65. Теорема о сохранении центра масс. Предположим, что имеется $n$ вихревых трубок $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ с моментами $2 \pi m_{1}$, $2 \pi m_{2}, \ldots, 2 \pi m_{n}$. Допустим, что трубки перемещаются, но их моменты остаются теми же. Если считать $m_{1}, m_{2}, \ldots$ массами, тогда можно определить их центр масс $G$. Покажем, что во время перемещения трубок точка $G$ остается неподвижной.

Пусть $x_{1}, y_{1}, x_{2}, y_{2}, \ldots, x_{n}, y_{n}$ – координаты вихревых трубок $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$, а $x_{0}, y_{0}$ – координаты точки $G$, эти координаты связаны между собой соотношениями
\[
\begin{array}{l}
x_{0} \sum m_{k}=\sum m_{k} x_{k}, \\
y_{0} \sum m_{k}=\sum m_{k} y_{k} .
\end{array}
\]

При рассмотрении трубок конечной размерности $x_{0}, y_{0}$ определяются аналогичным образом:
\[
x_{0} \int 2 \zeta d \omega=\int 2 x \zeta d \omega \text { и т. д., }
\]

где интегралы взяты по всем элементам $d \omega$ сечения различных трубок.
Поскольку мы предположили, что моменты трубок остаются постоянными, а $\zeta$ и $\omega$ не зависят от $t$ п. $\mathbf{5 7}$, то, продифференцировав по $t$, получим
\[
\frac{d x_{0}}{d t} \int \zeta d \omega=\int \frac{d x}{d t} \zeta d \omega=\int u \zeta d \omega .
\]

Покажем, что этот последний интеграл равен нулю. Для этого рассмотрим интеграл
\[
\int\left[\left(u^{2}-v^{2}\right) d x+2 u v d y\right]
\]

взятый по всей длине окружности очень большого радиуса. Этот интеграл равен нулю. Действительно, для достаточно большого $R, u$ и $v$ являются бесконечно малыми первого порядка п. $62 ; u^{2}, v^{2}, u v-$ бесконечно малые второго порядка, а путь интегрирования – бесконечно большой первого порядка. Таким образом, этим интегралом можно пренебречь.
С другой стороны, преобразуем этот интеграл по формуле (1) из
п. 8:
\[
\int\left[\left(u^{2}-v^{2}\right) d x+2 u v d y\right]=\int d w\left[\frac{\partial\left(u^{2}-v^{2}\right)}{\partial y}-\frac{2 \partial(u v)}{\partial x}\right] .
\]

Выполним дифференцирование
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial\left(u^{2}-v^{2}\right)}{\partial y}-\frac{2 \partial(u v)}{\partial x} & =2 u \frac{\partial u}{\partial y}-2 v \frac{\partial v}{\partial y}-2 u \frac{\partial v}{\partial x}-2 v \frac{\partial u}{\partial x}= \\
& =-2 v\left(\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}\right)-2 u\left(\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}\right)
\end{aligned}
\]

Учитывая уравнение неразрывности, получим
\[
\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0
\]

и, с другой стороны, по определению
\[
\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}=2 \zeta
\]

Таким образом, имеем следующее выражение
\[
\int\left[\left(u^{2}-v^{2}\right) d x+2 u v d y\right]=-4 \int u \zeta d \omega .
\]

Первый интеграл равен нулю, следовательно, второй также равен нулю. Таким образом, справедливо равенство
\[
\frac{d x_{0}}{d t}=0 \text {. }
\]

Так же можно доказать, что
\[
\frac{d y_{0}}{d t}=0
\]

и, следовательно, точка $G$ неподвижна.
66. Движение центра масс вихревой трубки. Рассмотрим движение центра масс одной из вихревых трубок. Имеем соотношение
\[
\frac{d x_{0}}{d t} \int \zeta d \omega=\int u \zeta d \omega .
\]

Положим
\[
u=u^{\prime}+u^{\prime \prime},
\]

где $u^{\prime}$ – скорость, возникающая в рассматриваемой трубке, если бы она была единственной, а $u^{\prime \prime}$ – скорость, возникающая за счет других трубок. Приходим к равенству
\[
\int u \zeta d \omega=\int u^{\prime} \zeta d \omega+\int u^{\prime \prime} \zeta d \omega .
\]

Интеграл $\int u^{\prime} \zeta d \omega$ равен нулю, так как если бы первая трубка рассматривалась отдельно от остальных, то ее центр масс был бы неподвижным.

Следовательно, если мы захотим определить скорость центра масс одной из вихревых трубок, то будет достаточно вычислить скорости, сообщенные ей другими вихрями.
67. Пусть $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ – вихревые трубки. Положим
\[
\rho_{12}=\overline{a_{1} a_{2}}, \quad \rho_{13}=\overline{a_{1} a_{3}},
\]

и, вообще,
\[
\rho_{i k}=\overline{a_{i} a_{k}} .
\]

Рассмотрим функцию
\[
P=\sum m_{i} m_{k} \log \rho_{i k}
\]

она зависит от $2 n$ координат $x_{1}, y_{1}, \ldots, x_{n}, y_{n}$.
Можно определить $\frac{d x_{1}}{d t}$ и $\frac{d y_{1}}{d t}$; при этом получаем, что скорость точки $x_{1}, y_{1}$ будет такой же, как если бы трубка $a_{1}$ не рассматривалась, а принимались во внимание только остальные трубки. Таким образом, согласно уравнению (12) п. 61 получим
\[
\frac{d x_{1}}{d t}=-\frac{\partial \psi}{\partial y_{1}}, \quad \frac{d y_{1}}{d t}=\frac{\partial \psi}{\partial x_{1}},
\]

где
\[
\psi=\sum m_{k} \log \rho_{1 k}
\]

Эти формулы равносильны следующим
\[
m_{1} \frac{d x_{1}}{d t}=-\frac{\partial P_{1}}{\partial y_{1}}, \quad m_{1} \frac{d y_{1}}{d t}=\frac{\partial P}{\partial x_{1}} .
\]

Действительно, функцию $P$ можно записать в виде
\[
P=m_{1} \sum m_{k} \log \rho_{1 k}+\sum m_{i} m_{k} \log \rho_{i k},
\]

где ни один из индексов $i$ и $k$ во второй сумме не равен единице.
С другой стороны, $\rho$ с индексом 1 являются единственными, зависящими от $x_{1}$ и $y_{1}$, следовательно,
\[
\frac{\partial P}{\partial x_{1}}=m_{1} \frac{\partial\left(\sum m_{k} \log \rho_{1 k}\right)}{\partial x_{1}}=m_{1} \frac{\partial \psi}{\partial x_{1}},
\]

и также
\[
\frac{\partial P}{\partial y_{1}}=m_{1} \frac{\partial \psi}{\partial y_{1}} .
\]
68. В общем случае получим следующие уравнения
\[
\begin{aligned}
m_{k}^{d x_{k}} d & =\begin{array}{c}
\partial P \\
d t
\end{array}, \\
m_{k} \frac{d y_{k}}{d t} & =\frac{\partial P}{\partial x_{k}} .
\end{aligned}
\]

В этой форме можно распознать гамильтоновы канонические уравнения с точностью до множителя $m_{k}$. Для того чтобы точно привести их к каноническому виду, достаточно рассмотреть переменные
\[
x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} \quad \text { и } \quad m_{1} y_{1}, m_{2} y_{2}, \ldots, m_{n} y_{n} .
\]
69. Интегрирование уравнений. Интегрирование уравнений (I) возможно, когда существует только три вихревые трубки, что и будет нами доказано.
70. Теорема. Можно снова доказать теорему о сохранении центра масс. Действительно, функция $P$ зависит только от расстояний $\rho$, то есть только от разностей $x_{1}-x_{2}, \ldots, y_{1}-y_{2}, \ldots$ и т. д. Следовательно,
\[
\frac{\partial P}{\partial y_{1}}+\frac{\partial P}{\partial y_{2}}+\ldots+\frac{\partial P}{\partial y_{n}}=0
\]

либо
\[
\begin{array}{c}
\sum \frac{\partial P}{\partial y_{k}}=0, \quad \sum m_{k} \frac{d x_{k}}{d t}=0 \\
\sum_{k} m_{k} x_{k}=\text { const. }
\end{array}
\]

И также
\[
\sum_{k} m_{k} y_{k}=\text { const. }
\]

Таким образом, центр масс системы остается неподвижным.
71. Теорема живых сил ${ }^{1}$. Умножим два уравнения (I) соответственно на $-d y_{k}$ и $d x_{k}$; произведем те же действия со всеми аналогичными уравнениями и сложим их. Тогда получим
\[
\sum \frac{\partial P}{\partial x_{k}} d x_{k}+\sum \frac{\partial P}{\partial y_{k}} d y_{k}=0
\]

или
\[
d P=0 .
\]

Таким образом,
\[
P=\text { const. }
\]

Данное соотношение выражает теорему живых сил. Это сложно заметить сразу, поэтому нам придется устранить некоторые возникшие трудности. Действительно, согласно нашим предположениям, живая сила будет бесконечной по трем причинам:
$1^{\circ}$ Жидкость бесконечна во всех направлениях. Мы показали, что при введении двух плоских твердых перегородок, перпендикулярных оси $O z$, движение не видоизменяется. Таким образом, можно ограничиться рассмотрением жидкости, заключенной между двумя плоскостями;
$2^{\circ}$ Даже учитывая это ограничение, живая сила снова будет бесконечной, поскольку жидкость бесконечна в плоскости $x y$. Составляющие скорости $u$ и $v$ на окружности бесконечно большого радиуса $R$ первого порядка являются бесконечно малыми первого порядка п. 62. Элементарная живая сила при этом представляет собой бесконечно малую второго порядка, однако полная живая сила остается бесконечной.
${ }^{1}$ Под живой силой понимается кинетическая энергия. – Прим. ред.

Обозначив через $2 \pi M$ сумму моментов всех вихревых трубок, скорость на окружности радиуса $R$ принимает значение
\[
V=\frac{M}{R}
\]

с точностью до бесконечно малых второго порядка.
Предположим, что $M$ равна нулю, тогда скорость $(u, v)$ является бесконечно малой второго порядка, элементарная живая сила является бесконечно малой четвертого порядка, и полная живая сила конечна.
$3^{\circ}$ Предположим также, что вихревые трубки не являются бесконечно тонкими, в противном случае скорость в окрестности этих трубок будет бесконечно большой первого порядка, а живая сила – бесконечно большой второго порядка.
72. Допустим, что живая сила конечна. Для этого достаточно, как мы увидели, чтобы: $1^{\circ}$ жидкость ограничивалась бы двумя параллельными плоскостями, перпендикулярными оси $O z ; 2^{\circ}$ сумма моментов всех трубок равнялась нулю; $3^{\circ}$ трубки имели бы конечное сечение.

Рассмотрим два малых элемента поверхности $d \omega$ и $d \omega^{\prime}$, соответствующих значениям $\zeta$ и $\zeta^{\prime}$ вихря. Пусть $2 \pi d m, 2 \pi d m^{\prime}$ – моменты элемснтарных трубог, ограниченшх этими элемснтами, таг что
\[
\begin{aligned}
2 \zeta d \omega & =2 \pi d m, \\
2 \zeta^{\prime} d \omega^{\prime} & =2 \pi d m^{\prime} .
\end{aligned}
\]

Слагаемое в $P$, соответствующее этим элементам, имеет вид
\[
d m d m^{\prime} \log \rho,
\]

где $\rho$ – расстояние между элементами. Общая функция $P$ равна
\[
P=\iint d m d m^{\prime} \log \rho
\]

или
\[
P=\iint \frac{\zeta \zeta^{\prime} d \omega d \omega^{\prime} \log \rho}{\pi^{2}},
\]

где интеграл вычисляется по всем сочетаниям элементов $d \omega$ и $d \omega^{\prime}$, каждое из которых взято только один раз. Пусть $x, y$ и $x^{\prime}, y^{\prime}$ – координаты центров масс элементов $d \omega$ и $d \omega^{\prime}$; значение $\psi$ в точке $(x, y)$ примет вид
\[
\psi=\int d m^{\prime} \log \rho=\int \frac{\xi^{\prime} d \omega^{\prime} \log \rho}{\pi} .
\]

С другой стороны, справедливо равенство
\[
2 \pi^{2} P=\iint \xi \xi^{\prime} d \omega d \omega^{\prime} \log \rho,
\]

интеграл, взятый по всем сочетаниям ( $\left.d \omega, d \omega^{\prime}\right)$, каждое из которых взято дважды так, что
\[
2 \pi^{2} P=\pi \int \zeta \psi d \omega .
\]
73. Эту формулу также можно получить, обращаясь к электростатической аналогии п. 62.

Действительно, если будем считать $d m, d m^{\prime}$ электрическими зарядами, распространенными по элементам $d \omega, d \omega^{\prime}$, то функция $\psi$ будет представлять, с точностью до постоянного множителя, электростатический потенциал, а функция $P$ – электростатическую энергию. Как известно, между этими двумя функциями существует соотношение вида (6).
74. В выражении для $P$ заменим $2 \zeta$ на ее значение
\[
4 \pi P=\int 2 \zeta \psi d \omega=\int\left(\frac{d v}{d x}-\frac{d u}{d y}\right) \psi d \omega .
\]

Рассмотрим интеграл
\[
\int(v d y+u d x) \psi
\]

Взятый вдоль окружности очень большого радиуса, этот интеграл равен нулю, так как мы предположили (п. 72), что алгебраическая сумма моментов всех трубок равна нулю. При этом $u$ и $v$ имеют второй порядок малости, а длина окружности бесконечно большая только первого порядка. Преобразовав приведенный интеграл по теореме Стокса, получим
\[
\int\left(\frac{d(\psi v)}{d x}-\frac{d(\psi u)}{d y}\right) d \omega=0,
\]

после выполнения дифференцирования
\[
\int \psi\left(\frac{d v}{d x}-\frac{d u}{d y}\right) d \omega+\int\left(v \frac{d \psi}{d x}-u \frac{d \psi}{d y}\right) d \omega=0 .
\]

Используя соотношения
\[
2 \zeta=\frac{d v}{d x}-\frac{d u}{d y}, \quad \frac{d \psi}{d x}=v, \quad \frac{d \psi}{d y}=-u,
\]

получаем
\[
4 \pi P+\int\left(v^{2}+u^{2}\right) d \omega=0 .
\]

Таким образом, $P$ представляет, с точностью до постоянного множителя, живую силу $\int\left(v^{2}+u^{2}\right) d \omega$, и эта живая сила постоянна.
75. Теорема. Момент инерции масс $m$ относительно оси $O z$ является постоянным.

Повернем систему вокруг оси $z$ на бесконечно малый угол $\varepsilon$. Пренебрегая бесконечно малыми второго порядка, координаты $x_{i}$ и $y_{i}$ становятся
\[
x_{i}-y_{i} \varepsilon, \quad y_{i}+x_{i} \varepsilon .
\]

Функция $P$ п. $\mathbf{7 1}$, зависящая только от расстояний $\rho_{i k}$, при этом не изменится.
Поскольку $d P=0$, получим уравнение
\[
\sum-\frac{d P_{i}}{d x_{i}} y_{i} \varepsilon+\sum \frac{d P}{d y_{i}} x_{i} \varepsilon=0
\]

или
\[
\sum\left(x_{i} \frac{d P}{d y_{i}}-y_{i} \frac{d P}{d x_{i}}\right)=0 .
\]

В электростатической аналогии это уравнение означает, что сумма моментов сил притяжения, одних наэлектризованных прямых к другим, относительно оси $z$, равна нулю. Это очевидно, поскольку притяжения попарно равны и имеют противоположные знаки.
Если заменим $\frac{d P}{d y_{i}}$ и $\frac{d P}{d x_{i}}$ на $m_{i} \frac{d x_{i}}{d t}$ и $-m_{i} \frac{d y_{i}}{d t}$, то получим
\[
\sum m_{i}\left(x_{i} \frac{d x_{i}}{d t}+y_{i} \frac{d y_{i}}{d t}\right)=0,
\]

или, проинтегрировав,
\[
\sum m_{i}\left(x_{i}^{2}+y_{i}^{2}\right)=\text { const. }
\]

76. Теорема. Сумма моментов количества движения относительно оси z постоянна.

Если $f$ является однородной функцией первой степени, то по теореме Эйлера
\[
x \frac{d f}{d x}+y \frac{d f}{d y}+z \frac{d f}{d z}=f
\]

или
\[
\sum x \frac{d f}{d x}=f
\]

или, наконец,
\[
\sum x \frac{d \log f}{d x}=1 .
\]

Применим это выражение к функции $P$. Функция $\rho_{i k}$ является однородной функцией первой степени относительно $x_{i}, y_{i}$, координаты $x_{k}, y_{k}$ и другие не рассматриваются. Следовательно,
\[
x_{i} \frac{d \log \rho_{i k}}{d x_{i}}+y_{i} \frac{d \log \rho_{i k}}{d y_{i}}+\ldots=1,
\]

или, умноная все членьн на $m_{i} m_{k}$,
\[
\sum\left(x_{p} \frac{d m_{i} m_{k} \log \rho_{i k}}{d x_{p}}+y_{p} \frac{d m_{i} m_{k} \log \rho_{i k}}{d y_{p}}\right)=m_{i} m_{k},
\]

суммирование взято по всем значениям $p$, от единицы до $n$. Просуммировав получившееся уравнение по всевозможным сочетаниям $i$ и $k$, получим
\[
\sum\left(x_{p} \frac{d P}{d x_{p}}+y_{p} \frac{d P}{d y_{p}}\right)=\sum m_{i} m_{k} .
\]

В силу уравнений (I) п. 68 это соотношение равносильно равенству
\[
\sum m_{p}\left(x_{p} \frac{d y_{p}}{d t}-y_{p} \frac{d x_{p}}{d t}\right)=\sum m_{i} m_{k} .
\]

Левая часть уравнения является суммой моментов количества движения, а правая – постоянной.
77. Итак, мы нашли три интеграла дифференциальных уравнений (I), свойства этих уравнений позволяют нам проинтегрировать их в квадратурах, если существует только три вихревых трубки.

Действительно, наши уравнения имеют форму канонических уравнений Гамильтона, которые интегрируются в квадратурах, когда они содержат $2 n$ переменных, и известно $n$ частных интегралов. В случае трех вихревых трубок уравнения содержат шесть переменных $x_{1}, y_{1}, x_{2}, y_{2}, x_{3}, y_{3}$ и найдено три частных интеграла.

ЗАМЕЧАНИЕ РЕДАКЦИИ. В п. $\mathbf{7 7}$ остается неясным, какие три интеграла имел в виду А. Пуанкаре. В пп. $65,70,71,75$ им были найдены четыре различных интерала:
координаты центра вихря
\[
P=\sum m_{i} x_{i}=\mathrm{const}, \quad Q=\sum m_{i} y_{i}=\text { const },
\]

гамильтониан
\[
H=\sum m_{i} m_{j} \log \rho_{i j}=\mathrm{const},
\]

и момент инерции относительно оси $O z$
\[
I=\sum m_{i}\left(x_{i}^{2}+y_{i}^{2}\right)=\text { const. }
\]

Сохраняющаяся величина (4.10) п. 76, очевидно, не является дополнительным интегралом, поскольку получается из гамильтониана с помощью некоторого тождества. Смысл же выражения (4.10) п. 76 в целом состоит, по-видимому, в приведении интересного свойства движения прямолинейных вихрей, аналогичного закону сохранения момента в небесной механике.

В общем случае приведенные четыре интеграла не инволютивны, поэтому простое их указание (даже всех четырех) не является доказательством интегрируемости системы. Гамильтониан $H$ и момент инерции $I$ находятся в инволюции, третьим же интегралом в инволюции является $P^{2}+Q^{2}$. Таким образом, задача 3 -х вихрей действительно является интегрируемой. Современное изложение данного вопроса можно найти в книге А. В. Борисова, И. С. Мамаева «Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике».