87. Определение конформного отображения. Пусть существуют две плоские односвязные площади и точки $M(x, y)$ и $M^{\prime}\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)$ на этих площадях. Предположим, что между $M$ и $M^{\prime}$ установлено соответствие, такое что $x^{\prime}$ и $y^{\prime}$ являются функциями от $x$ и $y$, т.е. каждой точке $M$ соответствует только одна точка $M^{\prime}$, и наоборот. Если $x^{\prime}$ и $y^{\prime}$ – непрерывные функции от $x$ и $y$, то при перемещении точки $M$ точка $M^{\prime}$ будет описывать кривую, и наоборот. Различным точкам границы первой площади будут соответствовать различные точки границы второй площади. Выбирая надлежащим образом функции $x^{\prime}$ и $y^{\prime}$, можно добиться сохранения углов, т.е. образы кривых будут пересекаться под тем же углом, что и сами кривые. 0 таком отображении также говорится, что оно является конформным.

В случае конформного отображения бесконечно малый треугольник и его образ подобны. Следовательно, и любая бесконечно малая фигура так же подобна своему образу, поскольку ее можно разложить на попарно подобные треугольники.
88. Рассмотрим комплексную переменную $x^{\prime}+\sqrt{-1} y^{\prime}$. Если $x^{\prime}+$ $+\sqrt{-1} y^{\prime}$ является функцией от $x+\sqrt{-1} y$, то углы сохраняются, и наоборот. Действительно, условия, выражающие этот факт, представимы в виде
\[
\begin{array}{l}
\frac{d x^{\prime}}{d x}=\frac{d y^{\prime}}{d y}, \\
\frac{d x^{\prime}}{d y}=-\frac{d y^{\prime}}{d x} .
\end{array}
\]

Можно ли таким способом конформно отобразить кривую на себя? Рассмотрим для примера некоторую окружность.
$1^{\circ}$ Этой окружности можно придать вращение вокруг ее центра;
$2^{\circ}$ Рассмотрим точку $M$ внутри окружности. Пусть $(x, y)$ координаты этой точки. Этой точке поставим в соответствие точку $M^{\prime}\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)$, также находящуюся внутри окружности, при помощи конформного отображения, при котором центру $O$ соответствует некоторая точка $O^{\prime}$ внутри окружности.

Примем радиус данной окружности за единицу. Аффикс точки $M$ представлен комплексной величиной $x+\sqrt{-1} y$, и уравнение окружности выражается в виде
\[
|x+\sqrt{-1} y|=\text { const }=1 .
\]

Пусть $a+\sqrt{-1} b-$ аффикс точки $O^{\prime}$. Рассмотрим выражение
\[
x^{\prime}+\sqrt{-1} y^{\prime}=\frac{\alpha(x+\sqrt{-1} y)+\beta}{\gamma(x+\sqrt{-1} y)+\delta} .
\]

Выберем $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ таким образом, чтобы $M^{\prime}$ описывала окружность одновременно с $M$, т. е. что модуль $x^{\prime}+\sqrt{-1} y^{\prime}$ был равен единице вместе с модулем $x+\sqrt{-1} y$.

Аффикс точки $O^{\prime \prime}$, сопряженной с точкой $O^{\prime}$, имеет вид $\frac{1}{a-\sqrt{-1} b}$. Пусть
\[
x^{\prime}+\sqrt{-1} y^{\prime}=\frac{x+\sqrt{-1} y-(a+\sqrt{-1} b)}{x+\sqrt{-1} y-\frac{1}{a-\sqrt{-1} b}} \frac{1}{a-\sqrt{-1} b} .
\]

Условие
\[
|x+\sqrt{-1} y|=1
\]

равносильно следующему
\[
x^{2}+y^{2}=1 \text {, }
\]

или
\[
\frac{1}{x-\sqrt{-1} y}=x+\sqrt{-1} y .
\]

Таким образом, для точек окружности $(x, y)$ получим следующие формулы
\[
x^{\prime}+\sqrt{-1} y^{\prime}=\frac{x+\sqrt{-1} y-(a+\sqrt{-1} b)}{\frac{1}{x-\sqrt{-1} y}-\frac{1}{a-\sqrt{-1} b}} \frac{1}{a-\sqrt{-1} b}
\]

или
\[
x^{\prime}+\sqrt{-1} y^{\prime}=\frac{x+\sqrt{-1} y-(a+\sqrt{-1} b)}{x-\sqrt{-1} y-(a-\sqrt{-1} b)}(x-\sqrt{-1} y) \frac{a+\sqrt{-1} b}{a-\sqrt{-1} b} .
\]

Модуль двух дробей равен единице, так как оба их числителя и знаменателя сопряжены. Модуль $x-\sqrt{-1} y$ равен единице, следовательно, модуль $x^{\prime}+\sqrt{-1} y^{\prime}$ также равен единице.
Если
\[
x+\sqrt{-1} y=a+\sqrt{-1} b,
\]

то получаем
\[
x^{\prime}+\sqrt{-1} y^{\prime}=0,
\]

так что точка $O$ является образом произвольно выбранной внутри окружности точки $O^{\prime}$.
89. Шварц предложил способ конформного отображения произвольной плоской площади на окружность. Однако процедура является довольно запутанной за исключением некоторых случаев.

Предположим, что мы можем произвести конформное отображение площади $A$ на окружность таким образом, чтобы точка $M$ площади $A$ соответствовала точке $M^{\prime}$ окружности, а точка $R_{0}$ площади $A$ – центру окружности. Покажем, что можно найти другое отображение площади $A$ на ту же окружность, такое, что другая точка $P$ площади $A$ будет соответствовать центру окружности. Действительно, пусть $P^{\prime}$ точка окружности, соответствующая точке $P$ в первом отображении. Отобразим конформно окружность саму на себя так, что точке $M^{\prime}$ соответствует точка $M^{\prime \prime}$, а точке $P^{\prime}$ соответствует центр окружности. Такое отображение всегда можно произвести (см. п. 88).

Таким образом получим конформное отображение площади $A$. Действительно, пусть $(x, y),\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)$ и $\left(x^{\prime \prime}, y^{\prime \prime}\right)$ являются координатами точек $M, M^{\prime}$ и $M^{\prime \prime}, x^{\prime \prime}$ и $y^{\prime \prime}$ являются функциями от $\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)$ и, следовательно, функциями от $(x, y)$, поскольку $x^{\prime}$ и $y^{\prime}$ являются функциями от $x$ и $y$. С другой стороны, так как оба последовательно произведенных отображения являются конформными, то общее отображение сохраняет углы. Наконец, если точка $M$ совпадает с $P$, то точка $M^{\prime}$ переходит в $P^{\prime}$, а точка $M^{\prime \prime}$ в центр окружности.
90. Задача Гельмгольца. Предположим, что сечение сосуда представляет собой кривую $C$. Пусть $A_{0}$ – след вихревой трубки с моментом, равным $2 \pi$. Как мы уже установили в п. 60 ,
\[
v+\sqrt{-1} u
\]

является функцией от $x+\sqrt{-1} y$.

Таким образом, положим
\[
v+\sqrt{-1} u=\frac{d(\psi+\sqrt{-1} \varphi)}{d(x+\sqrt{-1} y)},
\]

откуда
\[
u=-\frac{d \psi}{d y}=\frac{d \varphi}{d x}, \quad v=\frac{d \psi}{d x}=\frac{d \varphi}{d y} .
\]

Пусть существует равенство
\[
x^{\prime}+\sqrt{-1} y^{\prime}=e^{\psi+\sqrt{-1} \varphi} .
\]

Это выражение будет функцией от $x+\sqrt{-1} y$. Функции $u$ и $v$ ведут себя регулярно внутри кривой $C$, за исключением точки $A_{0}$, где $u$ и $v$ являются бесконечно большими первого порядка.
Добавим, что разность
\[
v+\sqrt{-1} u-\frac{1}{x+\sqrt{-1} y}
\]

остается конечной ${ }^{1}$. Функция
\[
\psi+\sqrt{-1} \varphi-\log (x+\sqrt{-1} y)=f_{1}(x+\sqrt{-1} y)
\]

также остается конечной, даже в точке $A_{0}$. Следовательно, выражение
\[
e^{\psi+\sqrt{-1} \varphi}=(x+\sqrt{-1} y) e^{f_{1}}
\]

не имеет сингулярной точки, поскольку два множителя ведут себя регулярно в точке $A_{0}$. Вдоль кривой $C$, которая является линией тока, $\psi=$ const. Поскольку $e^{\psi}$ является модулем $e^{\psi+\sqrt{-1} \varphi}$ или $x^{\prime}+\sqrt{-1} y^{\prime}$, следовательно, вдоль кривой $C$ модуль $x^{\prime}+\sqrt{-1} y^{\prime}$ постоянен:
\[
x^{\prime 2}+y^{\prime 2}=\text { const. }
\]

Рассмотрим точку $M(x, y)$ внутри кривой $C$. При ее прохождении через всю площадь, ограниченную кривой $C$, точка $\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)$ пересечет площадь, ограниченную кривой, соответствующей $C$. Согласно уравнению (I), эта кривая является окружностью, центр которой соответствует точке $A_{0}$. Отображение является конформным, так как $x^{\prime}+\sqrt{-1} y^{\prime}$ является функцией от $x+\sqrt{-1} y$.
${ }^{1}$ Точке $A_{0}$ здесь, по-видимому, соответстзует начало координат. – Прим. ред.

91. Зная конформное отображение площади $C$, можно найти решение задачи Гельмгольца, и наоборот. Зная $x^{\prime}+\sqrt{-1} y^{\prime}$, получим
\[
\begin{array}{c}
e^{\psi+\sqrt{-1} \varphi}=x^{\prime}+\sqrt{-1} y^{\prime}, \\
v=\frac{d \psi}{d x}, \quad u=-\frac{d \psi}{d y} .
\end{array}
\]

Здесь $\varphi$ – функция скоростей (вне трубки $A_{0}$ ).
92. Для определения траектории центра тяжести трубки $A_{0}$ будет более удобным прибегнуть к электростатическому сравнению.

Рассмотрим электрическое поле, определенное некоторым числом равномерно наэлектризованных прямых, перпендикулярных плоскости $x y$, длиной $2 l$, очень большой по сравнению с их расстояниями. Пусть концы всех прямых находятся в двух плоскостях $z=l$ и $z=-l$.

Пусть $A B$ – одна из этих прямых (рис. 27); $P$ – некоторая точка на этой прямой с координатами $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$, а $P^{\prime}$ – бесконечно близкая к ней точка, координаты которой $-x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}+d z^{\prime}$.

Если через $\delta$ обозначим заряд на единице длины, то зарядом $P P^{\prime}$ будет $\delta d z^{\prime}$ и потенциал прямой $A B$ в точке $M(x, y, z)$ будет иметь вид
\[
V=\int_{-l}^{+l} \frac{\delta d z^{\prime}}{M P} .
\]

Рис. 27

Пусть $\rho$ – расстояние от точки $M$ до прямой, так что
\[
\overline{M P}^{2}=\rho^{2}+\left(z-z^{\prime}\right)^{2},
\]

тогда потенциал будет выражаться в следующем виде
\[
V=\int_{-l}^{+l} \frac{\delta d z^{\prime}}{\sqrt{\rho^{2}+\left(z-z^{\prime}\right)^{2}}} .
\]

Положим
\[
z^{\prime}=\zeta+z, \quad \alpha=l-z, \quad \beta=l+z,
\]

тогда
\[
\begin{array}{c}
V=\int_{-\beta}^{\alpha} \frac{\delta d \zeta}{\sqrt{\rho^{2}+\zeta^{2}}}, \\
V=\delta \log \frac{\alpha+\sqrt{\rho^{2}+\alpha^{2}}}{-\beta+\sqrt{\rho^{2}+\beta^{2}}}=\delta \log \frac{\left(\alpha+\sqrt{\rho^{2}+\alpha^{2}}\right)\left(\beta+\sqrt{\rho^{2}+\beta^{2}}\right)}{\rho^{2}} .
\end{array}
\]

Поскольку $\alpha$ и $\beta$ очень большие по сравнению с $\rho$, то получим следующее приблизительное значение потенциала
\[
V=\delta \log \frac{4 \alpha \beta}{\rho^{2}}=2 \delta \log \frac{2 \sqrt{l^{2}-z^{2}}}{\rho} .
\]
93. Если существует некотороє количество наэлектризованных прямых, то
\[
V=\sum 2 \delta_{i} \log \frac{2 \sqrt{l^{2}-z^{2}}}{\rho_{i}}
\]

или
\[
V=-2 \sum \delta_{i} \log \rho_{i}+2 \log 2 \sqrt{l^{2}-z^{2}} \sum \delta_{i} .
\]

Если сумма зарядов равна нулю
\[
\sum \delta_{i}=0,
\]

то потенциал
\[
V=-2 \sum \delta_{i} \log \rho_{i}
\]

не зависит ни от $l$, ни от $z$.
Составляющая электростатической силы, параллельная $O z$, как и $\frac{d V}{d z}$, равна нулю.
94. Применение к гидродинамике. Пусть $C$ – сечение сосуда, $\Omega$ – сечение вихревой трубки (рис. 28). Вихрь $\zeta$ изменяется некоторым образом внутри сечения $\Omega$ и равен нулю вне этого сечения. Пусть $2 \pi$ – полный момент трубки:
\[
\int 2 \zeta d \omega=2 \pi .
\]

Необходимо, чтобы выполнялось два уравнения: уравнение неразрывности
\[
\frac{d u}{d x}+\frac{d v}{d y}=0
\]

и уравнение
\[
\frac{d v}{d x}-\frac{d u}{d y}=2 \zeta
\]

Рис. 28

Соотношение (1) выражает, что $u$ и $v$ являются производными одной и той же функции $\psi(x, y)$
\[
\begin{array}{c}
u=-\frac{d \psi}{d y}, \quad v=\frac{d \psi}{d x}, \\
v d x-u d y=d \psi .
\end{array}
\]

Подставляя значения $u$ и $v$ в выражение (2), получим
\[
\Delta \psi=2 \zeta .
\]

Таким образом, вне сечения $\Omega$
\[
\Delta \psi=0,
\]

и существует функция скоростей. Кривая $C$ должна быть линией тока, т.е. вдоль этой линии должно выполняться равенство
\[
\frac{d x}{u}=\frac{d y}{v}
\]

или
\[
\frac{d \psi}{d x} d x+\frac{d \psi}{d y} d y=d \psi=0 .
\]

Следовательно, вдоль $C$
\[
\psi=\text { const. }
\]

Поскольку $\psi$ определена тольно через свои производные, то необходимо, чтобы эта постоянная всегда равнялась нулю.

95. Теперь заменим в трубке $\Omega$ каждую бесконечно тонкую трубку на наэлектризованную прямую длиной $2 l$, плотность заряда на которой пропорциональна $\zeta$. Предположим, что пространство, заключенное между $\Omega$ и $C$, заполнено диэлектриком, а вне $C$ – цилиндрическим проводником с контуром $C$ в качестве основания. Если этот проводник заземлен, то его потенциал $\psi$ равен нулю, и по всей длине $C$ получим $\psi=0$.

Однако по $C$ распределяется электрический заряд, равный заряду на $\Omega$, но противоположный по знаку (теорема Фарадея). Надлежащим выбором коэффициента пропорциональности, связывающего плотность заряда с $\zeta$, потенциал можно представить функцией $\psi$, которая была определена в п. 94.
Внутри контура $C$ в диэлектрике справедливо равенство
\[
\Delta \psi=0 .
\]

Внутри цилиндра $\Omega$ имеем
\[
\Delta \psi=-4 \pi \mu^{\prime \prime} .
\]

Таким образом, достаточно принять
\[
\mu^{\prime \prime}=-\frac{\zeta}{2 \pi}
\]

или
\[
\int \mu^{\prime \prime} d \omega=-\frac{1}{2}
\]

Тогда функция $\psi$ будет удовлетворять тем же условиям, что и функция $\psi$, определенная в задаче Гельмгольца. Функция $\psi$ зависит только от $x$ и $y$, а сумма зарядов равна нулю, так как заряды цилиндров $C$ и $\Omega$ равны и имеют противоположные знаки.

В точке поверхности цилиндра $C$ поверхностная плотность заряда $\mu^{\prime}$ будет такой, что
\[
\int \mu^{\prime} d s=\frac{1}{2},
\]

где $s$ – дуга кривой $C$.
Следовательно, потенциал выражается в виде
\[
\psi=-2 \int \mu^{\prime} d s \log \rho-2 \int \mu^{\prime \prime} d \omega \log \rho=\psi^{\prime}+\psi^{\prime \prime}
\]
(через $\psi^{\prime}$ обозначим первый интеграл, а через $\psi^{\prime \prime}$ – второй).

Заметим, что $\psi^{\prime}$ не является потенциалом, возникшим только в цилиндре $C$, а $\psi^{\prime \prime}$ – только в цилиндре $\Omega$, так как сумма зарядов в этих цилиндрах, рассматриваемых по отдельности, больше не равны нулю.
Выражение потенциала в цилиндре $C$ будет следующим (п. 93)
\[
-2 \int \mu^{\prime} d s \log \rho+2 \log 2 \sqrt{l^{2}-z^{2}} \int \mu^{\prime} d s,
\]

или
\[
-\psi^{\prime}+\log 2 \sqrt{l^{2}-z^{2}},
\]

а в $\Omega$
\[
\psi^{\prime \prime}-\log 2 \sqrt{l^{2}-z^{2}} .
\]

Здесь было использовано, что $\int \mu^{\prime} d s=+\frac{1}{2}$ и $\int \mu^{\prime \prime} d \omega=-\frac{1}{2}$.
Составляющие электростатической силы имеют вид
\[
v=\frac{d \psi}{d x}, \quad u=-\frac{d \psi}{d y} .
\]

Необходимо совершить вращение на $90^{\circ}$ для того, чтобы получить составляющие скорости, которые примут следующие значения
\[
u=-\frac{d \psi^{\prime}}{d y}-\frac{d \psi^{\prime \prime}}{d y}, \quad v=\frac{d \psi^{\prime}}{d x}+\frac{d \psi^{\prime \prime}}{d x} .
\]
96. Предположим, что трубка является бесконечно тонкой, ее след сокращается в точку $G$, а момент остается равным $2 \pi$.

Весь заряд будет сосредоточен на прямой $G$, перпендикулярной плоскости $x y$. Вблизи этой прямой электрическая сила и, следовательно, скорость будут бесконечно большими. Таким образом, выражение $\psi^{\prime \prime}$ будет иметь вид
\[
\psi^{\prime \prime}=-2 \log \rho_{0} \int \mu^{\prime \prime} d \omega=\log \rho_{0},
\]

где $\rho_{0}$ – расстояние от точки $M$ до прямой, проведенной из центра тяжести трубки параллельно оси $z$.

Действительно, с точностью до бесконечно малых высокого порядка, $\rho$ равняется $\rho_{0}[M P$ равняется $M G$ (рис. 28)]. Если рассматриваемая точка $M$ бесконечно приближается к $G$, то $\rho_{0}$ стремится к 0 и $\psi^{\prime \prime}$ становится бесконечно большой. Напротив, $\psi^{\prime}$ остается конечной, поскольку $\rho$ остается конечной, даже если точка $M$ бесконечно приближается к $G$.

Следовательно, $u$ и $v$ бесконечно растут, хотя их первые члены $\frac{d \psi^{\prime}}{d y}$ и $\frac{d \psi^{\prime}}{d x}$ остаются конечными, иначе говоря, функции
\[
u+\frac{d \log \rho_{0}}{d y}, \quad v-\frac{d \log \rho_{0}}{d x}
\]

остаются конечными, даже в точке $G$.
Таким образом, функция $\psi$ должна удовлетворять следующим условиям:

Функция должна быть конечной и непрерывной также, как и ее производные на всей площади ограниченной кривой $C$, кроме точки $G$; в каждой точке этой площади она должна удовлетворять уравнению Лапласа $\Delta \psi=0$ и быть равной нулю в каждой точке контура $C$. Наконец, функции
\[
u+\frac{d \log \rho_{0}}{d y}, \quad v-\frac{d \log \rho_{0}}{d x}
\]

должны оставаться конечными вблизи $G$.
Поставленная таким образом задача допускает только одно решение. Это решение будем называть конформным отображением.
97. Действительно, допустим, что нами получено конформное отображение площади $C$ на поверхность, ограниченную окружностью единичного радиуса с центром в начале координат. Предположим, что точка $G$ соответствует центру окружности. Точке $M(x, y)$ площади $C$ соответствует точка $M^{\prime}\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)$ внутри окружности, а $x^{\prime}+\sqrt{-1} y^{\prime}$ является функцией от $x+\sqrt{-1} y$. Положим
\[
\log \left(x^{\prime}+\sqrt{-1} y^{\prime}\right)=\psi+\sqrt{-1} \varphi .
\]

Покажем, что функция
\[
\psi=\log \sqrt{x^{2}+y^{\prime 2}}
\]

удовлетворяет всем требуемым условиям.

Действительно,
\[
\Delta \psi=0
\]
т.к. $\psi$ является вещественной частью аналитической функции.

Отметим, что вдоль всего контура $C$ справедливо равенство $\psi=0$, так как отображение контура $C$ является окружностью:
\[
x^{\prime 2}+y^{\prime 2}=1 \text {. }
\]

Выражение $\psi-\log \rho_{0}$ остается конечным. Оно могло бы быть бесконечным только в точке $G$, соответствующей точке $O$, для которой
\[
x^{\prime 2}+y^{\prime 2}=0 \text {. }
\]

Пусть $x_{0}, y_{0}$ – координаты точки $G$, так что
\[
\rho_{0}=\left|(x+\sqrt{-1} y)-\left(x_{0}+\sqrt{-1} y_{0}\right)\right| .
\]

При этом
\[
\psi-\log \rho_{0}=\text { вещественной части } \log \frac{x^{\prime}+\sqrt{-1} y^{\prime}}{x+\sqrt{-1} y-\left(x_{0}+\sqrt{-1} y_{0}\right)},
\]

где при $x+\sqrt{-1} y=x_{0}+\sqrt{-1} y_{0}$ выражение $x^{\prime}+\sqrt{-1} y^{\prime}$ обнуляется и становится простым нулем. Итак, величина под знаком логарифма в точке $G$ больше не обнуляется.
98. Скорость точки $G$. Скорость точки $G$ определяется уравнением (1) п. 65:
\[
\frac{d x_{0}}{d t} \int \zeta d \omega=\int u \zeta d \omega
\]

или
\[
\frac{d x_{0}}{d t} \int \zeta d \omega=-\int \frac{d \psi^{\prime}}{d y} \zeta d \omega-\int \frac{d \psi^{\prime \prime}}{d y} \zeta d \omega
\]

Покажем, что интеграл $\int \frac{d \psi^{\prime \prime}}{d y} \zeta d \omega=0$. Действительно, если бы перегородки $C$ не существовало, то составляющие скорости выражались бы следующими соотношениями
\[
u=-\frac{d \psi^{\prime \prime}}{d y}, \quad v=\frac{d \psi^{\prime \prime}}{d z} .
\]

Однако в этом случае центр тяжести $G$ вихревой трубки неподвижен:
\[
\frac{d x_{0}}{d t}=-\frac{\int \frac{d \psi^{\prime \prime}}{d y} \zeta d \omega}{\int \zeta d \omega}=0,
\]

откуда
\[
\int \frac{d \psi^{\prime \prime}}{d y} \zeta d \omega=0
\]

Следовательно, остается
\[
\frac{d x_{0}}{d t} \int \zeta d \omega=-\int \frac{d \psi^{\prime}}{d y} \zeta d \omega,
\]

здесь $\frac{d x_{0}}{d t}$ будет одним из значений, которое принимает отношение $-\frac{d \psi^{\prime}}{d y}$ внутри сечения $\Omega$ вихревой трубки. Если трубка бесконечно тонкая, то это значение мало отличается от того, которое принимает функция в точке $G$.

Таким образом, для того чтобы вычислить $\frac{d x_{0}}{d t}$, примем производную $-\frac{d \psi^{\prime}}{d y}$ и заменим $x$ и $y$ на координаты точки $G x_{0}, y_{0}$. Вычислим таким же образом $\frac{d y_{0}}{d t}=\left(\frac{d \psi^{\prime}}{d x}\right)_{0}$.
99. Электростатическая аналогия. Рассмотрим точку $M$ на плоскости $x y$. Вследствие симметрии (поскольку концы электрических прямых полагаются в плоскостях $z= \pm l$, находящихся на равных расстояниях от плоскости $x y$ ), электрическая сила, действующая в точке $M$, будет располагаться в этой плоскости. Ее составляющие выражаются через $\frac{d \psi}{d x}, \frac{d \psi}{d y}$. Сила порождается зарядом цилиндра $\Omega$ и поверхностью $C$. Следовательно, ее можно рассматривать как равнодействующую двух сил. Первая вызвана зарядом на поверхности $C$, и ее компоненты равны
\[
\frac{d \psi^{\prime}}{d x}, \quad \frac{d \psi^{\prime}}{d y}, \quad \frac{d \log 2 \sqrt{l^{2}-z^{2}}}{d z} .
\]

Если точка $M$ находится на плоскости $x y$, то третья компонента становится равной нулю. Вторая сила, вызванная $\Omega$, имеет следующие компоненты
\[
\frac{d \psi^{\prime \prime}}{d x}, \quad \frac{d \psi^{\prime \prime}}{d y}, \quad-\frac{d \log 2 \sqrt{l^{2}-z^{2}}}{d z} .
\]

Второй член потенциала цилиндра $\Omega$ не зависит ни от $x$, ни от $y$.
В плоскости $x y$ третья компонента также становится равной нулю, и мы получаем две силы, компоненты которых
\[
\begin{array}{lll}
\frac{d \psi^{\prime}}{d x}, & \frac{d \psi^{\prime}}{d y}, & 0 ; \\
\frac{d \psi^{\prime \prime}}{d x}, & \frac{d \psi^{\prime \prime}}{d y}, & \mathbf{0 .}
\end{array}
\]

Вблизи точки $G$ компоненты второй силы становятся очень большими. Первая при этом остается конечной и, согласно предыдущему параграфу, поворачивая ее на $90^{\circ}$, получим скорость точки $G$.
100. Траектория точки $\boldsymbol{G}$. Для того чтобы найти эту траекторию, или скорее, одно из ее главных свойств, поскольку не всегда возможно получить ее уравнение в конечной форме, удобно вновь прибегнуть к электростатическому сравнению.
101. Сначала напомним некоторые теоремы электростатики, которыми мы впоследствии воспользуемся.

Теорема 1. Пусть существует электрическое поле, и в нем находятся проводники с зарядами $M_{1}, M_{2}, \ldots, M_{n}$. Значения потенцила в точках нахождения зарядов $V_{1}, V_{2}, \ldots, V_{n}$. Если поле претерпевает изменения, то работа, произведенная электрическими силами, равняется приращению суммы
\[
\frac{1}{2}\left(M_{1} V_{1}+M_{2} V_{2}+\ldots+M_{n} V_{n}\right)=\frac{1}{2} \sum M V .
\]

Теорема 2. Пусть две системы проводников $S$ и $S^{\prime}$ действуют друг на друга (здесь не учитываем силы, с которыми проводники одной системы действуют на проводники этой же системы).

Для простоты формулировки предположим, что проводники очень малы и уподобляются точкам. Если бы это было не так, то было бы необходимо разложить каждый проводник на бесконечно малые элементы.

Пусть $M_{1}, M_{2}, \ldots, M_{n}$ – электрические заряды проводников, составляющих систему $S, V_{1}^{\prime}, V_{2}^{\prime}, \ldots, V_{n}^{\prime}$ – потенцилы, порожденные системой $S^{\prime}$ в точках, где находятся эти заряды. Пусть $M_{1}^{\prime}, M_{2}^{\prime}, \ldots$, $M_{n}^{\prime}$ – заряды в системе $S^{\prime}$ и $V_{1}, V_{2}, \ldots, V_{n}$ – потенциалы, порожденные системой $S$ в точках расположения этих зарядов.

Работа сил при действии системы $S$ на систему $S^{\prime}$, увеличенная на работу сил при действии $S^{\prime}$ на $S$, равняется приращению функции
\[
M_{1} V_{1}^{\prime}+M_{2} V_{2}^{\prime}+\ldots+M_{n} V_{n}^{\prime}+M_{1}^{\prime} V_{1}+\ldots M_{n}^{\prime} V_{n}
\]

или
\[
\sum M V^{\prime}+\sum M^{\prime} V
\]

Если имеется бесконечное число электрических масс, то теоремы также верны. Однако в формулах суммы $\sum$ необходимо заменить на интегралы $\int$.
102. Применим эти теоремы при рассмотрении электрического поля, определенного нами в п. 95.
Силы, действующие в этом поле, образуют четыре группы:
Заряды $\mu^{\prime \prime}$ взаимодействуют друг с другом с силами $F_{1}$; заряды $\mu^{\prime}$ действуют на заряды $\mu^{\prime \prime}$ посредством сил $F_{2}$; заряды $\mu^{\prime \prime}$ действуют на $\mu^{\prime}$ посредством сил $F_{2}^{\prime}$ и, наконец, заряды $\mu^{\prime}$ взаимодействуют между собой с силами $F_{3}$.

Разложим цилиндр $\Omega$ на бесконечно малые элементы следующим образом. Разобьем цилиндр $\Omega$ на бесконечно тонкие цилиндры сечением $d \omega$, параллельные $O z$, а затем рассечем эти цилиндры плоскостями, параллельными плоскости $x y$. Объем каждого элемента получится равным $d \omega d z$, а его заряд – $\mu^{\prime \prime} d \omega d z$.

Компоненты силы $F_{2}$, относящиеся к этому элементу, будут иметь вид
\[
\mu^{\prime \prime} d \omega d z \frac{d \psi^{\prime}}{d x}, \quad \mu^{\prime \prime} d \omega d z \frac{d \psi^{\prime}}{d y}, \quad \mu^{\prime \prime} d \omega d z \frac{d \log 2 \sqrt{l^{2}-z^{2}}}{d z} .
\]

Заметим, что сечение цилиндра $\Omega$ полагалось очень маленьким и внутри этого сечения $\frac{d \psi^{\prime}}{d x}$ и $\frac{d \psi^{\prime}}{d y}$ имеют постоянное значение. Точка приложения равнодействующей сил $F_{2}$ находится внутри $\Omega$ : таким образом, она находится очень близко к прямой, проведенной через точку $G$ параллельно оси $O z$. Обозначая через $\ell$ полный заряд $\Omega$, который полагается сосредоточенным на этой прямой, получим равнодействующую сил $F_{2}$ со следующими компонентами
\[
-\ell \frac{d \psi^{\prime}}{d x}, \quad-\ell \frac{d \psi^{\prime}}{d y}, \quad 0 .
\]
103. Оценим работу этих сил и начнем с полной работы четырех видов электростатических сил $F_{1}, F_{2}, F_{2}^{\prime}$ и $F_{3}$.

Как мы уже напомнили, работа электростатических сил представлена приращением интеграла
\[
\frac{1}{2} \int V d m
\]

где $V$ – потенциал, в котором находится бесконечно малый заряд $d m$, интеграл взят по всем массам. В рассматриваемом нами случае полный потенциал равен $\psi$. Следовательно, искомая работа равняется приращению суммы
\[
\frac{1}{2} \int \psi \mu^{\prime \prime} d \omega d z+\frac{1}{2} \int \psi \mu^{\prime} d s d z
\]

где $d \omega$ является сечением одного из элементарных цилиндров, полученных разложением $\Omega$; а $d s$ – элемент контура $C$ такой, что поверхность $C$ разбивается на прямоугольники площадью $d s d z$.

Заметим, что $\psi, \mu^{\prime}$ и $\mu^{\prime \prime}$ не зависят от $z$ и что необходимо произвести интегрирование в пределах от $z=-l$ до $z=+l$. Тогда это выражение примет следующий вид
\[
l \int \psi \mu^{\prime \prime} d \omega+l \int \psi \mu^{\prime} d s
\]

Положим
\[
P=\int \psi \mu^{\prime \prime} d \omega+\int \psi \mu^{\prime} d s
\]

Работа электростатических сил представлена выражением
\[
d \mathscr{E}=l d P .
\]
104. Выполним аналогичные вычисления для сил $F_{1}$. Заряд одного маленького цилиндра равен $\mu^{\prime \prime} d \omega d z$, а его потенциал –
\[
\psi^{\prime \prime}-\log 2 \sqrt{l^{2}-z^{2}},
\]

следовательно, получаем
\[
\begin{array}{c}
d \mathscr{E}=\frac{1}{2} d \int\left[\psi^{\prime \prime}-\log 2 \sqrt{l^{2}-z^{2}}\right] \mu^{\prime \prime} d \omega d z= \\
=\frac{1}{2} d \int \psi^{\prime \prime} \mu^{\prime \prime} d \omega d z-\frac{1}{2} d \int \mu^{\prime \prime} d \omega \log 2 \sqrt{l^{2}-z^{2}} d z= \\
=l d \int \psi^{\prime \prime} \mu^{\prime \prime} d \omega-\frac{1}{2} d \int \mu^{\prime \prime} d \omega \int_{-l}^{+l} \log 2 \sqrt{l^{2}-z^{2}} d z
\end{array}
\]

поскольку $\mu^{\prime \prime}$ не зависит от $z$. Два последних интеграла постоянны. Тогда, полагая
\[
P^{\prime}=\int \psi^{\prime \prime} \mu^{\prime \prime} d \omega,
\]

получим выражение для работы сил $F_{1}$ :
\[
l d P^{\prime} .
\]

Работа других сил $F_{2}, F_{2}^{\prime}$ и $F_{3}$ будет представлена разностью
\[
l d\left(P-P^{\prime}\right) \text {. }
\]

Таким образом,
\[
P-P^{\prime}=\int \psi^{\prime} \mu^{\prime \prime} d \omega+\int \psi \mu^{\prime} d s,
\]

где $\psi$ представляет собой потенциал в точках на контуре $C$. Этот потенциал равняется нулю, поскольку цилиндр $C$ заземлен: следовательно, второй интеграл также равен нулю. Первый интеграл должен быть взят по всей площади $\Omega$. Так как эта площадь бесконечно мала, то $\psi^{\prime}$ имеет почти постоянное значение на всей своей протяженности, равное значению в точке $G, \psi_{0}^{\prime}$. Таким образом, можем записать
\[
P-P^{\prime}=\psi_{0}^{\prime} \int \mu^{\prime \prime} d \omega=-\frac{1}{2} \psi_{0}^{\prime} .
\]
105. Предположим, что трубка перемещается. Скорость ее центра тяжести выражается следующими составляющими
\[
\frac{d x_{0}}{d t}=-\left(\frac{d \psi^{\prime}}{d y}\right)_{0}, \quad \frac{d y_{0}}{d t}=\left(\frac{d \psi^{\prime}}{d x}\right)_{0} .
\]

Выражением $\left(\frac{d \psi^{\prime}}{d y}\right)_{0}$ обозначается значение, которое принимает $\left(\frac{d \psi^{\prime}}{d y}\right)$, когда $x$ и $y$ заменяются на координаты $x_{0}, y_{0}$ точки $G$.

Массы $\mu^{\prime \prime}$ перемещаются и при этом задают распределение заряда по поверхности $C$.
В плоскости $x y$ составляющие силы $F_{2}$ имеют вид
\[
\frac{d \psi^{\prime}}{d x}, \frac{d \psi^{\prime}}{d y} .
\]

Следовательно, равнодействующая сил $F_{2}$ нормальна к траектории точки $G$ и не производит никакой работы. То же самое получим в случае с силами $F_{2}^{\prime}$ и $F_{3}$. Действительно, равнодействующая этих сил нормальна к проводнику $C$ (поскольку в электростатике силовые линии всегда нормальны к проводникам), массы $\mu^{\prime}$ перемещаются, оставаясь $n р и$ этом на поверхности проводника и, следовательно, перпендикулярны направлению силы. Таким образом, эти силы не производят работы.
Полная работа сил $F_{2}, F_{2}^{\prime}$ и $F_{3}$ равна нулю.
Из чего следует, что
\[
d\left(P-P^{\prime}\right)=0,
\]

или
\[
P-P^{\prime}=\mathrm{const},
\]

и, наконец,
\[
\psi_{0}^{\prime}=\text { const. }
\]
106. Траектория является замкнутой кривой. Предположим, что было произведено конформное отображение площади $C$ на окружность $K$ с центром в точке $O$ (рис. 29). Точке $G\left(x_{0}, y_{0}\right)$ соответствует точ-

Рис. 29 ка $G^{\prime}\left(x_{0}^{\prime}, y_{0}^{\prime}\right)$, а точке $M(x, y)$ – точка $M^{\prime}\left(x^{\prime}, y^{\prime}\right)$. Положим
\[
\begin{aligned}
x^{\prime}+\sqrt{-1} y^{\prime} & =Z^{\prime}, & x+\sqrt{-1} y & =Z, \\
x_{0}^{\prime}+\sqrt{-1} y_{0}^{\prime} & =Z_{0}^{\prime}, & x_{0}+\sqrt{-1} y_{0} & =Z_{0},
\end{aligned}
\]
$Z^{\prime}$ является некоторой функцией от $f(Z)$, а $Z_{0}^{\prime}$ – та же функция от $Z_{0}$.
Положим также
\[
x_{0}^{\prime}-\sqrt{-1} y_{0}^{\prime}=U_{0}^{\prime} .
\]

Для того чтобы можно было применить формулы, необходимо найти другое конформное отображение такое, при котором точке $G$ соответствует точка $O$, а точке $M$ – точка $M^{\prime \prime}\left(x^{\prime \prime}, y^{\prime \prime}\right)$ так, что
\[
x^{\prime \prime}+\sqrt{-1} y^{\prime \prime}=Z^{\prime \prime}=\varphi(Z) .
\]

При смещении точки $G$, вид функции $\varphi$ будет изменяться, а вид функции $f$ останется тем же, поскольку в определении функции $f$ точка $G$ не играет никакой роли.
Как было показано в п. 88, достаточно принять
\[
Z^{\prime \prime}=\frac{Z^{\prime}-Z_{0}^{\prime}}{Z^{\prime} U_{0}^{\prime}-1} .
\]

Действительно, если $\bmod Z^{\prime}=1$, то $\bmod Z^{\prime \prime}=1$.
Если $Z=Z_{0}$, то $Z^{\prime}=Z_{0}^{\prime}$ и $Z_{0}^{\prime \prime}=0$, т.е. точке $G$ соответствует только точка $O$.
Функция $Z^{\prime \prime}$ является функцией от $x$ и $y$ :
\[
\begin{array}{c}
Z^{\prime \prime}=e^{\psi+\sqrt{-1} \varphi}, \\
\psi=\text { вещественная часть } \log Z^{\prime \prime}=\log \left|Z^{\prime \prime}\right|, \\
\psi^{\prime \prime}=\log \rho_{0},
\end{array}
\]

полагая
\[
\begin{array}{c}
\rho_{0}=M G=\left|Z-Z_{0}\right|, \\
\psi^{\prime}=\log \left|\frac{Z^{\prime \prime}}{Z-Z_{0}}\right|=\log \left|\frac{Z^{\prime}-Z_{0}^{\prime}}{Z-Z_{0}}\right|-\log \left|Z^{\prime} U_{0}^{\prime}-1\right| .
\end{array}
\]

Пусть $\psi_{0}^{\prime}$ является значением этого выражения для $Z=Z_{0}$. Применяя правило Лопиталя, получаем
\[
\begin{aligned}
\psi_{0}^{\prime} & =\log \left|\frac{d Z_{0}^{\prime}}{d Z_{0}}\right|-\log \left|Z^{\prime} U_{0}^{\prime}-1\right|= \\
& =\log \left|\frac{d Z_{0}^{\prime}}{d Z_{0}}\right|-\log \left[1-\left|Z_{0}^{\prime}\right|^{2}\right] .
\end{aligned}
\]

Следовательно, уравнение $\psi_{0}^{\prime}=$ const можно записать в виде
\[
\frac{\left|\frac{d Z_{0}^{\prime}}{d Z_{0}}\right|}{1-\left|Z_{0}^{\prime}\right|^{2}}=\text { const. }
\]

Итак, траектория всегда будет представлять собой замкнутую кривую.