78. Пусть существуют две вихревых трубки $a_{1}, a_{2}$, моменты которых – $2 \pi m_{1}$ и $2 \pi m_{2}$. Их центр масс $G$ находится на прямой $a_{1} a_{2}$ и определяется условием
\[
\frac{G a_{1}}{G a_{2}}=-\frac{m_{2}}{m_{1}}
\]
(сегменты $G a_{1}, G a_{2}$ взяты с их знаком).
Как мы уже показали в п. 65, точка $G$ остается неподвижной. Скорость точки $a_{2}$ будет такой же, как если бы существовал только один вихрь $a_{1}$, то есть
\[
\frac{m_{1}}{a_{1} a_{2}},
\]

и эта скорость направлена перпендикулярно $a_{1} a_{2}$.
Точка $G$ неподвижна, три точки $a_{1}, G, a_{2}$ всегда находятся на прямой линии, а скорость точки $a_{2}$ всегда перпендикулярна к радиус-вектору $G a_{2}$, поэтому траектория точки $a_{2}$ представляет собой окружность с центром в точке $G$, радиус которой – $G a_{2}$. Траектория точки $a_{1}$ будет также окружностью с центром в точке $G$ и радиусом $G a_{1}$. Поскольку расстояние $a_{1} a_{2}$ остается неизменным, то скорости двух точек, равные соответственно $\frac{m_{1}}{a_{1} a_{2}}$ и $\frac{m_{2}}{a_{1} a_{2}}$, будут постоянными.
79. Пусть $m_{1}$ и $m_{2}$ будут противоположных знаков. Точка $G$ будет находиться вне отрезка $a_{1} a_{2}$ и определяться условием
\[
\frac{\overline{G a_{1}}}{\overline{G a_{2}}}=-\frac{m_{2}}{m_{1}} .
\]

В частности, если $m_{1}=-m_{2}$, то точка $G$ находится в бесконечности и траектории точек $a_{1}$ и $a_{2}$ превращаются в прямые, перпендикулярные $a_{1} a_{2}$.
Обе трубки при этом движутся с одинаковой скоростью
\[
\frac{m_{1}}{a_{1} a_{2}}=V
\]

Если рассмотрим точку $M$ на середине отрезка $a_{1} a_{2}$, то скорость, сообщенная этой точке вихрем $a_{1}$, равна
\[
\frac{m_{1}}{a_{1} M_{1}}=2 \frac{m_{1}}{a_{1} a_{2}}=2 V .
\]

Вихрь $a_{2}$ сообщает такую же скорость
\[
\frac{m_{2}}{M a_{2}}=\frac{m_{1}}{a_{1} M}=2 V .
\]

Таким образом, результирующая скорость точки $M$ равна четырехкратной скорости центров вихревых трубок.
80. Жидкость, заключенная в цилиндрическом сосуде. Представим, что жидкость заключена в сосуде, имеющем форму цилиндра, образующие которого параллельны оси $O z$. В этом сосуде находится вихревая трубка в форме бесконечно тонкого цилиндра, также параллельного $O z$.
Рис. 22
Пусть $C$ (рис. 22) – сечение сосуда в плоскости $x y$, и $A$ – точка, в которую проецируется сечение вихревой трубки.
Составляющие скорости $u$ и $v$ должны быть конечными и непрерывными во всей внутренней части сосуда, за исключением точки $A$.
Уравнение неразрывности приводится к следующему виду
\[
\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0
\]

Поскольку вихрь всюду, за исключением точки $A$, равен нулю, то справедливо равенство
\[
\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}=0
\]

Известно, что при этих условиях п. 33 существует функция скоростей $\varphi$ такая, что
\[
u=\frac{\partial \varphi}{\partial x}, \quad v=\frac{\partial \varphi}{\partial y},
\]

а уравнение неразрывности имеет вид
\[
\Delta \varphi=0 .
\]

В настоящем случае граничное условие заключается в том, что контур $C$ сечения сосуда будет линией тока, т.е., что в каждой точке контура скорость будет касательной к нему. Внутри $C v+\sqrt{-1} u$ должна представлять собой функцию от $x+\sqrt{-1} y$. Эта функция должна вести себя регулярно, за исключением точки $A$, где она обращается в бесконечность.
Определение $u$ и $v$ может производиться двумя способами:
$1^{\circ}$ Метод изображений, который применяется только в определенном числе простых случаев;
$2^{\circ}$ Метод конформных отображений, который является более общим.
81. Метод изображений. Предположим, что сосуд имеет форму кругового цилиндра, параллельного $O z$ с радиусом $R$, а окружность $C$ след этого цилиндра на плоскости $x y$. Пусть $A$ – след вихревой трубки с моментом $2 \pi$ (рис. 23 ).

Соединим центр окружности $O$ с точкой $A$ и обозначим на прямой $O A$ точку $B$, определенную условием
\[
O A \cdot O B=R^{2} .
\]

Рис. 23
Вихревая трубка, параллельная оси $O z$, следом которой является точка $B$ и момент которой равен $-2 \pi$, называется изображением точки $A$ по отношению к окружности $C$.

В бесконечном пространстве, заполненном жидкостью, трубки $A$ и $B$ образуют линии тока, представляющие собой окружности, по отношению к которым $B$ и $A$ были бы сопряженными (п. 64).

В частности, окружность $C$ является линией тока; составляющая скорости, нормальная к окружности, и более обще, нормальная к прямому цилиндру, с окружностью $C$ в основании, равняется нулю. Таким образом, введение твердой перегородки, имеющей форму такой цилиндрической поверхности, не изменит движения внутри рассматриваемой поверхности.

Центр масс трубки $A$ перемешается с той же скоростью, как если бы существовала только одна трубка $B$, а жидкость была бы бесконечной. Скорость трубки $A$ по абсолютной величине равна отношению $\frac{A B}{2 \pi}$

Рис. 24
и всегда направлена перпендикулярно радиус-вектору $O A B$. Таким образом, точка $A$ описывает концентрическую окружность в $C$.
Эта траектория не является такой же, как если бы перегородки $C$ не существовало, а поле скоростей оставалось бы тем же самым. Действительно, если жидкость бесконечна, то точка $A$ движется по прямой, перпендикулярной $O A$ п. $\mathbf{7 9}$.
82. Если радиус окружности бесконечно увеличивается, то кривая $C$ в конце концов превращается в прямую, а точка $B$ симметрична точке $A$ относительно этой прямой или, иначе говоря, относительно плоскости $C$, в которую превращается цилиндр. Траектория точки $A$, перпендикулярная $A B$, при этом становится прямой, параллельной следу плоскости $C$ (рис. 24).
83. Жидкость, заключенная между двумя концентрическими цилиндрами. Пусть $C$ и $C^{\prime}$ – следы двух цилиндров вращения с осью $O z$ на плоскости $x y$, а $A_{0}$ – след бесконечно тонкой вихревой трубки с моментом $2 \pi$ (рис. 25 ).
Рис. 25
Пусть $B_{0}$ – изображение следа $A_{0}$ по отношению к $C^{\prime}, B_{1}$ – изображение следа $A_{0}$ по отношению к $C, A_{-1}$ – изображение следа $B_{1}$ по отношению к $C^{\prime}$ и так далее; в конечном итоге имеется бесконечное множество пар точек, сопряженных по отношению к $C$ и $C^{\prime}$, что видно

из следующей таблицы:
Сопряженные
По отношению к $C^{\prime}$
$A_{0}, B_{0}$,
$A_{-1}, B_{1}$,
$A_{1}, B_{-1}$,
…….
$A_{i}, B_{-i}$,
По отношению к $C$
\[
\begin{array}{l}
B_{1}, A_{0}, \\
B_{0}, A_{1}, \\
B_{2}, A_{-1}, \\
\cdots \cdots \cdots \\
B_{-i}, A_{i},
\end{array}
\]

где индексы принимают значения от $-\infty$ до $+\infty$. Рассмотрим каждую из точек $A$ как след вихревой трубки с моментом $2 \pi$ и каждую из точек $B$ как след трубки с моментом $-2 \pi$. Эти трубки будут сопряжены.

Предположим, что все эти трубки реально существуют и что жидкость заполняет бесконечный объем. Тогда скорость жидкости будет такой же, как если бы существовали перегородки с единственной вихревой трубкой $A$. Вычислим эту скорость, складывая скорости, обусловленные каждой отдельной трубкой. Таким образом, будет получен ряд и перед нами встает вопрос его сходимости.
Согласно соотношениям
\[
\begin{array}{l}
O A_{0} \cdot O B_{0}=R^{2}, \\
O A_{1} \cdot O B_{1}=R^{2},
\end{array}
\]

получим
\[
\frac{O B_{1}}{O B_{0}}=\left(\frac{R}{R^{\prime}}\right)^{2}
\]

а так же
\[
\frac{O B_{2}}{O B_{1}}=\left(\frac{R}{R^{\prime}}\right)^{2} \text { и т. д. }
\]

Вообще говоря, справедливо равенство
\[
O B_{n}=O B_{0}\left(\frac{R}{R^{\prime}}\right)^{2 n} .
\]

Таким же способом можно показать, что выполняется равенство
\[
O A_{n}=O A_{0}\left(\frac{R}{R^{\prime}}\right)^{2 n} .
\]

Сгруппируем члены ряда следующим образом:
$1^{\circ}$ Члены, относящиеся к трубкам $A$ с отрицательными индексами. Когда индекс $n$ становится очень большим, точка $A_{-n}$ становится очень удаленной, а скорость, сообщенная точке $M$ этой трубкой, становится очень маленькой, порядка $\frac{1}{M A_{-n}}$. Если точка $A_{-n}$ значительно удалена, то разность $O A_{-n}-M A_{-n}$ незначительна и скорость имеет порядок $\frac{1}{O A_{-n}}$. Расстояние $O A_{-n}$ увеличивается в геометрической прогрессии со знаменателем $\left(\frac{R^{\prime}}{R}\right)^{2}$. Таким образом, ряд $\frac{1}{O A_{-n}}$ является сходящимся.
$2^{\circ}$ Члены, относящиеся к трубкам $B$ с отрицательными индексами. Доказательство, идентичное предыдущему, приведет к тому, что ряд $\frac{1}{O B_{-n}}$ является сходящимся.
$3^{\circ}$ Сгруппируем попарно трубки с положительными индексами
\[
A_{0}, B_{0}-A_{1}, B_{1}-\ldots-A_{n}, B_{n} .
\]

Вычтем из равенства (1) равенство (2). Получим
\[
A_{n} B_{n}=A_{0} B_{0}\left(\frac{R}{R^{\prime}}\right)^{2 n} .
\]

Трубки $A_{0}, B_{0}, \ldots, A_{n}, B_{n}$ имеют попарно равные, но противоположные знаку моменты. Геометрическая сумма скоростей, возникших в паре $\left(A_{n}, B_{n}\right)$, имеет такой же порядок величины, что и $A_{n} B_{n}$; таким образом, она убывает в геометрической прогрессии со знаменателем $\left(\frac{R^{\prime}}{R}\right)^{2}$ и стремится к нулю, когда $n$ стремится к бесконечности. Следовательно, ряд является сходящимся.

Три частичных ряда являются сходящимися, следовательно, полный ряд также будет сходящимся.
84. Покажем, что окружности $C$ и $C^{\prime}$ являются линиями тока. Действительно, все трубки сопряжены подвое относительно окружностей $C$ и $C^{\prime}$. Объединим трубки в группы из двух точек, сопряженных относительно $C$. Скорость возникающая в каждой группе, будет касательной к $C$, следовательно, сама полная скорость будет касательной к $C$. Для $C^{\prime}$ имеем аналогичное доказательство.

85. Только что найденное нами решение не единственно, поскольку сосуд не является односвязным. Для получения более общего решения достаточно рассмотреть еще одну трубку с произвольным моментом $M$ и следом в центре $O$. Действительно, скорость, обусловленная этой трубкой, является касательной к $C$ и $C^{\prime}$, так как все линии тока являются окружностями с центром в точке $O$.

Траектория следа $A_{0}$, очевидно, является окружностью с центром $O$, т.к. скорость, обусловленная всеми трубка-
Рис. 26
ми, всегда перпендикулярна радиус-вектору $O A_{0}$.
86. Жидкость, заключенная между двумя прямоугольными плоскостями. Введем две плоскости $x z$ и $y z$, ограничивающие жидкость. Пусть $O x$ и $O y$ – их следы, а $A_{0}$ – след бесконечно тонкой вихревой трубки с моментом $2 \pi$ (рис. 26 ).

Пусть $A_{1}$ и $A_{2}$ – точки, симметричные $A_{0}$ относительно осей $O x$ и $O y$, а $A_{3}$ – точка, симметричная $A_{1}$ относительно $O y, A_{2}$ относительно $O x$ и $A_{0}$ относительно начала координат.
Припишем моменты:
\begin{tabular}{lll}
$+2 \pi$ & точке & $A_{0}$, \\
$-2 \pi$ & точке & $A_{1}$, \\
$-2 \pi$ & точке & $A_{2}$, \\
$+2 \pi$ & точке & $A_{3}$.
\end{tabular}

Уберем перегородки и рассмотрим четыре трубки $A_{0}, A_{1}, A_{2}$ и $A_{3}$. Оси $O x$ и $O y$ будут линиями тока, так как трубки сопряжены по две относительно этих осей. Следовательно, введение перегородок в плоскости $x z$ и $y z$ не изменит движения.

Какой будет траектория точки $A_{0}$ ? В п. 72 была найдена функция $P$, которая в случае бесконечной жидкости пропорциональна живой силе. В отсутствии перегородок в системе из четырех трубок полная живая сила жидкости равна $P$ с точностью до постоянного множителя.

Живая сила жидкости, заключенной между двумя плоскостями, является четвертой частью полной живой силы, которая получится при упразднении перегородок и заданная реальным существованием в трубках $A_{1}, A_{2}, A_{3}$.

Таким образом, живая сила реальной жидкости, заключенной между двумя плоскостями, снова пропорциональна $P$ и уравнение живых сил записывается в виде:
\[
P=\text { const. }
\]

Как было показано выше,
\[
P=\sum m_{i} m_{k} \log \rho_{i k} .
\]

В данном случае $m_{i}= \pm 1$ и существует шесть членов, соответствующие шести расстояниям $\rho$, которые являются попарно равными. Для членов, которые соответствуют двум противолежащим вершинам четырехугольника, произведение $m_{i} m_{k}=+1$; для четырех других членов $m_{i} m_{k}=-1$. Таким образом,
\[
\begin{array}{c}
P=2 \log A_{0} A_{3}-2 \log A_{1} A_{0}-2 \log A_{2} A_{0}=\mathrm{const}, \\
A_{0} A_{3}=2 \sqrt{x^{2}+y^{2}}, \quad A_{1} A_{0}=2 y, \quad A_{2} A_{0}=2 x .
\end{array}
\]

Уравнение траектории точки $A_{0}$ имеет вид
\[
2 \log 2 \sqrt{x^{2}+y^{2}}-2 \log 4 x y=\text { const }
\]

или
\[
\begin{array}{l}
\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2} y^{2}}=\text { const. } \\
\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}=\text { const. }
\end{array}
\]

Итак, траектория точки $A_{0}$ в рассматриваемом движении будет представлена полученной кривой, асимптотичной двум осям ${ }^{1}$.
${ }^{1}$ Более точно полученная кривая $\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}=C$ асимптотична прямым $x=\frac{1}{\sqrt{C}}$ и $y=\frac{1}{\sqrt{C}} \cdot-$ Прим. ред.