133. Установившееся движение. Пусть жидкость бесконечна и вихревые трубки параллельны оси $O z$. Движение, очевидно, будет установившимся, если $\zeta$ являются функциями только от расстояния $\rho=$ $=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$.

В этом случае вокруг оси $O z$ существует ряд концентрических слоев, внутри которых вихрь будет иметь постоянное значение.
Пусть $M$ – некоторая точка (рис. 36), скорость этой точки будет направлена перпендикулярно радиус-вектору $O M$, проведенному из центра в эту точку. За время $d t$ точка $M$ переместится в $M_{1}$, расположенную на том же расстоянии от точки $O$. Таким образом, точка $M$ описывает окружность с центром $O$. Пусть $\zeta-$ значение вихря в точке $M$ в момент времени $t ; \zeta^{\prime}$ – значение вихря в $M_{1}$ в момент времени $t+d t ; \zeta_{1}$ – его
Рис. 36 значение в $M$ в момент $t+d t$.
\[
\text { Я утверждаю, что } \zeta=\zeta^{\prime} \text {. }
\]

Действительно, частица, которая в момент времени $t$ находилась в точке $M$, перемещается за время $t+d t$ в точку $M_{1}$, принадлежащую той же трубке. А для одной и той же грубки $\zeta=$ const.
Кроме того, $\zeta_{1}=\zeta^{\prime}$.
Действительно, в момент времени $t$ две точки $M$ и $M_{1}$ находятся на одной и той же окружности с центром в точке $O$. Согласно предположению, $\zeta$ зависит только от расстояния до точки $O$.

Следовательно, интенсивность вихря в точке $M_{1}$ постоянна. Поскольку $M$ – любая точка, этот результат справедлив для любой другой точки, а движение является установившимся.
134. Устойчивость движения. Устойчиво ли установившееся движение?

Иначе говоря, если существует какая-либо причина, по которой эти концентрические слои будут бесконечно мало деформироваться, то будет ли эта деформация увеличиваться или же жидкость будет стремиться вновь принять свое первоначальное движение?

Для того чтобы ответить на этот вопрос, нам необходимо изучить изменения скорости ( $u, v$ ) при этих деформациях.
Мы нашли в общем виде (п. 94), что
\[
u=-\frac{d \psi}{d y}, \quad v=\frac{d \psi}{d x},
\]

где
\[
\psi=-\int \frac{\zeta^{\prime} d \omega^{\prime}}{\pi} \log \rho .
\]

Если мы перейдем к полярным координатам, полагая:
\[
x=r \cos \varphi, \quad y=r \sin \varphi,
\]

то составляющие скорости примут вид:
\[
\frac{d r}{d t}=-\frac{1}{r} \frac{d \psi}{d \varphi}, \quad r \frac{d \varphi}{d t}=\frac{d \psi}{d r} .
\]
135. Частный случай. Предположим, что существует единственная цилиндрическая трубка, для которой перпендикулярное сечение является окружностю. Внутри этой окружности $\zeta$ постоянно. Скорость в некоторой точке будет $\zeta r$ внутри цилиндра и $\frac{\zeta r_{0}^{2}}{r}$ вне его, где $r_{0}$ – радиус перпендикулярного сечения.
При этом
\[
\psi=\zeta r_{0}^{2} \log r .
\]

Предположим, что цилиндр претерпевает небольшую деформацию, так что, например, точка $M$ переходит в $M_{1}$, а радиус-вектор $O M=$ $=s$ становится функцией от времени $t$ и угла $\varphi$, определенного на окружности с некоторым перРис. 37 воначальным диаметром $O X$ (рис. 37).

За время $d t$ точка $M_{1}$ перейдет в $M_{1}^{\prime}$, а полярные координаты $\varphi$ и $s$ получат приращения:
\[
d \varphi=\frac{d \varphi}{d t} d t=\frac{d \psi}{r d r} d t
\]

и
\[
d s=-\frac{d \psi}{r d \varphi} d t .
\]

С другой стороны, поскольку $s$ – функция от $\varphi$ и $t$, имеем
\[
d s=\frac{d s}{d \varphi} d \varphi+\frac{d s}{d t} d t
\]

откуда, заменяя $d s$ и $d \varphi$ их значениями и разрешая относительно $\frac{d s}{d t}$, получим
\[
\frac{d s}{d t}=-\frac{d \psi}{r d \varphi}-\frac{d \varphi}{r d r} \frac{d s}{d \varphi}
\]

Разложим $s$ по кратным гармоникам $\varphi$ согласно формуле Фурье:
\[
s=r_{0}+\sum a_{n} \cos n \varphi+\sum b_{n} \sin n \varphi .
\]

Полная поверхность трубки не должна изменяться. Следовательно, постоянный член равен $r_{0}$ с точностью до бесконечно малых второго порядка. Величины $a_{n}$ и $b_{n}$ являются функциями от $t$, независимыми от $\varphi$ и очень малыми, поскольку были предположены очень малые деформации. Функция $\psi$ с точностью до константы является потенциалом притягивающей материи, которая создается гравитирующим цилиндром, образующим трубку с плотностью $\frac{\zeta}{2 \pi}$. Чтобы упростить дальнейшую запись, положим $\zeta-1$.

Потенциал $\psi$ можно рассматривать как образованный из двух частей: одной, $\psi_{0}$, вызванной недеформированным цилиндром, другой, $\delta \psi$, – деформированными частями (заштрихованными на рис. 37). Толщина этих деформированных частей не очень значительна. Потенциал будет иметь то же значение, если вместо задания постоянной объемной плотности определить поверхностную плотность, пропорциональную их толщине $s-r_{0}$.

Эта поверхностная плотность будет иметь вид $\frac{s-r_{0}}{2 \pi}$, что приводит к следующему выражению
\[
\frac{s-r_{0}}{2 \pi}=\frac{\sum a_{n} \cos n \varphi+\sum b_{n} \sin n \varphi}{2 \pi} .
\]

Потенциал $\delta \psi$ является функцией от $r$ и $\varphi$, и, следовательно, можно записать:
\[
\delta \psi=\sum c_{n} \cos n \varphi+\sum d_{n} \sin n \varphi .
\]

Для внешней точки притягивающих слоев функция $\delta \psi$ удовлетворяет уравнению Лапласа:
\[
\Delta(\delta \psi)=0 .
\]

Следовательно,
\[
\Delta\left(c_{n} \cos n \varphi\right)=0, \quad \Delta\left(d_{n} \sin n \varphi\right)=0,
\]

где $c_{n}$ и $d_{n}$ – функции только от $r$, так что
\[
c_{n}=c_{n}^{\prime} r^{n}+c_{n}^{\prime \prime} r^{-n}, \quad d_{n}=d_{n}^{\prime} r^{n}+d_{n}^{\prime \prime} r^{-n},
\]

где $c_{n}^{\prime}, c_{n}^{\prime \prime}, d_{n}^{\prime}, d_{n}^{\prime \prime}$ – постоянные.
Поскольку $\delta \psi$ не должно стремиться к бесконечности одновременно с $r$, необходимо, чтобы выполнялось условие
\[
c_{n}^{\prime}=d_{n}^{\prime}=0 .
\]

Для внутренней точки функция отличается от предыдущей. Необходимо, чтобы она оставалась конечной при $r=r_{0}$. Следовательно, внутри цилиндра имеем следующее равенство:
\[
c_{n}^{\prime \prime}=d_{n}^{\prime \prime}=0 .
\]

Отсюда следует, что для внешней точки следует положить:
\[
\delta \psi=\sum g_{n}\left(\frac{r_{0}}{r}\right)^{n} \cos n \varphi+\sum h_{n}\left(\frac{r_{0}}{r}\right)^{n} \sin n \varphi,
\]

а для внутренней точки:
\[
\delta \psi=\sum g_{n}^{\prime}\left(\frac{r}{r_{0}}\right)^{n} \cos n \varphi+\sum h_{n}^{\prime}\left(\frac{r}{r_{0}}\right)^{n} \sin n \varphi .
\]

Потенциал остается непрерывным при пересечении притягивающей поверхности. Таким образом: две формулы (14) и (15) должны иметь одинаковое значение при $r=r_{0}$. Для этого требуется, чтобы
\[
g_{n}^{\prime}=g_{n}, \quad h_{n}^{\prime}=h_{n} .
\]

Однако при пересечении поверхности сила испытывает внезапный скачок, равный произведению плотности на $4 \pi$. Выражение для силы следующее:
$1^{\circ}$ во внешней точке:
\[
\frac{d \delta \psi}{d r}=\sum-n\left(\frac{r_{0}}{r}\right)^{n} \frac{1}{r}\left(g_{n} \cos n \varphi+h_{n} \sin n \varphi\right) ;
\]
$2^{\circ}$ во внутренней точке:
\[
\frac{d \delta \psi}{d r}=\sum n\left(\frac{r}{r_{0}}\right)^{n} \frac{1}{r}\left(g_{n} \cos n \varphi+h_{n} \sin n \varphi\right) .
\]

При $r=r_{0}$ разность этих двух выражений должна быть равна $4 \pi$, умноженному на выражение для плотности (13).
Отсюда получаем соотношение:
\[
-2 \sum \frac{n}{r_{0}}\left(g_{n} \cos n \varphi+h_{n} \sin n \varphi\right)=2 \sum\left(a_{n} \cos n \varphi+b_{n} \sin n \varphi\right) .
\]

Приравнивая коэффициенты при $\cos n \varphi$ и $\sin n \varphi$, получим:
\[
g_{n}=-\frac{a_{n} r_{0}}{n}, \quad h_{n}=-\frac{b_{n} r_{0}}{n} .
\]

Если подставим эти значения в выражение $\delta \psi$, то для потенциала $\psi$ будем иметь:
$1^{\circ}$ во внешней точке:
\[
\psi=\psi_{0}+\delta \psi=\psi_{0}-\sum \frac{r_{0} \zeta}{n}\left(a_{n} \cos n \varphi+b_{n} \sin n \varphi\right)\left(\frac{r_{0}}{r}\right)^{n} ;
\]
$2^{\circ}$ во внутренней точке:
\[
\psi=\psi_{0}-\sum \frac{r_{0} \zeta}{n}\left(a_{n} \cos n \varphi+b_{n} \sin n \varphi\right)\left(\frac{r}{r_{0}}\right)^{n} .
\]
(мы восстановили множитель $\zeta$, отброшенный ранее).
При $r=r_{0}$ две формулы совпадают и имеют вид (предполагая вновь $\zeta=1$ ):
\[
\psi=\psi_{0}-\sum \frac{r_{0}}{n}\left(a_{n} \cos n \varphi+b_{n} \sin n \varphi\right) .
\]

Теперь необходимо проверить уравнение (11).
Действительно, при $r=r_{0}$ имеем следующие равенства:
\[
\begin{aligned}
\frac{d \psi}{d \varphi} & =\sum r_{0}\left(a_{n} \sin n \varphi-b_{n} \cos n \varphi\right), \\
\frac{d \psi}{n d \varphi} & =\sum\left(a_{n} \sin n \varphi-b_{n} \cos n \varphi\right), \\
\frac{d s}{d \varphi} & =r_{0} \sum\left(-n a_{n} \sin n \varphi+n b_{n} \cos n \varphi\right),
\end{aligned}
\]

где $\frac{d s}{d \varphi}$ – бесконечно малая первого порядка. Поскольку бесконечно малыми второго порядка можно пренебречь, нам достаточно учитывать конечные величины в коэффициенте при $\frac{d s}{d \varphi}$ в (11).

При такой степени аппроксимации этот коэффициент сводится к следующему:
\[
\frac{1}{r_{0}} \frac{d \psi_{0}}{r_{0} d r_{0}}=1 .
\]

Произведем в уравнении (11) замену, что приведет к следующему равенству:
\[
\begin{aligned}
\frac{d s}{d t} & =-\sum\left(a_{n} \sin n \varphi-b_{n} \cos n \varphi\right)-\sum\left(-n a_{n} \sin n \varphi+n b_{n} \cos n \varphi\right)= \\
& =\sum \frac{d a_{n}}{d t} \cos n \varphi+\frac{d b_{n}}{d t} \sin n \varphi .
\end{aligned}
\]

Приравнивая коэффициенты при соответствующих гармониках, получим
\[
\frac{d a_{n}}{d t}=(1-n) b_{n}, \quad \frac{d b_{n}}{d t}=-(1-n) a_{n} .
\]

Эти уравнения имеют решение:
\[
a_{n}=A \sin (1-n) t+B, \quad b_{n}=A \cos (1-n) t+B .
\]

Из выражений (21) видно, что если $a_{n}$ и $b_{n}$ малы в момент времени $t=0$, то они всегда будут оставаться очень малыми. Таким образом, движение является устойчивым.
136. Частные деформации. Пусть деформация такова, что все коэффициенты, кроме двух, $a_{n}$ и $b_{n}$, равны нулю. Деформированная кривая будет выражаться уравнением:
\[
s=r_{0}+a_{n} \cos n \varphi+b_{n} \sin n \varphi .
\]

Следовательно, радиус-вектор имеет $n$ максимумов и $n$ минимумов, а кривая – ряд впадин и выпуклостей (рис. 38).
Рис. 38
При изменении во времени кривая сохраняет ту же форму, вращаясь вокруг оси $O z$ со скоростью $(1-n) \zeta$.

Если кривая была бы более сложной, то есть если бы имелось более чем два коэффициента, отличных от нуля, то можно было бы разложить ее на простые кривые, каждая из которых соответствовала бы одному значению $n$ и вращалась бы вокруг $O z$ со своей скоростью.

137. Пусть $n=1$, тогда:
\[
s=r_{0}+a_{1} \cos \varphi+b_{1} \sin \varphi .
\]

Это уравнение с точностью до бесконечно малых второго порядка представляет окружность, центр которой определяется координатами $a_{1}$ и $b_{1}$. В этом случае $1-n$ равно нулю:
\[
\frac{d a_{1}}{d t}=0, \quad \frac{d b_{1}}{d t}=0 .
\]

Центр круга $\left(a_{1}, b_{1}\right)$ неподвижен.
Пусть $n=2$. Тогда
\[
s=r_{0}+a_{2} \cos 2 \varphi+b_{2} \sin 2 \varphi .
\]

С точностью до бесконечно малых второго порядка это уравнение представляет собой уравнение эллипса с центром в начале координат с очень малым эксцентриситетом. С другой стороны, $1-n=1$. Следовательно,
\[
a_{2}=A \sin t+B, \quad b_{2}=A \cos t+B,
\]
т.е. эллипс будет равномерно вращаться.
138. Эта теорема справедлива в случае произвольного эллипса. Действительно, пусть $\zeta$ – предположительно постоянное значение вихря внутри эллипса.

Введем декартову систему координат с осями, определяемыми главными осями эллипса в некоторый момент времени.
Составляющие скорости выражаются в виде:
\[
u=-\frac{d \psi}{d y}, \quad v=\frac{d \psi}{d x} .
\]

Они также представляют собой составляющие притяжения, производимого притягивающей материей, наполняющей цилиндр и имеющей постоянную плотность $\frac{\zeta}{2 \pi}$. Итак, эллиптический цилиндр можно рассматривать как эллипсоид с бесконечной осью.
Для однородного эллипсоида
\[
a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}=1 .
\]

Составляющие его притяжения на внутренних точках имеют вид:
\[
A x, B y, C z,
\]

где $A, B, C$ – константы.

Уравнение цилиндра сводится к виду:

Следовательно,
\[
\begin{array}{c}
a x^{2}+b y^{2}=1 . \\
\frac{d \psi}{d x}=A x, \quad \frac{d \psi}{d y}=B y .
\end{array}
\]

За время $d t$ рассматриваемая внутренняя точка переместится. Составляющие этого перемещения могут быть записаны в виде
\[
u d t=-\frac{d \psi}{d y} d t=-B y d t, \quad v d t=-\frac{d \psi}{d x} d t=A x d t .
\]

Всегда можно определить два числа $\alpha$ и $\beta$ таких, что
\[
A=\alpha+\beta a, \quad B=\alpha+\beta b,
\]

где $a
eq b$ и $A
eq B$.
Тогда наше перемещение разлагается на два других, имеющих соответственно составляющие:
\[
\begin{array}{c}
\left\{\begin{aligned}
-\beta b y d t & =d x, \\
\beta a x d t & =d y,
\end{aligned}\right. \\
\left\{\begin{aligned}
-\alpha y d t & =d x, \\
\alpha x d t & =d y .
\end{aligned}\right.
\end{array}
\]

Перемещение (I) не изменяет формы эллипса. Для доказательства надо продифференцировать уравнение эллипса:
\[
2 a x d x+2 b y d y=-2 a x \beta b y d t+2 b y \beta a x d t=0 .
\]

Перемещение (II) представляет собой вращение вокруг оси $O z$. За время $d t$ и, следовательно, за любой другой промежуток времени эллипс будет вращаться без деформации ${ }^{1}$.
139. Концентрические вихревые трубки. Рассмотрим вихревую трубку, ограниченную двумя круговыми цилиндрическими поверхностями $C$ и $C^{\prime}$, вращающимися вокруг оси $O z$ (рис. 39). Допустим, что внутри цилиндра $C$ радиуса $r_{0}$ вихрь имеет постоянное значение $\zeta+\zeta^{\prime}$. Между двумя цилиндрами он имеет другое постоянное значение $\zeta^{\prime}$. Наконец, вне цилиндра $C^{\prime}$, с радиусом $r_{0}^{\prime}$, вихрь равен нулю.
1 Движение цилиндрического эллиптического вихря было изучено Г. Кирхгофом (Механика. Лекции по математической физике. М.: АН СССР, 1962). – Прим. ред.

Действие этих двух концентрических трубок будет эквивалентно сумме действий двух трубок, одна из которых имела бы радиус $r_{0}$ и значение вихря, равное $\zeta$, а другая – радиус $r_{0}$ с вихрем $\zeta^{\prime}$.

Каждая их этих трубок обусловила бы установившееся движение (п. 133). При наложении их действия, движение снова будег установившимся.
Рис. 39
140. Условие устойчивости. Будет ли это движение устойчивым?

Чтобы ответить на этот вопрос, будем действовать методом, аналогичным тому, который мы использовали ранее.

Пусть $\psi_{0}$ – значение $\psi$ для пока недеформированного случая: $\psi_{0}$ зависит только от $r$, скорость перпендикулярна радиус-вектору и равна $\frac{d \psi_{0}}{d r}$.

Если $r<r_{0}$, то точка находится внутри обоих цилиндров, следовательно,
\[
\frac{d \psi_{0}}{d r}=\zeta r+\zeta^{\prime} r
\]

Если $r_{0}<r<r_{0}^{\prime}$, то точка находится вне первого џилиндра $C$ и внутри второго $C^{\prime}$, то есть имеем следующее выражение
\[
\frac{d \psi_{0}}{d r}=\frac{\zeta r_{0}^{2}}{r}+\zeta^{\prime} r
\]

Наконец, если $r>r_{0}^{\prime}$, то точка будет лежать вне обоих цилиндров.
Получаем соотношение
\[
\frac{d \psi_{0}}{d r}=\frac{\zeta r_{0}^{2}}{r}+\frac{\zeta r_{0}^{\prime 2}}{r} .
\]

При $r=r_{0}$ и $r=r_{0}^{\prime}$ эти формулы принимают вид:
\[
\frac{d \psi_{0}}{d r_{0}}=\left(\zeta+\zeta^{\prime}\right) r_{0}, \quad \frac{d \psi_{0}}{d r_{0}^{\prime}}=\frac{\zeta r_{0}^{2}}{r_{0}^{\prime}}+\zeta r_{0}^{\prime} .
\]

Полагая $\frac{r_{0}^{\prime}}{r}=\varepsilon$, получаем соотношения:
\[
\begin{array}{l}
\frac{1}{r_{0}} \frac{d \psi_{0}}{d r_{0}}=\zeta+\zeta^{\prime}, \\
\frac{1}{r_{0}^{\prime}} \frac{d \psi_{0}}{d r_{0}^{\prime}}=\zeta \varepsilon^{2}+\zeta^{\prime} .
\end{array}
\]

Сообщим цилиндрам $C$ и $C^{\prime}$ малую деформацию такого вида, что их радиус-векторы можно представить соответственно в форме:
\[
\begin{array}{l}
s=r_{0}+\sum a_{n} \cos n \varphi+b_{n} \sin n \varphi, \\
s=r_{0}^{\prime}+\sum a_{n}^{\prime} \cos n \varphi+b_{n}^{\prime} \sin n \varphi .
\end{array}
\]

Учет деформации для одной трубки привел к следующему выражению для $\psi$ :
\[
\psi=\psi_{0}-\sum \frac{r_{0} \zeta}{n}\left(a_{n} \cos n \varphi+b_{n} \sin n \varphi\right)\left(\frac{r}{r_{0}}\right)^{ \pm n},
\]

где $n$ имеет такой знак, что множитель $\left(\frac{r}{r_{0}}\right)^{ \pm n}$ всегда меньше единицы.
Для двух трубок значение $\psi$ имеет вид:
\[
\begin{aligned}
\psi= & \psi_{0}-\sum \frac{r_{0} \zeta}{n}\left(a_{n} \cos n \varphi+b_{n} \sin n \varphi\right)\left(\frac{r}{r_{0}}\right)^{ \pm n}- \\
& -\sum \frac{r_{0}^{\prime} \zeta^{\prime}}{n}\left(a_{n}^{\prime} \cos n \varphi+b_{n}^{\prime} \sin n \varphi\right)\left(\frac{r}{r_{0}^{\prime}}\right)^{ \pm n} .
\end{aligned}
\]

Запишем для каждой из трубок дифференциальное уравнение (11), в результате получим:
\[
\begin{array}{c}
\frac{d s}{d t}=-\frac{1}{r_{0}} \frac{d \psi}{d \varphi}-\left(\zeta+\zeta^{\prime}\right) \frac{d s}{d \varphi} \\
\frac{d s^{\prime}}{d t}=-\frac{1}{r_{0}^{\prime}} \frac{d \psi}{d \varphi}-\left(\zeta \varepsilon^{2}+\zeta^{\prime}\right) \frac{d s^{\prime}}{d \varphi}
\end{array}
\]

Представляя $s$ и $\psi$ в виде рядов и приравнивая коэффициенты при $\cos n \varphi$ и $\sin n \varphi$ для $r=r_{0}$ и $r=r_{0}^{\prime}$, получим уравнения
\[
\begin{aligned}
\frac{d a}{d t} & =b \zeta+b^{\prime} \zeta^{\prime} \varepsilon^{n-1}-n b\left(\zeta+\zeta^{\prime}\right), \\
\frac{d a^{\prime}}{d t} & =b \zeta \varepsilon^{n+1}+b^{\prime} \zeta^{\prime}-n b^{\prime}\left(\zeta \varepsilon^{2}+\zeta^{\prime}\right), \\
\frac{d b}{d t} & =-a \zeta-a^{\prime} \zeta^{\prime} \varepsilon^{n-1}+n a\left(\zeta+\zeta^{\prime}\right), \\
\frac{d b^{\prime}}{d t} & =-a^{\prime} \zeta^{\prime} \varepsilon^{n+1}-a^{\prime} \zeta^{\prime}+n a^{\prime}\left(\zeta \varepsilon^{2}+\zeta^{\prime}\right)
\end{aligned}
\]
(отбрасывая ненужные показатели $n$ ).

Итак, находим четыре линейных дифференциальных уравнения с постоянными коэффициентами, для определения четырех неизвестных функций $a, b, a^{\prime}, b^{\prime}$. Общие решения этих уравнений сводятся к сумме экспонент вида $e^{\alpha t}$.

Если $\alpha$ является вещественной и положительной, то это решение бесконечно увеличивается во времени, а движение неустойчиво, поскольку деформация будет возрастать.

Если экспоненты имеют вид $e^{\alpha t}$, а $\alpha$ является вещественной и положительной, то деформация будет стремиться к нулю. Можно было бы считать, что движение устойчиво. Однако ничего подобного. Характеристическое уравнение имеет равные по значению, но противоположные по знаку корни. Нельзя иметь экспоненты $e^{-\alpha t}$, не имея одновременно $e^{+\alpha t}$.

Следовательно, неустойчивость будет возникать каждый раз, когда характеристическое уравнение будет иметь вещественный корень.

Если корни являются сложными и имеют вид $\alpha+\sqrt{-1} \beta$, то в решении появятся члены
\[
e^{\alpha+\sqrt{-1} \beta t}=e^{\alpha t}(\cos \beta t+\sqrt{-1} \sin \beta t),
\]

и будет существовать по крайней мере еще одна экспонента, модуль которой бесконечно увеличивается. Движение вновь будет неустойчивым.

Таким образом, для устойчивости ${ }^{1}$ необходимо и достаточно выполнение условия, что все корни характеристического уравнения будут иметь вид:
\[
\alpha \sqrt{-1},
\]

где $\alpha$ – вещественное число. Тогда решение будет равно сумме членов, таких что
\[
e^{\sqrt{-1} \alpha t}=\cos \alpha t+\sqrt{-1} \sin \alpha t
\]

остаются конечными.
Теперь найдем условия, для которых это было бы заведомо выполнено.
Положим, для краткости:
\[
\alpha=\zeta-n\left(\zeta+\zeta^{\prime}\right), \quad \beta=\zeta^{\prime} \varepsilon^{n-1}, \quad \gamma=\zeta \varepsilon^{n+1}, \quad \delta=\zeta^{\prime}-n\left(\zeta \varepsilon^{2}+\zeta^{\prime}\right) .
\]
${ }^{1}$ В линейном приближении. – Прим. ред.

Уравнения (23) принимают вид:
\[
\begin{array}{ll}
\frac{d a}{d t}=\alpha b+\beta b^{\prime}, & \frac{d a^{\prime}}{d t}=\gamma b+\delta b^{\prime}, \\
\frac{d b}{d t}=-\alpha a-\beta a^{\prime}, & \frac{d b^{\prime}}{d t}=-\gamma a-\delta a^{\prime} .
\end{array}
\]

Положим также
\[
\lambda a+\lambda^{\prime} a^{\prime}=x, \quad \lambda b+\lambda^{\prime} b^{\prime}=y,
\]

где $\lambda$ и $\lambda^{\prime}$ – два числа, которые пока не определены.
Умножим два первых уравнения (24) на $\lambda$ и $\lambda^{\prime}$ и сложим их. Получим следующее выражение
\[
\frac{d x}{d t}=b\left(\lambda a+\lambda^{\prime} \gamma\right)+b^{\prime}\left(\lambda \beta+\lambda^{\prime} \delta\right) .
\]

Теперь выберем $\lambda$ и $\lambda^{\prime}$ таким образом, чтобы второй член имел вид $S y$.
Величины $\lambda$ и $\lambda^{\prime}$ определятся уравнениями:
\[
\lambda \alpha+\lambda^{\prime} \gamma=S \lambda, \quad \lambda \beta+\lambda^{\prime} \delta=S \lambda^{\prime} .
\]

Если $\lambda$ и $\lambda^{\prime}$ удовлетворяют этим условиям, то справедливо следующее равенство:
\[
\frac{d x}{d t}=S y .
\]

Произведя те же действия с двумя последними уравнениями системы (24), найдем
\[
\frac{d y}{d t}=-S y .
\]

Значение $S$ получим из условия, что определитель однородных уравнений для $\lambda$ и $\lambda^{\prime}$ равен нулю.
Тогда $S$ будет корнем уравнения:
\[
\left|\begin{array}{cc}
\alpha-S & \gamma \\
\beta & \delta-S
\end{array}\right|=0 .
\]

Это уравнение второй степени. Пусть $S$ и $S_{1}$ – корни. При этом $\lambda, \lambda^{\prime}, x, y$ – значения, соответствующие $S$, а $\lambda_{1}, \lambda_{1}^{\prime}, x_{1}, y_{1}$ – значения, соответствующие $S_{1}$. Получим
\[
\lambda_{1} a+\lambda_{1}^{\prime} a^{\prime}=x_{1}, \quad \lambda_{1} b+\lambda_{1}^{\prime} b^{\prime}=y_{1}, \quad \frac{d x_{1}}{d t}=S_{1} y_{1}, \quad \frac{d y_{1}}{d t}=-S_{1} x_{1} .
\]

Таким образом, общее решение наших уравнений будет иметь вид:
\[
\begin{array}{rlrl}
x & =A \sin (S t+B), & y & =A \cos (S t+B), \\
x_{1} & =A_{1} \sin \left(S_{1} t+B\right), \quad y_{1} & =A_{1} \cos \left(S_{1} t+B\right) .
\end{array}
\]

Если $S$ – вещественно, то синус и косинус остаются конечными и имеет место устойчивость.
Если $S$ является мнимым, то $S=s+\sqrt{-1} u$ и
\[
\sin S t=e^{u t}(\cos s t+\sqrt{-1} \sin s t) .
\]

Модуль бесконечно увеличивается по времени $t$, а движение является неустойчивым.

Необходимым и достаточным условием для устойчивого движения является вещественность корней $S$.
Уравнение для $S$ может быть записано в виде:
\[
S^{2}-S(\alpha+\delta)+\alpha \delta-\beta \gamma=0 .
\]

Корни будут вещественными, если справедливы неравенства
\[
(\alpha+\delta)^{2}-4(\alpha \delta-\beta \gamma)>0
\]

или
\[
(\alpha+\delta)^{2}+4 \beta \gamma>0 .
\]

Замена $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ их значениями приводит к следующему неравенству
\[
\left[\zeta-n\left(\zeta+\zeta^{\prime}\right)-\zeta^{\prime}+n\left(\zeta \varepsilon^{2}+\zeta^{\prime}\right)\right]^{2}+4 \zeta \zeta^{\prime} \varepsilon^{2 n}>0 .
\]

Это неравенство должно удовлетворяться при всех целых значенинх $n$.

Заметим, что если вихри $\zeta$ и $\zeta^{\prime}$ одного знака, то это неравенство всегда выполняется. В этом случае движение всегда устойчиво.
141. Мы не будем делать полного исследования приведенного неравенства. Рассмотрим лишь частный случай, когда
\[
\zeta \varepsilon^{2}+\zeta^{\prime}=0 .
\]

Это условие означает то, что скорость $\left(\zeta \varepsilon^{2}+\zeta^{\prime}\right) \frac{r_{0}^{2 \prime}}{r}$ в точке, находящейся вне цилиндра $C^{\prime}$, равна нулю до деформации. Выберем единицы
таким образом, что $\zeta=1$. Тогда $\zeta^{\prime}=-\varepsilon^{2}$. Движение будет устойчивым, если доказанное неравенство удовлетворяется при всех значениях $n$. Записывая, что оно выполняется при $n=2$, получим необходимое условие устойчивости:
\[
\left[1-2\left(1-\varepsilon^{2}\right)+\varepsilon^{2}\right]^{2}-4 \varepsilon^{6}>0
\]

или
\[
\left(1-\varepsilon^{2}\right)^{2}\left(1-4 \varepsilon^{2}\right)>0 .
\]

Первый множитель всегда положителен. Поэтому необходимо, чтобы
\[
1-4 \varepsilon^{2}>0,
\]

или, поскольку $\varepsilon$ положительно,
\[
\varepsilon<\frac{1}{2} .
\]

Следовательно, если радиус внутреннего цилиндра $C$ больше, чем половина радиуса внешнего цилиндра $C^{\prime}$, то устойчивость невозможна.
142. Объяснение эксперимента. Представим, что в жидкости существуют два течения противоположных направлений или только различных скоростей. Две жидкие массы, имеющие разные скорости, будут тереться друг о друга и на поверхности раздела будут появляться мелкие вихри. Обычно, чтобы объяснить образование этих вихрей, говорят, что они вызваны трением двух жидких потоков. Это недостаточное объяснение. Действительно, пусть в начальный момент времени имеются две жидкие массы с разными скоростями, которые для большей простоты будем считать постоянными по величине и направлению. Это состояние не может оставаться постоянным во времени по причине трения, вызванного вязкостью жидкости. Однако вначале кажется, что должен возникать переходный слой, в котором скорость бы изменялась монотонно и в котором вихри были бы равномерно распределены. На самом же деле такая картина не наблюдается, а образуются мелкие вихри, которые, далее, собираются в отдельные вихревые трубки. Это происходит в результате того, что при указанных условиях состояние, при котором вихри равномерно распределены, неустойчиво, что можно доказать, опираясь на предыдущие рассуждения.

Действительно, сообщим всей жидкости, содержащейся внутри цилиндра $C$, скорость равномерного вращения $\left(\zeta+\zeta^{\prime}\right)$. Внешняя жидкость остается в состоянии покоя. Скорость будет разрывной на поверхности цилиндра, следовательно, трение будет порождать переходную (пограничную) область перехода, ограниченную двумя концентрическими к $C$ цилиндрами.

Таким образом, в рассматриваемом нами случае будем иметь два концентрических цилиндра. Внутри первого значение вихря равно $\zeta+\zeta^{\prime}$. Вне второго вихрь равен нулю. Наконец, в кольцевой области, он монотонно изменяется. Однако для простоты будем предполагать, что в кольцевой области этот вихрь имеет постоянное значение, промежуточное между 0 и $\zeta+\zeta^{\prime}$. Пусть этим значением является величина $\zeta^{\prime}$. Положим
\[
\zeta+\zeta^{\prime}=a .
\]

Среднее постоянное значение $\zeta^{\prime}$, как и в предыдущем примере, определим из условия
\[
\zeta \varepsilon^{2}+\zeta^{\prime}=0 .
\]

Это выражение означает, что жидкость снаружи находится в состоянии покоя.
Отсюда получаем следующее отношение:
\[
\zeta^{\prime}=\frac{a \varepsilon^{2}}{\varepsilon^{2}-1}
\]

Поскольку область перехода в начальный момент времени очень незначительна, то $\varepsilon$ очень близко к единице, а $\zeta^{\prime}$ очень велико. Однако при значении $\varepsilon$ большем, чем $\frac{1}{2}$, эти условия приводят к неустойчивости, как установлено в п. 141.

Предположим, что внешняя жидкость не покоится, а обладает некоторой скоростью $b$. Тогда
\[
\zeta \varepsilon^{2}+\zeta^{\prime}=b
\]

и снова возникает трение, поскольку скорость разрывна. Внося значения $\zeta$ и $\zeta^{\prime}$ в найденное нами условие, мы снова можем заключить, что имеет место неустойчивость.