулярная плоскости $M T C$ и равная площади параллелограмма, построенного из $M T$ и $M C$. Пусть $d x, d y, d z$ – проекции $d s$ на три оси, $\alpha, \beta, \gamma$ – проекции магнитной силы $M T ; i d x, i d y, i d z$ – проекции вектора $M C$. Проекции электродинамической силы на оси $O x, O y$ и $O z$ соответственно равны
\[
i d z \beta-i d y \gamma, \quad i d x \gamma-i d z \alpha, \quad i d y \alpha-i d x \beta .
\]

В рассматриваемом нами случае проекциям $i d x, i d y, i d z$ соответствуют
\[
\frac{\xi d \tau}{2 \pi}, \quad \frac{\eta d \tau}{2 \pi}, \quad \frac{\zeta d \tau}{2 \pi},
\]

а величины $\alpha, \beta, \gamma$ соответствуют $u, v, w$. Тогда составляющие электродинамической силы будут
\[
\frac{d \tau}{2 \pi}(v \zeta-w \eta)=X d \tau, \quad \frac{d \tau}{2 \pi}(w \xi-u \zeta)=Y d \tau, \quad \frac{d \tau}{2 \pi}(u \eta-v \xi)=Z d \tau,
\]

где
\[
X=\frac{1}{2 \pi}(v \zeta-w \eta) \ldots \text { и т. д. }
\]
113. Теорема. Силы ( $X, Y, Z)$, представляющие взаимодействия элементов воображаемых токов, которыми мы заменили наши вихревые трубки, должны быть равны и попарно противоположны. Следовательно,
сумма их проекций на некоторую ось равна нулю:
\[
\sum X d \tau=0, \quad \text { или } \quad \sum(v \zeta-w \eta) d \tau=0 .
\]

Кроме того, сумма их моментов относительно некоторой оси также равна нулю:
\[
\sum(X y-Y x) d \tau=0 .
\]

114. Непосредственное доказательство уравнения $\sum X d \tau=$ $=0$. Пусть поверхность $S$, например, является сферой с центром в начале координат и с очень большим радиусом $R$. Пусть $d \omega-$ элемент этой поверхности; $l, m, n$ – направляющие косинусы нормали к этому элементу. Покажем, что интеграл
\[
\int d \omega\left[\frac{l}{2}\left(u^{2}+v^{2}+w^{2}\right)-u(l u+m v+n w)\right]
\]

равен нулю.
Действительно, мы предположили, что все наши вихревые трубки находятся на конечном расстоянии. Точка поверхности, расположенная на очень большом расстоянии $R$ от начала координат также будет на очень большом расстоянии (такого же порядка, что и $R$ ) от вихревых трубок. Вектор $(u, v, w)$ представляет скорость или магнитную силу. Известно, что эта магнитная сила изменяется обратно пропорционально $R^{3}$. Таким образом, если мы рассматриваем $R$ как бесконечно большую первого порядка, то $u, v, w$ будут бесконечно малыми третьего порядка, как $\frac{1}{R^{3}}$, а $u^{2}, v^{2}, w^{2}$ – бесконечно малыми шестого порядка. Поверхность, по которой взят интеграл, является бесконечно большой, но только второго порядка, поэтому интеграл равен нулю.
Преобразуя этот интеграл по известной формуле
\[
\int l F d \omega=\int \frac{d F}{d x} d \tau
\]

получим ${ }^{1}$
\[
\int d \tau\left[\begin{array}{c}
u \frac{d u}{d x}+v \frac{d v}{d x}+w \frac{d w}{d x} \\
-u \frac{d u}{d x}-u \frac{d v}{d y}-u \frac{d w}{d z} \\
-u \frac{d u}{d x}-v \frac{d u}{d y}-w \frac{d u}{d z}
\end{array}\right]=0
\]

Вторая строка равна нулю в силу уравнения неразрывности. Принимая во внимание уравнения (1), получим:
\[
2 \int d \tau(v \zeta-w \eta)=0,
\]
${ }^{1}$ Выражение в квадратных скобках представляет собой обыкновенную сумму входящих в него слагаемых. – Прим. ред.

Движение вихревых трубок. Основные теоремы. Трубки вращения 105
или
\[
\sum X d \tau=0 .
\]
115. В теореме о моментах получим аналогичное уравнение:
\[
\int(X y-Y x) d \tau=0,
\]

или
\[
\int\left|\begin{array}{llc}
y & x & 0 \\
u & v & w \\
\xi & \eta & \zeta
\end{array}\right| d \tau=0 .
\]
116. Альтернативное выражение живой силы $T$. Для того чтобы получить это выражение, вспомним вначале следующую теорему электродинамики:

Теорема. При перемещении проводников без изменения силы тока работа электродинамических сил равна приращению электродинамической энергии.

Пусть $d s$ – элемент тока силы $i$. Рассмотрим вариации $\delta x, \delta y, \delta z$ координат $x, y, z$ этого элемента:
\[
\int(X \delta x+Y \delta y+Z \delta z) d \tau=\frac{\delta T}{4 \pi} .
\]

Допустим, в частности, что $\delta x, \delta y, \delta z$ пропорциональны $x, y, z$, так что
\[
\delta x=\varepsilon x, \quad \delta y=\varepsilon y, \quad \delta z=\varepsilon z,
\]

где $\varepsilon$ – бесконечно малая константа, и преобразование сводится к умножению всех расстояний на $1+\varepsilon$. Предположим, для ясности, что существуют только два тока. В этом случае,
\[
\begin{aligned}
T & =\frac{1}{2}\left(L i^{2}+2 M i i^{\prime}+N i^{\prime 2}\right), \\
\delta T & =\frac{1}{2}\left(\delta L i^{2}+2 \delta M i i^{\prime}+\delta N i^{2}\right) .
\end{aligned}
\]

В частном преобразовании, которое мы произвели, токи остаются подобными относительно начала координат. В электромагнитной системе $L, M, N$ – длины. В силу однородности, эти длины должны быть помножены на $1+\varepsilon$. Следовательно,
\[
\delta L=L \varepsilon, \quad \delta M=M \varepsilon, \quad \delta N=N \varepsilon
\]

и, наконец,
\[
\delta T=T \varepsilon .
\]

Эта формула, очевидно, остается справедливой для любого, в том числе и бесконечного, числа токов. Таким образом, имеем
\[
\int(X x+Y y+Z z) \varepsilon d \tau=\frac{T \varepsilon}{4 \pi},
\]

сокращая $\varepsilon$ и заменяя $X, Y, Z$ их значениями,
\[
\int\left|\begin{array}{llc}
x & y & z \\
u & v & w \\
\xi & \eta & \zeta
\end{array}\right| d \tau=\frac{T}{2},
\]

или, обозначая определитель через $D$,
\[
\int D d \tau=\frac{T}{2} .
\]
117. Жидкость, заключенная в сосуде. При рассмотрении жидкости, полностью заполняющей сосуд, можно еще раз прибегнуть к электродинамическому сравнению при условии, что сосуд будет помещен в сверхпроводник.

Максвелл доказал, что токи в таком проводнике локализованы на поверхности, и эта поверхность образует электродинамический экран (поверхностный ток). Теоремы, сформулированные ранее, будут оставаться справедливыми, при включении в рассмотрение этого поверхностного тока.
118. Рассмотрим точку поверхности сосуда. Скорость частиц жидкости, находящихся внутри сосуда, расположена в касательной плоскости. В точке, бесконечно близкой, но расположенной с другой стороны поверхности, жидкость покоится. Следовательно, скорость разрывна. Эту разрывность можно заменить введением вихревой трубки. Действительно, рассмотрим частный случай плоской поверхности, например, плоскости $x y$, где жидкость находится под этой плоскостью. Над плоскостью скорость будет равна нулю, снизу она будет постоянной и параллельной $O x$.

Предположим, что изменение скорости происходит не внезапно, а непрерывным образом, хотя и очень быстро. В переходном слое $u$ будет некоторой функцией от $z$ :
\[
u=f(z)
\]

Движение вихревых трубок. Основные теоремы. Трубки вращения 107

и производная
\[
\frac{d u}{d z}=f^{\prime}(z)
\]

будет отличной от нуля. Согласно сделанным предположениям, $u$ функция только от $z$, и $v=w=0$. Тогда $\xi$ и $\zeta$ равны нулю, а
\[
\eta=\frac{1}{2} \frac{d u}{d z}
\]

отлична от нуля и очень велика.
Таким образом, вихрь, заменяющий разрывность, будет параллельным плоскости разрыва и перпендикулярным скорости $u$.
119. Если поверхность раздела является кривой, а скорость переменной, то теорема также справедлива. Чтобы ее доказать, достаточно разложить поверхность на достаточно малые элементы, чтобы можно было рассматривать эти элементы как плоскости, а скорость постоянной на всей их протяженности. Всегда возможно выбрать толщину слоя перехода, которая будет очень маленькой даже по отношению к этим элементам. Поэтому поверхность можно заменить на слой вихревых трубок. Согласно предыдущему доказательству, каждая из трубок будет лежать в плоскость элемента, т.е. в касательной к поверхности плоскости, перпендикулярно скорости в рассматриваемой точке.
120. Сила $(X, Y, Z)$, представляющая электродинамическое воздействие на элемент тока должна быть одновременно перпендикулярна току и магнитной силе. Ток лежит в касательной к поверхности сосуда плоскости. Магнитная сила направлена подобно скорости и также лежит в касательной плоскости. Таким образом, сила $(X, Y, Z)$ направлена по нормали к поверхности сосуда.
121. Чтобы применить к настоящему случаю теоремы, доказанные нами для бесконечной жидкости пп. 113-116, необходимо учесть две группы электродинамических сил: $1^{\circ}$ силы, которые действуют на токи, заменяющие вихревые трубки; $2^{\circ}$ силы, действующие на поверхностные токи, введенные вместо поверхности.

В некоторых частных случаях дополнительные члены, порожденные второй группой сил, которые необходимо добавить в наши уравнения, будут иметь сумму равную нулю.

Например, если сосуд имеет форму цилиндра, образующие которого параллельны оси $O x$, то на поверхность, по которой течет ток, действуют силы, нормальные к поверхности и к оси $O x$. Сумма проекций сил на ось $O x$ будет равна нулю. Таким образом, первая теорема п. 113 остается справедливой без изменений.

Если сосуд является телом вращения относительно $O z$, то сумма моментов дополнительных сил относительно оси $O z$ равна нулю, поскольку все эти силы пересекают ось $O z$. Таким образом, вторая теорема п. 113 также будет справедливой.

Если сосуд является сферой или пространством, заключенным между двумя концентрическими сферами, то вторая теорема справедлива для произвольной оси, проходящей через центр, поскольку сфера является поверхностью вращения относительно такой оси.

Если сосуд ограничен двумя плоскостями, параллельными, например, плоскости $x y$, то его можно рассмотреть как сосуд вращения вокруг оси $z$ или как цилиндр, параллельный $O x$ и $O y$, и применить замечания относительно этих разных случаев.
122. Цилиндрические вихревые трубки, параллельные оси $O z$. При данных условиях $\xi=\eta=0, w=0$, при этом $\zeta, u, v$ зависят только от $z$.

Движение не изменится (п. 56), если ограничить часть жидкости двумя плоскостями, параллельными плоскости $x y$, например: $z=0$, $z=1$. Обе теоремы п. 113 по-прежнему применимы. Определим элемент $d \tau$. Разложим плоскость $x y$ на элементы поверхности $d \omega$ и примем каждый из этих элементов за основание цилиндра, параллельного $O z$ и ограниченного плоскостями $z=0$ и $z=1$. В итоге, пространство, заключенное между двумя плоскостями будет поделено на бесконечное количество таких цилиндров. Затем проведем плоскости, параллельные плоскости $x y$, отстоящие друг от друга на $d z$. Объем, ограниченный одним из цилиндров и двумя такими плоскостями, примем за элемент $d \tau$, т. е.:
\[
d \tau=d \omega d z .
\]

Выражение из первой теоремы примет вид
\[
\int v \zeta d z d \omega=0
\]

Поскольку $v, \zeta$ не зависят от $z$, можно проинтегрировать по $z$ в пределах от $z=0$ до $z=1$, откуда получим:
\[
\int v \zeta d \omega=0
\]

Таким же способом найдем
\[
\int u \zeta d \omega=0 .
\]

Если разложить определитель п. 116, то вторая теорема примет вид
\[
\int(x u+y v) \zeta d z d \omega=0
\]

или, если проинтегрировать по $z$,
\[
\int(x u+y v) \zeta d \omega=0 .
\]
123. Итак, мы вновь приходим к теоремам, доказанным нами в предыдущих главах.

Центр тяжести всех вихревых трубок остается неподвижным, что можно выразить следующими уравнениями
\[
\int x \zeta d \omega=\text { const }, \quad \int y \zeta d \omega=\text { const },
\]

а момент инерции трубок относительно некоторои оси, параллельной $O z$, остается постоянным. Относительно самой оси $O z$, например:
\[
\int\left(x^{2}+y^{2}\right) \zeta d \omega=\text { const. }
\]

Дифференцируя эти уравнения по $t$, получаем
\[
\begin{aligned}
\int \frac{d x}{d t} \zeta \partial \omega & =\int u \zeta d \omega=0, \\
\int \frac{d y}{d t} \zeta \partial \omega & =\int v \zeta d \omega=0, \\
\int\left(x \frac{d x}{d t}+y \frac{d y}{d t}\right) \zeta \partial \omega & =\int(x u+y v) \zeta d \omega=0 .
\end{aligned}
\]

И вновь приходим к уравнениям (11), (12) и (13).
Наконец, учитывая, что сумма моментов количества движения трубок относительно $O z$ равна нулю, получаем следующее выражение
\[
\int(u y-v x) \zeta d \omega=\text { const }
\]

или
\[
\int\left|\begin{array}{lll}
x & y & 0 \\
u & v & 0 \\
0 & 0 & \zeta
\end{array}\right| d \omega=\text { const },
\]

которое в данном случае является ничем иным как уравнением (10)
п. 116:
\[
\int D d \tau=\text { const. }
\]
124. Непосредственное доказательство соотношения $\int D d \tau=$ $=\frac{T}{2}$. Вернемся к общему случаю. Посредством электродинамической аналогии мы доказали соотношение (10)
\[
\int D d \tau=\frac{T}{2} .
\]

Это соотношение, как мы сейчас увидим, можно также установить непосредственно.
Для краткости положим:
\[
h=\frac{u^{2}+v^{2}+w^{2}}{2}
\]

или
\[
T=\int h d \tau .
\]

Разложим определитель $D$ по элементам первой строки
\[
D=A x+B y+C z,
\]

при этом
\[
A=\eta w-\zeta v, \quad B=\zeta u-\xi w, \quad C=\xi v-\eta u .
\]

Вычислим $A$
\[
\begin{aligned}
2 A & =2 \eta w-2 \zeta v=w\left(\frac{d u}{d z}-\frac{d w}{d x}\right)-v\left(\frac{d v}{d x}-\frac{d u}{d y}\right)= \\
& =u \frac{d u}{d x}-u \frac{d u}{d x}+v \frac{d u}{d y}-v \frac{d v}{d x}+w \frac{d u}{d z}-w \frac{d w}{d x}= \\
& =u \frac{d u}{d x}+v \frac{d u}{d y}+w \frac{d u}{d z}-\frac{d h}{d x} .
\end{aligned}
\]

Выражения $B$ и $C$ выводятся аналогичным образом из соображений симметрии.

Рассмотрим интеграл
\[
\int_{s}\left[(l x+m y+n z) \frac{u^{2}+v^{2}+w^{2}}{2}-(l u+m v+n w)(x u+y v+z w)\right] d \omega .
\]

Аналогично доказательствам, приведенным нами выше уже несколько раз (п. 114), этот интеграл, взятый по всей поверхности сферы с очень большим радиусом, равен нулю. Преобразуем его по уже использованной нами формуле:
\[
\int l X d \omega=\int \frac{d X}{d x} d \tau
\]

или
\[
\begin{array}{c}
\int \sum l X d \omega=\int \sum \frac{d X}{d x} d \tau \\
X=x \frac{u^{2}+v^{2}+w^{2}}{2}-u(x u+y v+z w)=x h-u K,
\end{array}
\]

где
\[
K=x u+y v+z w .
\]

Получаем следующие выражения
\[
\begin{array}{l}
\frac{d X}{d x}=x \frac{d h}{d x}+h-\frac{d u}{d x} K-u^{2}-u\left(x \frac{d u}{d x}+y \frac{d v}{d x}+z \frac{d w}{d x}\right), \\
\frac{d Y}{d y}=y \frac{d h}{d y}+h-\frac{d v}{d y} K-v^{2}-v\left(x \frac{d u}{d y}+y \frac{d v}{d y}+z \frac{d w}{d y}\right) \\
\frac{d Z}{d z}=z \frac{d h}{d z}+h-\frac{d w}{d z} K-w^{2}-w\left(x \frac{d u}{d z}+y \frac{d v}{d z}+z \frac{d w}{d z}\right) .
\end{array}
\]

Два последних уравнения находятся по аналогии с первым. Запишем равенство
\[
\int \sum \frac{d X}{d x} d \tau=0
\]

Выполняя суммирование и учитывая уравнение неразрывности, после очевидных сокращений получаем
\[
\sum \frac{d X}{d x}=h-2(A x+B y+C z)=h-2 D,
\]

откуда
\[
\int h d \tau-\int 2 D d \tau=0, \quad \int D d \tau=\frac{1}{2} \int h d \tau=\frac{T}{2} .
\]

125. Вихревые трубки вращения вокруг $O z$. Предположим, что вихревые трубки представляют собой трубки вращения вокруг оси $O z$. В этом случае введем полуполярные координаты, полагая
\[
x=\rho \cos \varphi, \quad y=\rho \sin \varphi, \quad z=z .
\]

Согласно сделанному предположению, вихрь в каждой точке перпендикулярен меридиану.
Таким образом, если $\sigma-$ величина вихря, то:
\[
\xi=-\sigma \sin \varphi, \quad \eta=\sigma \cos \varphi, \quad \zeta=0 .
\]

В силу симметрии (п. 107), скорость $(u, v, w)$ находится в меридианной плоскости и выполняются соотношения
\[
u=\frac{d \rho}{d t} \cos \varphi, \quad v=\frac{d \rho}{d t} \sin \varphi, \quad w=\frac{d z}{d t} .
\]

Кроме того, как мы уже видели в п. 108, $\frac{\sigma}{\rho}-$ постоянная.
Подставим эти значения в наши уравнения: некоторые из них при этом становятся тождественными. Из оставшихся рассмотрим в частности следующее:
\[
\int(u \eta-v \xi) d \tau=0 .
\]

Для того чтобы определить элемент $d \tau$, рассмотрим, например, меридианную плоскость $z y$, разложим ее на элементы поверхности $d \omega$. Каждый из этих элементов при вращении вокруг $O z$ порождает объем. Если проведем меридианные плоскости под углом $d \varphi$, то эти плоскости вырежут в объемах части, подобные цилиндрам с сечением $d \omega$ и высотой $\rho d \varphi$. Объем этих частей будет иметь вид
\[
d \tau=\rho d \omega d \varphi .
\]

Уравнение (15) примет вид
\[
\int \sigma \frac{d \rho}{d t}\left(\cos ^{2} \varphi+\sin ^{2} \varphi\right) \rho d \omega d \varphi=0
\]

или
\[
\int \sigma \frac{d \rho}{d t} \rho d \omega d \varphi=0
\]

Необходимо взять интеграл по всем элементам $d \omega$ одной половины плоскости $z y$ в пределах от $\varphi=0$ до $\varphi=2 \pi$.

Поскольку подынтегральное выражение не зависит от $\varphi$, то можно проинтегрировать по $\varphi$ и записать
\[
\int \sigma \rho \frac{d \rho}{d t} d \omega=0 .
\]

Теперь преобразуем определитель $D$, умножая его на другой, равный единице.
\[
\begin{array}{c}
D=\left|\begin{array}{lll}
x & y & z \\
\xi & \eta & \zeta \\
u & v & w
\end{array}\right| \times\left|\begin{array}{ccc}
\cos \varphi & \sin \varphi & 0 \\
-\sin \varphi & \cos \varphi & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right|= \\
=\left|\begin{array}{ccc}
x \cos \varphi+y \sin \varphi & -x \sin \varphi+y \cos \varphi & z \\
\xi \cos \varphi+\eta \sin \varphi & -\xi \sin \varphi+\eta \cos \varphi & \zeta \\
u \cos \varphi+v \sin \varphi & -u \sin \varphi+v \cos \varphi & w
\end{array}\right|
\end{array}
\]

или
\[
D=\left|\begin{array}{ccc}
\rho & 0 & z \\
0 & \sigma & 0 \\
\frac{d \rho}{d t} & 0 & \frac{d z}{d t}
\end{array}\right|=\sigma\left(\rho \frac{d z}{d t}-z \frac{d \rho}{d t}\right) .
\]

Если подставим это значение $D$ в соотношение (10), то получим следующее выражение:
\[
\begin{array}{c}
\int D d \tau=\int D \rho d \omega d \varphi=\frac{T}{2} \\
2 \pi \int D \rho d \omega=\frac{T}{2} \\
4 \pi \int \sigma \rho d \omega\left(\rho \frac{d z}{d t}-z \frac{d \rho}{d t}\right)=T{ }^{1}
\end{array}
\]
${ }^{1} \mathrm{~B}$ связи с ошибкой в расчетах, вместо этого уравнения Гельмгольц предложил следующее:
\[
4 \pi \int \sigma \rho d \omega\left(\rho \frac{d z}{d t}-2 z \frac{d \rho}{d t}\right)=T .
\]

Впрочем, наличие множителя 2 не влияет на результаты, которые мы продемонстрируем и которые полагаются только на рассмотрение порядка величины различных множителей. – Прим. автора.

126. Величина скорости. Пусть существует единственная бесконечно тонкая трубка кругового сечения и ее радиус остается постоянным. Соотношение (17):
\[
\int \sigma \rho \frac{d \rho}{d t} d \omega=0
\]

выражает, что
\[
\int \sigma \rho^{2} d \omega=\text { const. }
\]

Действительно, если дифференцировать это последнее отношение по $t$, отмечая при этом, что $\sigma d \omega$ представляет собой момент трубки и является постоянным, то вновь придем к уравнению (17).
Предположим, что
\[
\begin{array}{c}
\int \sigma d \omega=M, \\
\int \sigma \rho^{2} d \omega=M R^{2},
\end{array}
\]

где $M$ будет постоянной, так же как и $M R^{2}$.
Если $\sigma$ повсюду имеет один знак, то $R$ будет находиться между крайними значениями $\rho, \rho_{0}$ и $\rho_{1}$.
Действительно, пусть $\rho_{0}$ — максимальное значение $\rho$, тогда:
\[
M R^{2}<\int \sigma \rho_{0}^{2} d \omega
\]

или
\[
\begin{array}{c}
M R^{2}<\rho_{0}^{2} \int \sigma d \omega=M \rho_{0}^{2}, \\
R^{2}<\rho_{0}^{2},
\end{array}
\]

также можно было бы доказать, что
\[
R^{2}>\rho_{1}^{2},
\]

следовательно,
\[
\rho_{0}>R>\rho_{1} .
\]

Если трубка бесконечно тонкая, то $\rho_{0}$ и $\rho_{1}$ очень мало отличаются друг от друга и от среднего радиуса трубки. Этот средний радиус также будет мало отличаться от $R$ и может быть рассмотрен как постоянная, также как и $R$. Таким образом, единственное движение, которое может произвести трубка, сводится к переносу, параллельному оси $O z$. Какой будет скорость переноса? A priori очевидно, что она будет постоянной, так как при переносе положение трубки относительно $O z$ не изменяется. Отсюда можно было бы заключить, что скорость зависит от формы сечения.

Ничего подобного! Скорость является постоянной и очень большой, как было доказано Гельмгольцем на основании уравнения (3), с учетом порядка величин $T, U, v$ и $\frac{d \varphi}{d t}$.

Если сечение трубки бесконечно тонкое, то точка, расположенная на конечном расстоянии от трубки, будет иметь конечную скорость. А точка, расположенная в окрестности этой трубки, будет иметь очень большую скорость. Радиус сечения трубки и расстояние от этой точки до края этого сечения будут всегда очень малыми по сравнению с $R$. Для получения приемлемой аппроксимации рассмотрим близкую к трубке цилиндрическую область и применим к ней формулы для цилиндрических трубок.
127. Рассмотрим бесконечно тонкую прямолинейную трубку. Для того чтобы определить скорость, заменим эту трубку на бесконечный прямолинейный ток. Скорость представлена тем же вектором, что и магнитная сила, следовательно, она обратно пропорциональна расстоянию от рассматриваемой точки до оси тока. В точке, бесконечно близкой к этой прямой, скорость будет бесконечно большой. Таким образом, живая сила $T$ – бесконечна.
Векторный потенциал $(F, G, H)$ определяется соотношением:
\[
F=\int \frac{\xi}{2 \pi} r d l \text { и т.д. }
\]

Пусть прямолинейная трубка параллельна оси $x$.
В данном случае отношение $\frac{\xi}{2 \pi}$ постоянно. Величина $F$ была бы потенциалом равномерно наэлектризованной бесконечной прямой. В точке, бесконечно близкой к прямой, этот потенциал имеет порядок $\log \rho$, где $\rho$ является расстоянием от точки до прямой.
128. Пусть теперь существует круговая трубка или круговой ток, рассматриваемый вместо трубки. В плоскости, нормальной к окружности в точке $O$, выберем точку $M$ очень близкую к $O$. Найдем магнитную силу и векторный потенциал в точке $M$, порожденные круговым током, и сравним их с теми, которые были бы порождены прямолинейным ток-

Рис. 32

Рис. 33
ом, направленным по касательной в точке $O$ и имеющим ту же силу, что и круговой ток.
Примем точку $O$ за начало отсчета (рис. 32), касательную – за ось $x$, диаметр $O C$ – за ось $y$. Тогда точка $M$ будет находиться в плоскости $y z$.
Пусть сила тока равна единице; $d s$ – элемент тока, $d x$ – его проекция на ось $O x, r$ расстояние от $d s$ до точки $M$ :
\[
F=\int \frac{d x}{r} .
\]

Необходимо проинтегрировать в пределах от $-R$ до $+R$, где $R$ – радиус окружности.

Пусть $P P^{\prime}=d s$, а $P_{1} P_{1}^{\prime}=d x-$ проекция $P P^{\prime}$ на ось $x$ (рис. 33 ), равная $d x ; r_{1}-$ расстояние от $P_{1} P_{1}^{\prime}$ до $M$. Векторный потенциал, порожденный прямолинейным током, выражается следующим образом:
\[
F_{1}=\int \frac{d x}{r_{1}} .
\]

Этот интеграл необходимо проинтегрировать в пределах от $-\infty$ до $+\infty$. Однако, поскольку мы хотим изучить только порядок величины $F_{1}$, то можно рассмотреть ее в пределах от $-R$ и $+R$.

Действительно, элементы, расположенные на конечном расстоянии от $M$, дают в выражении $F_{1}$ конечные вклады, которыми можно пренебречь по сравнению с очень большими членами, заданными элементами, близкими к $M$.
В результате запишем
\[
F-F_{1}=\int d x\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_{1}}\right) .
\]

Можно найти верхний предел этого интеграла. Действительно, пусть
\[
\begin{array}{lll}
0, y_{0}, z_{0} & \text { координаты точек } & M, \\
x, y, 0 & \text { координаты точек } & P, \\
x, 0,0 & \text { координаты точек } & P_{1} .
\end{array}
\]

В треугольнике $M P P_{1}$ можно ввести следующие обозначения
\[
M P=r, \quad M P_{1}=r_{1}, \quad P P_{1}=y .
\]

Соотношение
\[
\left|\frac{1}{r}-\frac{1}{r_{1}}\right|=\frac{r_{1}-r}{r r_{1}}
\]

меньше, чем
\[
\left(r_{1}-r\right)\left(\frac{1}{r^{2}}+\frac{1}{r_{1}^{2}}\right) .
\]

Поскольку $r_{1}-r<y$, получаем:
\[
\left|\frac{1}{r}-\frac{1}{r_{1}}\right|<y\left(\frac{1}{r^{2}}+\frac{1}{r_{1}^{2}}\right)
\]

и
\[
F-F_{1}<\int \frac{y d x}{r^{2}}+\int \frac{y d x}{r_{1}^{2}} .
\]

Справедливы равенства
\[
\begin{array}{r}
r^{2}=\overline{M P}^{2}=x^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}+z_{0}^{2}, \\
\int \frac{y d x}{r^{2}}=\int \frac{y d x}{x^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}+z_{0}^{2}},
\end{array}
\]

откуда
\[
\int \frac{y d x}{r^{2}}<\int \frac{y d x}{x^{2}} .
\]

Когда точка $P$ бесконечно приближается к нулю, отношение $\frac{y}{x^{2}}$ стремится к конечному пределу $2 R$, где $R$ – радиус окружности. Таким образом, интегралы $\int \frac{y d x}{r^{2}}$ и $\int \frac{y d x}{r_{1}^{2}}$ остаются конечными, следовательно, разность $F-F_{1}$ является конечной.
129. Порядок величины векторного потенциала. Поскольку разность $F_{1}-F$ конечная, мы можем заменить круговую трубку на прямолинейную трубку с целью нахождения порядка величины векторного потенциала.

Сначала предположим, что речь идет о единственной трубке и что вихрь постоянен. Прямолинейная трубка будет цилиндром с круговым сечением, а векторный потенциал будет равен потенциалу притягивающей массы, распределенной по цилиндру, с плотностью $\frac{\xi}{2 \pi}$.

Пусть $\rho_{0}$ – радиус цилиндра. Точку, расстояние $\rho$ от которой до оси больше, чем $\rho_{0}$, назовем внешней. Во внешней точке потенциал будет таким же, как если бы вся притягивающая масса была сконцентрирована на оси с плотностью
\[
\pi \rho_{0}^{2} \frac{\zeta}{2 \pi}=\frac{\zeta \rho_{0}^{2}}{2} .
\]

Потенциал в такой точке будет иметь вид
\[
\zeta \rho_{0}^{2} \log \rho \quad\left(\rho>\rho_{0}\right) .
\]

Для точки внутри цилиндра, т.е. при $\rho<\rho_{0}$ потенциал получается разложением цилиндра на две части путем проведения через рассматриваемую точку цилиндрической поверхности, которая имеет ту же ось, что и цилиндр. Внешний кольцевой слой не действует на точку, а другая часть производит то же действие, как если бы вся масса была сконцентрирована на его оси.
Следовательно, притяжение равно
\[
\begin{array}{lll}
-\frac{\zeta \rho_{0}^{2}}{\rho} & \text { для } & \rho>\rho_{0}, \\
-\zeta \rho_{0} & \text { для } & \rho=\rho_{0}, \\
-\zeta \rho & \text { для } & \rho<\rho_{0} .
\end{array}
\]

Таким образом, потенциал будет выражаться
\[
-\frac{\zeta \rho^{2}}{2}+C .
\]

Значение потенциалов (3) и (4) должны совпадать при $\rho=\rho_{0}$. Из этого условия определяем константу $C$ :
\[
\begin{array}{c}
-\frac{\zeta \rho_{0}^{2}}{\rho}+C=-\zeta \rho_{0}^{2} \log \rho_{0}, \\
C=\zeta \rho_{0}^{2}\left(\frac{1}{2}-\log \rho_{0}\right) .
\end{array}
\]

Предположим, что момент трубни $\zeta \rho_{0}$ конечный. Если $\rho_{0}$ очень мал, то векторный потенциал будет иметь порядок величины $\log \rho_{0}$.

130. Порядок величины живой силы. Пусть $P$ – векторный потенциал, $\sigma$ – вихрь и они перпендикулярны меридиану. Живая сила выражается
\[
I=\int \sigma P d \tau=\int \sigma P \rho d \omega d \varphi,
\]

или, проинтегрировав по $\varphi$,
\[
I=2 \pi \int \sigma P \rho d \omega .
\]

Момент трубки $\int \sigma d \omega$ мы рассматриваем как конечный по условию. Потенциал $P$ имеет порядок $\log \rho_{0}$, следовательно, живая сила будет также этого порядка, то есть очень большой. Что же касается скорости, то она того же порядка, что и притяжение рассмотренного выше цилиндра, то есть $\frac{1}{\rho_{0}}$.
131. Скорость движения. Положим
\[
A=\int \sigma \rho^{2} z d \omega=M R^{2} z_{0},
\]

где
\[
M R^{2}=\int \sigma \rho^{2} d \omega=\mathrm{const},
\]

а $z_{0}$ – ордината точки, расположенной внутри меридианного сечения трубки. Действительно, пусть $z_{1}$ и $z_{2}$ – крайние ординаты этого сечения.
Покажем, что $z_{1}>z_{0}>z_{2}$. Действительно, справедливо равенство
\[
\int \sigma \rho^{2} z_{1} d \omega=z_{1} \int \sigma \rho^{2} d \omega=z_{1} M R^{2} .
\]

С другой стороны,
\[
\int \sigma \rho^{2} z d \omega<\int \sigma \rho^{2} z_{1} d \omega
\]

или
\[
z_{0} M R^{2}<z_{1} M R^{2}
\]

и
\[
z_{0}<z_{1} .
\]

Таким же образом можно доказать, что $z_{0}>z_{2}$.

Продифференцируем $A$ по $t$, и поскольку момент трубки $\sigma d \omega$ является постоянным, то
\[
\frac{d A}{d t}=M R^{2} \frac{d z_{0}}{d t}=\int \sigma d \omega\left(2 \rho z \frac{d \rho}{d t}+\rho^{2} \frac{d z}{d t}\right) .
\]

С другой стороны, из уравнения (3) п. $\mathbf{1 2 5}$ получим:
\[
\int \sigma \rho^{2} \frac{d z}{d t} d \omega=\int \sigma \rho z \frac{d \rho}{d t} d \omega+\frac{T}{4 \pi} .
\]

Следовательно,
\[
\frac{d A}{d t}=M R^{2} \frac{d z_{0}}{d t}=3 \int \sigma \rho z \frac{d \rho}{d t} d \omega+\frac{T}{4 \pi} .
\]

Считая, что $z_{0}$ постоянна, из уравнения (1) выводим
\[
0=\int \sigma \rho \frac{d \rho}{d t} z_{0} d \omega
\]

Из уравнений (7) и (8) получаем:
\[
M R^{2} \frac{d z_{0}}{d t}=3 \int \sigma \rho \frac{d \rho}{d t}\left(z-z_{0}\right) d \omega+\frac{T}{4 \pi} .
\]

Первое слагаемое в правой части конечно. Действительно, интеграл $\int \sigma d \omega$ является конечным также как и $\rho$, а производная $\frac{d \rho}{d t}$ является составляющей скорости вдоль радиус-вектора. Это очень большая величина порядка $\frac{1}{\varepsilon}$. Разность $z-z_{0}$ меньше, чем диаметр $\varepsilon$ сечения трубки. Таким образом, $\frac{d \rho}{d t}\left(z-z_{0}\right)$ – конечно.

Следовательно, можно пренебречь первым членом в правой части и ограничиться следующим выражением:
\[
\frac{d z_{0}}{d t}=\frac{T}{4 \pi} \times \frac{1}{M R_{0}^{2}} .
\]

Из этого уравнения следует, что
$1^{\circ}$. Скорость $\frac{d z_{0}}{d t}$ – очень большая, того же порядка, что и живая сила $T$.
$2^{\circ}$. Она существенно постоянна, поскольку сила $T$ – постоянна. Справедливо, что первый член является переменным, однако мы доказали, что он незначителен по сравнению с $T$.

Итак, вихревая трубка будет перемещаться с очень большой скоростью параллельно оси $O z$.
132. Порядок величины скорости. Непосредственное доказательство. Известно, что скорость $(u, v, w)$ представлена тем же вектором, что и магнитная сила. Пусть $A B$ – элемент тока $d s$ (рис. 34$) ; P$ – магнитный полюс, равный единице. Сила, с которой элемент $A B$ действует на этот полюс, перпендикулярна плоскости $P A B$ и выража-

Рис. 34 ется
\[
\frac{A B^{\prime} \times i}{r^{2}},
\]

где $A B^{\prime}$ – проекция $A B$ на перпендикуляр к $P A, i$ – сила тока и $r$ расстояние $A P$.
По абсолютной величине:
\[
\frac{A B^{\prime} \times i}{r^{2}}<\frac{i d s}{r^{2}} .
\]

Разложим нашу вихревую трубку на элементы объема и заменим каждый из них элементом тока. Если $\sigma$ – интенсивность вихря, то сила тока должна быть равна $\frac{\sigma d \omega}{2 \pi}$ п. 43, следовательно,
\[
i d s=\frac{\sigma d s d \omega}{2 \pi}=\frac{\sigma d \tau}{2 \pi},
\]

где $d \omega$ – элемент сечения, $d \tau$ – элемент объема трубки.
Верхний предел скорости будет иметь вид:
\[
\int \frac{\sigma d \tau}{2 \pi r^{2}}
\]

Разложим трубку на элементы следующим образом. Примем точку $P$ за центр и опишем концентрические сферы. Эти сферы ограничат в трубке объемы, имеющие формы сферических сегментов. Рассмотрим, в частности, один из таких сегментов, ограниченный сферами радиуса $r$ и $r+d r$, а также интеграл
\[
\int \frac{\sigma d \tau}{r^{2}}
\]

взятый по всему объему этого сегмента. Пусть $\sigma_{1}$ – наибольшее значение, которое принимает $\sigma$ в этом сферическом сегменте. Все элементы подынтегрального выражения одного знака, следовательно,
\[
\int \frac{\sigma d \tau}{r^{2}}<\int \frac{\sigma_{1} d \tau}{r^{2}}
\]

Здесь $r$ можно считать постоянным для всего объема сегмента, что позволяет записать следующее неравенство:
\[
\int \frac{\sigma d \tau}{r^{2}}<\frac{\sigma_{1}}{r^{2}} \int d \tau
\]

Интеграл $\int d \tau$ представляет собой сегмент, который равен $\lambda d r$, где $\lambda$ – сечение этого сегмента. Таким образом,
\[
\int \frac{\sigma d \tau}{r^{2}}<\frac{\sigma_{1} \lambda d r}{r^{2}} .
\]

Пусть теперь $d \omega$ – элемент сечения трубки. Рассмотрим элементарную трубку, порожденную вращением вокруг оси этого элемента. Пусть $d \lambda$ – сечение этой трубки сферой радиуса $r$.
Разделим эти сферы на две группы:
$1^{\circ}$ Радиус которых меньше, чем некоторый верхний предел наибольшего диаметра $\varepsilon$ сечения полной трубки. Возьмем, например, за этот предел $2 \varepsilon$;
$2^{\circ}$ Сферы, радиус которых больше $2 \varepsilon$.
Тогда верхний предел скорости принимает вид:
\[
\int_{0}^{2 \varepsilon} \frac{\sigma_{1} \lambda d r}{r^{2}}+\int_{2 \varepsilon}^{a} \frac{\sigma_{1} \lambda d r}{r^{2}} .
\]

В первом интеграле $\lambda$ очевидно меньше, чем $4 \pi r^{2}$, полная поверхность сферы. Итак, приходим к следующему неравенству;
\[
\int_{0}^{2 \varepsilon} \frac{\sigma_{1} \lambda d r}{r^{2}}<4 \pi \int_{0}^{2 \varepsilon} \sigma_{1} d r,
\]

или
\[
\int_{0}^{2 \varepsilon} \frac{\sigma_{1} \lambda d r}{r^{2}}<8 \pi \sigma_{1} \varepsilon .
\]

Как всегда, положим момент трубки равным конечной величине. Величина $\sigma_{1} \Omega$ является конечной, и $\sigma_{1}$ имеет тот же порядок величины, что и $\frac{1}{\Omega}$, т.е. $\frac{1}{\varepsilon^{2}}$, а $\sigma_{1} \varepsilon$ будут иметь порядок $\frac{1}{\varepsilon}$.
Во втором интеграле:
\[
d \lambda=\frac{d \omega}{\sin \theta}
\]

где $\theta$ – угол, под которым сфера пересекает трубку (рис. 35); $\theta$ всегда больше некоторого предела $\theta_{0}$, отличного от нуля. Действительно, ни одна сфера второй группы не может стать касательной к трубке. Иначе касание находилось бы в меридианном сечении и радиус сферы был бы меньше $\varepsilon$. Итак, справедливо неравенство
Рис. 35
\[
d \lambda<\frac{d \omega}{\sin \theta_{0}}
\]

и
\[
\begin{array}{c}
\lambda<\frac{\Omega}{\sin \theta_{0}} \\
\int_{2 \varepsilon}^{a} \frac{\sigma_{1} \lambda d r}{r^{2}}<\int_{2 \varepsilon}^{a} \frac{\sigma_{1} \Omega}{\sin \theta_{0}} \frac{d r}{r^{2}} .
\end{array}
\]

Первый множитель $\frac{\sigma_{1} \Omega}{\sin \theta_{0}}$ конечен, а второй имеет вид
\[
\int_{2 \varepsilon}^{a} \frac{d r}{r^{2}}=\frac{1}{2 \varepsilon}-\frac{1}{a} .
\]

Этот интеграл также имеет порядок $\frac{1}{\varepsilon}$.
Таким образом, два члена выражения (10) имеют один и тот же порядок $\frac{1}{\varepsilon}$, и сама скорость по величине имеет порядок не более $\frac{1}{\varepsilon}$.