33. В п. 3 мы установили уравнение непрерывности для общего случая
\[
\frac{\partial \rho}{\partial t}+\frac{\partial(\rho u)}{\partial x}+\frac{\partial(\rho v)}{\partial y}+\frac{\partial(\rho w)}{\partial z}=0 .
\]

Если речь идет о жидкости, то плотность $\rho$ постоянна и это уравнение сокращается до
\[
\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}=0
\]

Предположим, что вихрь повсюду равен нулю, иначе говоря, выражение
\[
u d x+v d y+w d z
\]

является полным дифференциалом $d \varphi$, где $\varphi$ – функция скоростей.
Тогда уравнение непрерывности запишется:
\[
\Delta \varphi=0,
\]

полагая, как всегда,
\[
\Delta \varphi=\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial z^{2}} .
\]
34. Теорема. Существуют два случая, где условия непрерывности могут выполняться, только если жидкость покоится:
$1^{\circ}$ Когда жидкость заполняет бесконечное пространство и покоится в бесконечности;
$2^{\circ}$ Когда жидкость полностью заполняет замкнутый односвязный сосуд.

Докажем эти два утверждения, основываясь на теореме Грина, которая выражается уравнением
\[
\int \varphi \frac{d \varphi}{d n} d \omega=\int \varphi \Delta \varphi d \tau+\int\left[\left(\frac{\partial \varphi}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial \varphi}{\partial y}\right)^{2}+\left(\frac{\partial \varphi}{\partial z}\right)^{2}\right] d \tau .
\]

Интеграл в левой части равенства берется по всем элементам $d \omega$ замкнутой поверхности; два других – по всем элементам $d \tau$ объема, ограниченного этой поверхностью. Производная $\frac{d \varphi}{d n}$ вдоль нормали к поверхности вычислена в центре масс элемента $d \omega$ и равна проекции скорости на эту нормаль. Функция $\varphi$ должна быть однозначна внутри объема $\tau$.
35. Жидкость, занимающая бесконечное пространство. Применим теорему Грина к сфере очень большого радиуса.

Согласно нашему предположению, жидкость покоится в бесконечности и $\frac{d \varphi}{d n}$ будет равна нулю на всей поверхности этой сферы. Интеграл в левой части равенства будет равен нулю. Первый интеграл в правой части также равен нулю, так как $\Delta \varphi=0$; следовательно последний тоже равен нулю
\[
\int\left[\left(\frac{\partial \varphi}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial \varphi}{\partial y}\right)^{2}+\left(\frac{\partial \varphi}{\partial z}\right)^{2}\right] d \tau=0
\]

Подынтегральное выражение является существенно положительным, так как это сумма квадратов. Таким образом, это равенство влечет за собой следующее
\[
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=0, \quad \frac{\partial \varphi}{\partial y}=0, \quad \frac{\partial \varphi}{\partial z}=0,
\]

или
\[
u=0, \quad v=0, \quad w=0 .
\]

Следовательно, скорость равна нулю и жидкость покоится.
36. Жидкость, полностью заполняющая неподвижный сосуд. $1^{\circ}$ Односвязный сосуд. Применим еще раз теорему Грина, принимая за поверхность интегрирования поверхность стенок сосуда, а за объем – объем сосуда. Так как стенки сосуда неподвижны, то скорость жидкости вблизи стенок может быть только касательной, т.е. нормальная составляющая $\frac{d \varphi}{d n}$ равна нулю. Таким образом:
\[
\int \varphi \frac{\partial \varphi}{\partial n} d \omega=0
\]

так как $\Delta \varphi=0$, то
\[
\int \varphi \Delta \varphi d \tau=0
\]

и, следовательно,
\[
\int\left[\left(\frac{\partial \varphi}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial \varphi}{\partial y}\right)^{2}+\left(\frac{\partial \varphi}{\partial z}\right)^{2}\right] d \tau=0 .
\]

Из чего снова получаем
\[
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=\frac{\partial \varphi}{\partial y}=\frac{\partial \varphi}{\partial z}=0
\]

Таким образом, скорость равна нулю в любой точке сосуда.
37. Предыдущее доказательство имеет смысл только для односвязного объема. Если сосуд многосвязный, то функция $\varphi$ более не будет однозначной, и теорема Грина не применима.
38. $2^{\circ}$ Двусвязный сосуд. Предположим, что сосуд двусвязный и имеет форму тора. Проделаем разрез по меридианной окружности: этот разрез пересекается замкнутыми кривыми второго рода. Функция скоростей $\varphi$ является однозначной до тех пор, пока не пересечет разрез, а при его пересечении терпит разрыв, постоянный по всей поверхности разреза.

Если задана постоянная величина разрыва $J$ вдоль кривой второго рода, то движение жидкости полностью определено.

Действительно, предположим, что существует два возможных решения, и пусть $\varphi^{\prime}$ и $\varphi^{\prime \prime}$ – функции скоростей, соответствующие этим решениям. Пусть $\varphi_{1}^{\prime}$ и $\varphi_{2}^{\prime}$ – значения $\varphi^{\prime}$ по обе стороны разреза, а $\varphi_{1}^{\prime \prime}$ и $\varphi_{2}^{\prime \prime}$ – значения $\varphi^{\prime \prime}$. Получим
\[
\varphi_{1}^{\prime}-\varphi_{2}^{\prime}=J_{0}, \quad \varphi_{1}^{\prime \prime}-\varphi_{2}^{\prime \prime}=J_{0},
\]

где $J_{0}$ – заданная постоянная; кроме того, пока разрез не пересекается, $\varphi^{\prime}$ и $\varphi^{\prime \prime}$ являются однозначными. Вычитаем приведенные выше уравнения одно из другого и получаем
\[
\varphi_{1}^{\prime}-\varphi_{1}^{\prime \prime}=\varphi_{2}^{\prime}-\varphi_{2}^{\prime \prime} .
\]

Таким образом, функция $\varphi^{\prime}-\varphi^{\prime \prime}$ имеет одно и то же значение по обеим сторонам разреза. Она является однозначной и непрерывной по всему объему и к ней можно применить теорему Грина. Следовательно, выведем
\[
\frac{\partial\left(\varphi^{\prime}-\varphi^{\prime \prime}\right)}{\partial x}=0 \text { и т. д. }
\]

или
\[
\frac{\partial \varphi^{\prime}}{\partial x}=\frac{\partial \varphi^{\prime \prime}}{\partial x}, \quad \frac{\partial \varphi^{\prime}}{\partial y}=\frac{\partial \varphi^{\prime \prime}}{\partial y}, \quad \frac{\partial \varphi^{\prime}}{\partial z}=\frac{\partial \varphi^{\prime \prime}}{\partial z} .
\]

Составляющие скорости одинаковы в обоих случаях: таким образом, имеется единственно возможное движение.
39. $3^{\circ}$ Трехсвязный сосуд. В этом случае необходимо сделать два разреза для того, чтобы представить объем в односвязном виде.
Движение определено, когда заданы
\[
\varphi_{1}-\varphi_{2}=J_{0}, \quad \varphi_{3}-\varphi_{4}=J_{1},
\]

где $\varphi_{1}-\varphi_{2}$ – разность значений $\varphi$ с двух сторон первого, а $\varphi_{3}-\varphi_{4}$ второго разрезов.

Допуская существование двух решений $\varphi^{\prime}$ и $\varphi^{\prime \prime}$ подобно предыдущему случаю, получим
\[
\varphi_{1}^{\prime}-\varphi_{2}^{\prime}=\varphi_{1}^{\prime \prime}-\varphi_{2}^{\prime \prime}, \quad \varphi_{3}^{\prime}-\varphi_{4}^{\prime}=\varphi_{3}^{\prime \prime}-\varphi_{4}^{\prime \prime} .
\]

Функция $\varphi^{\prime}-\varphi^{\prime \prime}$ является однозначной и непрерывной внутри объема, и из теоремы Грина следует
\[
\varphi^{\prime}-\varphi^{\prime \prime}=\mathrm{const}
\]

или
\[
\frac{\partial \varphi^{\prime}}{\partial x}=\frac{\partial \varphi^{\prime \prime}}{\partial x} \text { ит.д. }
\]

40. Вихрь, не равный нулю. В случае, когда вихрь не равен нулю, задача Гельмгольца определена и имеет одно и только одно решение.

Действительно, в чем же заключается эта задача? Речь идет о том, чтобы при заданных компонентах вихря $\xi, \eta, \zeta$ определить значения $u, v, w$ из уравнений
\[
\left\{\begin{array}{l}
2 \xi=\frac{\partial w}{\partial y}-\frac{\partial v}{\partial z} \\
2 \eta=\frac{\partial u}{\partial z}-\frac{\partial v}{\partial x} \\
2 \zeta=\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y} \\
\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}=0
\end{array}\right.
\]

Предположим, что нашлось бы два решения
\[
\begin{aligned}
u & =u^{\prime}, & u & =u^{\prime \prime}, \\
v & =v^{\prime}, & v & =v^{\prime \prime}, \\
w & =w^{\prime}, & w & =w^{\prime \prime} .
\end{aligned}
\]

Тогда получим следующие соотношения
\[
2 \xi=\frac{\partial w^{\prime}}{\partial y}-\frac{\partial v^{\prime}}{\partial z}, \quad 2 \xi=\frac{\partial w^{\prime \prime}}{\partial y}-\frac{\partial v^{\prime \prime}}{\partial z},
\]

откуда
\[
0=\frac{\partial\left(w^{\prime}-w^{\prime \prime}\right)}{\partial y}-\frac{\partial\left(v^{\prime}-v^{\prime \prime}\right)}{\partial z},
\]

а также по аналогии и два других уравнения. Эти три уравнения выражают тот факт, что сумма
\[
\left(u^{\prime}-u^{\prime \prime}\right) d x+\left(v^{\prime}-v^{\prime \prime}\right) d y+\left(w^{\prime}-w^{\prime \prime}\right) d z
\]

является полным дифференциалом $d \varphi$. Таким образом, можно установить
\[
u^{\prime}-u^{\prime \prime}=\frac{\partial \varphi}{\partial x} \text { и т. д. }
\]

Запишем уравнение неразрывности для $u=u^{\prime} \ldots$, а также для $u=u^{\prime \prime} \ldots$, откуда следует
\[
\sum \frac{\partial u^{\prime}}{\partial x}=0, \quad \sum \frac{\partial u^{\prime \prime}}{\partial x}=0 .
\]

Вычитая одну сумму из другой, получим
\[
\sum \frac{\partial\left(u^{\prime}-u^{\prime \prime}\right)}{\partial x}=0,
\]

то есть
\[
\Delta \varphi=0 .
\]

Если сосуд заполнен полностью, то нормальная составляющая скорости должна равняться нулю в каждой точке стенки сосуда. Пусть $l, m, p$ – направляющие косинусы нормали к стенке сосуда, тогда нормальная составляющая скорости будет иметь вид
\[
l u+m v+p w .
\]

Если эта составляющая равна нулю, то
\[
l u^{\prime}+m v^{\prime}+p w^{\prime}=0, \quad l u^{\prime \prime}+m v^{\prime \prime}+p w^{\prime \prime}=0 .
\]

Следовательно,
\[
l \frac{\partial \varphi}{\partial x}+m \frac{\partial \varphi}{\partial y}+p \frac{\partial \varphi}{\partial z}=\frac{\partial \varphi}{\partial n}=0 .
\]

Если сосуд односвязный, то, рассуждая как и раньше в п. 36, найдем
\[
\varphi=\mathrm{const}, \quad \frac{\partial \varphi}{\partial x}=\frac{\partial \varphi}{\partial y}=\frac{\partial \varphi}{\partial z}=0,
\]

или
\[
u^{\prime}=u^{\prime \prime}, \quad v^{\prime}=v^{\prime \prime}, \quad w^{\prime}=w^{\prime \prime} .
\]

Таким образом, задача допускает только единственное решение.
41. Пусть сосуд является многосвязным, тогда предыдущее доказательство недействительно. Необходимо ввести еще одно или несколько дополнительных условий.

Пусть, например, объем является двусвязным. Проделаем один разрез. Пусть $J_{0}$ – значение интеграла, взятого по замкнутой кривой, пересекающей разрез только один раз.
Задача будет определена, если помимо $\xi, \eta, \zeta$ задать величину $J_{0}$.

Действительно, предположим, что могло бы существовать два решения $\left(u^{\prime}, v^{\prime}, w^{\prime}\right)$ и $\left(u^{\prime \prime}, v^{\prime \prime}, w^{\prime \prime}\right)$. Как и выше в п. 38, можно доказать, что справедливы следующие соотношения
\[
\begin{array}{c}
u^{\prime}-u^{\prime \prime}=\frac{\partial \varphi}{\partial x}, \quad v^{\prime}-v^{\prime \prime}=\frac{\partial \varphi}{\partial y}, \quad w^{\prime}-w^{\prime \prime}=\frac{\partial \varphi}{\partial z}, \\
\frac{\partial \varphi}{\partial n}=0, \quad \Delta \varphi=0 .
\end{array}
\]

С другой стороны
\[
\int u^{\prime} d x+v^{\prime} d y+w^{\prime} d z=J_{0}, \quad \int u^{\prime \prime} d x+v^{\prime \prime} d y+w^{\prime \prime} d z=J_{0} .
\]

Вычитая почленно один интеграл из другого, получим
\[
\int\left(\frac{\partial \varphi}{\partial x} d x+\frac{\partial \varphi}{\partial y} d y+\frac{\partial \varphi}{\partial z} d z\right)=0
\]

или
\[
\int d \varphi=0
\]

Таким образом, функция $\varphi$ остается однозначной, даже если избавиться от разреза. Она должна быть постоянной и, следовательно,
\[
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=u^{\prime}-u^{\prime \prime}=0 \quad \text { или } \quad u^{\prime}=u^{\prime \prime} \text { и т. д. }
\]
42. Если объем является трехсвязным, необходимо проделать два разреза. Для того чтобы определить задачу, помимо $\xi, \eta, \zeta$ необходимо задать $J_{0}$ – величину интеграла $J$, взятого вдоль замкнутой кривой, пересекающей один раз только первый разрез, а также интеграл $J_{1}$ вдоль замкнутой кривой, пересекающей один раз только второй разрез.
43. Аналогия между уравнениями гидродинамики Гельмгольца и уравнениями электродинамики Максвелла. $1^{\circ}$ Предположим, что рассматриваемая нами жидкость заполняет бесконечное пространство и покоится.

В этом случае система уравнений Гельмгольца имеет ту же форму, что и система уравнений Максвелла для магнитного поля.

Максвелл назвал $u, v, w$ компонентами тока. Это значит, что через элемент поверхности $d \omega$, перпендикулярный оси $O x$, за время $d t$ проходит количество электричества $u d \omega d t$ и т. д. Величины $\alpha, \beta, \gamma$ являются компонентами напряженности магнитного поля, вызванного током;

$a, b, c$ – составляющие вектора магнитной индукции, которые переходят в $\alpha, \beta, \gamma$ в отсутствии постоянного магнита и мягких магнетиков. Уравнение Максвелла
\[
\frac{\partial a}{\partial x}+\frac{\partial b}{\partial y}+\frac{\partial c}{\partial z}=0
\]

при этом переходит в следующее
\[
\frac{\partial \alpha}{\partial x}+\frac{\partial \beta}{\partial y}+\frac{\partial \gamma}{\partial z}=0
\]

Сравнивая две системы, получим
\[
\begin{array}{c|c}
\text { Максвелл } & \text { Гельмгольц } \\
4 \pi u=\frac{\partial \gamma}{\partial y}-\frac{\partial \beta}{\partial z}, & 2 \xi=\frac{d w}{d y}-\frac{d v}{d z}, \\
4 \pi v=\frac{\partial \alpha}{\partial z}-\frac{\partial \gamma}{\partial x}, & 2 \eta=\frac{d u}{d z}-\frac{d w}{d x}, \\
4 \pi w=\frac{\partial \beta}{\partial x}-\frac{\partial \alpha}{\partial y}, & 2 \zeta=\frac{d v}{d x}-\frac{d u}{d y}, \\
\frac{\partial \alpha}{\partial x}+\frac{\partial \beta}{\partial y}+\frac{\partial \gamma}{\partial z}=0 . & \frac{d u}{d x}+\frac{d v}{d y}+\frac{d w}{d z}=0
\end{array}
\]

Гельмгольц
\[
\begin{array}{c}
2 \xi=\frac{d w}{d y}-\frac{d v}{d z} \\
2 \eta=\frac{d u}{d z}-\frac{d w}{d x} \\
2 \zeta=\frac{d v}{d x}-\frac{d u}{d y} \\
\frac{d u}{d x}+\frac{d v}{d y}+\frac{d w}{d z}=0
\end{array}
\]

Видно, что для того, чтобы уравнения Гельмгольца перешли в уравнения Максвелла, достаточно заменить $\xi, \eta, \zeta, u, v, w$ на $2 \pi u, 2 \pi v, 2 \pi w$, $\alpha, \beta, \gamma$. Кроме того, мы доказали, что если подобная система допускает решение, то это решение единственно.

Предположим, что нам известны величина и направление вихревого вектора. Разделим этот вектор на $2 \pi$ и будем считать, что полученный таким образом вектор представляет собой электрический ток. Полученная таким образом система токов создает магнитное поле, вектор которого, кроме того, задает скорость частиц жидкости в той же точке. Таким образом, силовые линии магнитного поля аналогичны линиям тока гидродинамических течений.
44. Случай существования единственной вихревой трубки. Предположим, что существует единственная замкнутая вихревая трубка бесконечно малого сечения, в каждой точке которой вихрь имеет достаточно большое значение для того, чтобы момент трубки был конечен, и, наконец, что вихрь всюду, за исключением трубки, равен нулю. Ввиду последнего предположения, вне трубки существует функция скоростей $\varphi$. Однако объем вне трубки является двусвязным, так как можно провести замкнутые кривые двух родов:
$1^{\circ}$ не пересекающие трубку, такие как $C$ (рис. 14);
$2^{\circ}$ перекрещивающиеся с трубкой подобно кольцам цепи, как, например, $C^{\prime}$.

Интеграл $J$, взятый вдоль кривых первого рода, равен нулю, а взятый вдоль кривых второго рода равен не нулю, а моменту трубки.

Сечение трубки бесконечно мало́, поэтому трубка может быть рассмотрена как замкнутая кривая, которую назовем осью трубки. Через ось вихревой трубки мы можем провести некоторую поверхность и принять за

Рис. 14 разрез ее часть, ограниченную осью вихря. Все замкнутые кривые, не пересекающие такой разрез, будут кривыми первого рода, а пересекающие – кривыми второго рода п. 30.
45. Пусть функция $\varphi$ равна нулю в бесконечности, что возможно, так как эта функция задана только ее производными и, следовательно, определена с точностью до постоянной. Для того чтобы определить значение $\varphi$ в заданной точке $P$, возьмем интеграл $J$ вдоль кривой, соединяющей бесконечно удаленную точку с рассматриваемой точкой $P$, не пересекая при этом разрез. Этого определения достаточно только в том случае, если функция $\varphi$ однозначна, и, следовательно, значение, вычисляемое таким образом, не зависит от непрерывного пути, направленного из бесконечности в точку $P$. Это условие выполняется. Действительно, рассмотрим два пути $M Q P, M R P$, соединяющие очень удаленную точку $M$ с точкой $P$. Вдоль замкнутого контура $M Q P R M$, который не пересекает разрез, интеграл $J$ равен нулю. Отсюда
\[
\int_{M Q P} d \varphi+\int_{P R M} d \varphi=0
\]

или
\[
\int_{M Q P} d \varphi=\int_{M R P} d \varphi=\varphi_{P} .
\]

Вычисленное таким образом значение $\varphi$ в точке $M$ зависит от поверхности, выбранной в качестве разреза. Оно является одинаковым, если два разреза не заключают между собой точку $M$, и изменяется, если точка $M$ находится между двумя поверхностями, последовательно выбранными в качестве разрезов.

Определим теперь значение функции $\varphi$. Пусть $\mu$ – момент вихревой трубки
\[
\mu=2 \sqrt{\xi^{2}+\eta^{2}+\zeta^{2}} d \omega,
\]

где $d \omega$ – перпендикулярное сечение трубки, которое полагается бесконечно малым. Если заменить вихри $(\xi, \eta, \zeta)$ на токи $(u, v, w)$, то каждая составляющая тока будет равняться соответствующему компоненту вихря, разделенного на $2 \pi$. Сила тока, касательного к вихревой трубке, будет равна
\[
i=\sqrt{u^{2}+v^{2}+w^{2}} d \omega
\]

Следовательно,
\[
\mu=4 \pi i \text {. }
\]

Если определить значение $i$ с помощью этого равенства, то сила магнитного поля $^{1}$ и скорость частицы жидкости в точке будут представлены одним и тем же вектором. Функция скоростей будет представлять собой магнитный потенциал тока. В заданной точке, как известно, этот потенциал выражается через
$i \sigma$,

где $\sigma$ – телесный угол, под которым виден контура тока из этой точки. Следовательно,
\[
\varphi=i \sigma=\frac{\mu \sigma}{4 \pi},
\]

где $\sigma$ – телесный угол, под которым видна ось вихревой трубки из рассматриваемой точки.

Если бы имелось несколько вихревых трубок, то функция $\varphi$ всей системы представляла бы собой сумму функций $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ каждой из трубок, для которых верно то же соотношение.
${ }^{1} \mathrm{~B}$ настоящее время принято название «напряженность магнитного поля». Прим. ред.

46. Случай прямолинейной и бесконечной вихревой трубки. Пусть вихревая трубка прямолинейна.

Применим использованную выше аналогию. Необходимо заменить трубку на бесконечный прямолинейный проводник с током силой
\[
i=\frac{\mu}{4 \pi} .
\]

Согласно закону Био-Савара, действие этого тока на магнитный полюс $M$ перпендикулярно плоскости $M P Q$ и обратно пропорционально расстоянию $r$ от точки $M$ до прямой $P Q$. Таким образом, скорость частицы жидкости $M$ будет перпендикулярна плоскости $M P Q$ и обратно пропорциональна ее расстоянию от оси вихревой трубки.
47. Впрочем, этот результат может быть получен непосредственно, без помощи сравнения с электродинамикой.

В силу симметричности, скорость должна находиться в плоскости $R$, проведенной через точку $M$ перпендикулярно прямой $P Q$. С другой стороны, если рассмотрим плоскость $P M Q$, то эта плоскость, собственно говоря, не является плоскостью симметрии. Действительно, примем за плоскость рисунка плоскость $R$ (рис. 15). Пря-

Рис. 15 мая $P Q$ проектируется на эту плоскость в точку $N$, а $M N$ является следом плоскости $P M Q$. Пусть вихрь имеет направление, определенное стрелкой, а скорость жидкости направлена вдоль $M V$.

Рассмотрим отражение рисунка относительно $M N$. Момент вихревой трубки сохранит то же значение, но при этом вихрь сменит направление. Таким образом, скорость сохранит свою абсолютную величину и расположение, но изменит направление и станет $M V^{\prime}$. Поскольку $M V^{\prime}$ должен быть симметричен $M V$ относительно $M N$, необходимо, чтобы $M V$ был перпендикулярен следу плоскости $M N$. Следовательно, он перпендикулярен и плоскости $M P Q$, так как известно, что $M V$ находится в плоскости $R$.
48. Для того чтобы найти величину скорости, напомним сначала, что
\[
J=\int(u d x+v d y+w d z)=\mu .
\]

Выберем в качестве контура интегрирования окружность, описанную в плоскости, перпендикулярной прямой $P Q$, с радиусом $M N$ и центром в точке $N$. Примем $P Q$ за ось $z$, точку $N$ – за начало координат и два диаметра окружности, перпендикулярные друг относительно друга, – за оси $x$ и $y$. В этой системе отсчета
\[
\begin{array}{c}
x=\rho \cos \omega, \quad y=\rho \sin \omega, \\
d x=-\rho \sin \omega d \omega, \quad d y=\rho \cos \omega d \omega, \quad d z=0, \\
u=-V \sin \omega, \quad v=V \cos \omega, \quad \omega=0 .
\end{array}
\]

Откуда,
\[
\mu=\int_{0}^{2 \pi} \rho V\left(\sin ^{2} \omega+\cos ^{2} \omega\right) d \omega=2 \pi \rho V, \quad V=\frac{\mu}{2 \pi \rho} .
\]

Таким образом, эта скорость обратно пропорциональна расстоянию $M N=\rho$, как и было найдено выше другим способом.
49. Прямое доказательство. Для того чтобы получить выражение функции $\varphi$, нет необходимости сравнивать уравнения гидродинамики и электродинамики между собой, что было проделано нами выше. Как было доказано, это выражение может быть получено непосредственно.

Для простоты будем говорить, что функция $\varphi$ порождена контуром $C$, когда она обусловлена вихревой трубкой, осью которой является контур $C$, а момент принимается равным единице. Выбор единицы, очевидно, ничего не меняет в большинстве наших доказательств. Приведем сначала несколько теорем, которые будут необходимы для получения выражения функции $\varphi$.
50. Теорема I. Рассмотрим замкнутую кривую $A B C D$ (рис. 16). Соединим две точки $B, D$ этой кривой некоторым путем BED. Таким образом образуются два частичных контура $A B E D, B C D E$ и один полный контур АВСD. Допустим, что эти контуры образуют оси трех вихревых трубок $T^{\prime}, T^{\prime \prime}$ и T. Каждый из контуров порождает функцию $\varphi$. Пусть $\varphi^{\prime}, \varphi^{\prime \prime}$ и – функции соответствующие $T^{\prime}, T^{\prime \prime}$ и $T$, соответственно. Тогда
\[
\varphi=\varphi^{\prime}+\varphi^{\prime \prime} \text {. }
\]

Действительно, через три кривые можно провести некоторую поверхность, определяющую два разреза. Функция $\varphi$ допускает существование двух разрезов; при этом $\varphi^{\prime}$ допускает только разрез (1), а $\varphi^{\prime \prime}$ – только (2). Для того чтобы вывести теорему, достаточно показать, что тождественно имеем
\[
\varphi-\varphi^{\prime}-\varphi^{\prime \prime}=0 \text {. }
\]

Эта функция удовлетворяет уравнению Лапласа
Рис. 16
\[
\Delta\left(\varphi-\varphi^{\prime}-\varphi^{\prime \prime}\right)=0,
\]

так как
\[
\Delta \varphi=\Delta \varphi^{\prime}=\Delta \varphi^{\prime \prime}=0 .
\]

Она равняется нулю в бесконечности так же, как и частичные функции $\varphi, \varphi^{\prime}, \varphi^{\prime \prime}$. Это позволяет применить к функции теорему Грина п. 34, если она является однозначной, то есть если интеграл
\[
\int d \varphi-\int d \varphi^{\prime}-\int d \varphi^{\prime \prime}=0
\]

вдоль некоторого замкнутого контура. Предположим, что кривая интегрирования будет кривой первого вида, то есть не будет пересекать никакой разрез, тогда три частичных интеграла равны нулю. Если кривая пересекает только разрез (1), то $\int d \varphi$ равен моменту трубки $T$, т. е., согласно гипотезе, единице. $\int d \varphi^{\prime}$ равен моменту трубки $T^{\prime}$, т. е. также единице $^{1} . \int d \varphi^{\prime \prime}$ равен нулю. Уравнение снова выполняется. Это можно было бы установить тем же способом, при условии, что

Рис. 17 кривая интегрирования пересекает только разрез (2).

Некоторый замкнутый контур всегда может быть заменен рядом контуров, каждый из которых пересекает только один разрез (рис. 17).
${ }^{1}$ Равенство момента трубки $T^{\prime}$ единице следует из того, что момент трубки постоянен вдоль контура, а на отрезке $B A D$ моменты трубок $T$ и $T^{\prime}$ равны. – Прим. ред.

Поэтому контур $M N P Q$, пересекающий два разреза, может быть заменен на $M N R Q M$, который пересекает только первый разрез и $N P Q R N$, который пересекает только второй разрез. Действительно, эти два контура меняют направление для того, чтобы обойти начальный контур в определенном направлении, а дуга $N R Q$ побегает один раз в одном направлении и один раз в противоположном и в результате исчезает. Следовательно, вдоль некоторого контура
\[
\int d \varphi-\int d \varphi^{\prime}-\int d \varphi^{\prime \prime}=0
\]

Функция $\varphi-\varphi^{\prime}-\varphi^{\prime \prime}$ является однозначной и, следовательно, по теореме Грина, тождественно равна нулю.
51. Теорема II. Функция $\varphi$, порожденная плоским контуром $C$, равняется нулю в любой точке плоскости.
Пусть $C$ – конгур (рис. 18). Обозначим направление вихря стрелкой и рассмотрим отражение относительно плоскости контура. Функция $\varphi$ при этом не должна изменяться. Точка $M$, принадлежащая плоскости симметрии, не изменяется; момент трубки сохраняет то же абсолютное значение, но меняет знак,
Рис. 18 так как движение вихря меняет направление. Функция $\varphi$ в точке $M$ в одно и то же время не должна изменяться и должна поменять знак. Следовательно, она может быть равна только нулю.
52. Теорема III.Предположим, что контур $C$ прочерчен на поверхности конуса, имеющего вершину в точке $M$ (рис. 19). Можно прочертить на поверхности конуса два вида кривых: первые, ограничивающие площадь, в которой вершина отсутствует; другие, производщие оборот вокруг конуса и ограничивающие площадь, которая включает в себя вершину.
а. Для кривых первого вида функция ч равна нулю в точке $M$.
Действительно, можно разложить $C$ на беско-
Рис. 19 нечно малые контуры, каждый из которых может быть отождествлен с плоским элементом, находящимся в плоскости, касательной к конусу: так как все эти касательные плоскости проходят через вершину конуса $M$, то функция $\varphi$, порожденная каждой из них, равна нулю. Функция $\varphi$, порожденная полным контуром $C$, являющимся суммой элементарных функций п. $\mathbf{5 0}$, будет также равна нулю.
b. Пусть теперь существуют две кривые второго вида $A B C D \quad$ и $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ (рис. 20). Тогда функции $\varphi$, порожденные этими двумя кривыми, имеют одинаковое значение в точке $M$.

Действительно, соединим, например, образующей $B B^{\prime}$ точку $B$ первой кривой с точкой $B^{\prime}$ второй кривой; соединим таким же образом $D D^{\prime}$. Затем заменим контур $A B C D$ на контуры $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$, $A B B^{\prime} A^{\prime} D^{\prime} D C, \quad C D D^{\prime} C^{\prime} B^{\prime} B C$. Описывая последовательно эти три контура в направлении, указанном последовательностью букв, обойдем каждую из дуг, за ис-

Рис. 20 ключением $A B C D$, два раза в противоположных направлениях. Функции $\varphi$, порожденные двумя последними контурами, равны нулю согласно первой части теоремы (а). Таким образом, функции, порожденные кривыми $A B C D$ и $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$, имеют одинаковое значение в вершине конуса.
53. Бесконечно малый контур. Вид функции $\varphi$. Пусть контур бесконечно мал. Функция $\varphi$, a priori, может зависеть от расстояния $r$ между точкой $M$ и элементарной поверхностью, ограниченной контуром; от угла $\psi$ между прямой, соединяющей точку $M$ с центром тяжести элемента, и вектором площади элемента поверхности; от площади этого элемента и, наконец, от его вида. Другими словами, $\varphi$ может зависеть от $r$, от $\psi$, от телесного угла и от формы конуса с точкой $M$ в качестве вершины и контуром в качестве направляющей.

Сначала покажем, что $\varphi$ не может зависеть от формы конуса. Действительно, рассматриваемая бесконечно малая площадь первого порядка может быть разложена на квадраты, которые будут бесконечно малыми второго порядка. Все квадраты имеют одинаковую форму, а угол $\psi$ имеет одинаковое значение для каждого из них с точностью до бесконечно малых высшего порядка. Кроме того, какова бы ни была форма рассматриваемой площади, количество квадратов можно сделать таким, чтобы их совокупность отличалась от исходной площади как угодно мало. Значением $\varphi$, образованной полным контуром, будет сумма функций $\varphi$ каждого из квадратов. Эти функции будут одинаковы для каждого квадрата, поскольку $r$ и $\psi$ одинаковы и квадраты имеют одинаковую форму. Таким образом, полная функция $\varphi$ будет пропорциональна числу квадратов, то есть площади, ограниченной контуром, и не будет зависеть от его формы. Следовательно, установим следующее соотношение
\[
\varphi=f(r, \psi) d \sigma
\]

где $d \sigma$ – телесный угол конуса и $f$ – функция, которую необходимо определить.

Телесный угол $d \sigma$ имеет одно и то же значение вдоль конуса; с другой стороны, две замкнутые кривые $C$ и $C^{\prime}$, проведенные на конусе, должны порождать одинаковые функции $\varphi$; однако для этих двух кривых $r$ и $\psi$ могут быть любыми. Таким образом, необходимо, чтобы выполнялось равенство
\[
f(r, \psi)=\text { const }=A .
\]
54. Рассмотрим конечную замкнутую кривую. Разложим ее на элементарные кривые, для каждой из которых $\varphi$ пропорциональна телесному углу $d \sigma$. Для их совокупности получим соотношение
\[
\varphi=A \sigma,
\]

где $\sigma$ – полный телесный угол.
Для того чтобы определить $A$, предположим, что точка $M$ описывает некоторый замкнутый контур, откуда следует, что
\[
\int d \varphi=A \int d \sigma,
\]

если назовем $\mu$ моментом вихревой трубки, то
\[
\int d \varphi=\mu
\]

С другой стороны, справедливо равенство
\[
\int d \sigma=4 \pi,
\]

откуда
\[
\mu=4 \pi A
\]

и
\[
\varphi=\frac{\mu \sigma}{4 \pi} .
\]
55. Жидкость, полностью заполняющая односвязный сосуд. Мы ставим себе целью определить $u, v, w$ по следующим уравнениям
\[
\begin{array}{c}
2 \xi=\frac{\partial w}{\partial y}-\frac{\partial v}{\partial z} \\
\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\
\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}=0
\end{array}
\]

которые в электродинамике соответствуют уравнениям
\[
\begin{array}{c}
4 \pi u=\frac{\partial \gamma}{\partial y}-\frac{\partial \beta}{\partial z} \\
\cdots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\
\frac{\partial \alpha}{\partial x}+\frac{\partial \beta}{\partial y}+\frac{\partial \gamma}{\partial z}=0 .
\end{array}
\]

В случае, когда жидкость заполняет односвязный сосуд, необходимо, чтобы нормальная к поверхности составляющая скорости равнялась нулю в любой точке этой поверхности. Если обозначить через $l, m, n$ направляющие косинусы нормали, то это условие запишется следующим образом
\[
l u+m v+n w=0 .
\]

Для получения соответствующей электродинамической задачи необходимо предположить, что токи преобладают внутри поверхности стенки $S$, а все внешнее пространство занимает сверхпроводник. Если, начиная от состояния покоя, постепенно увеличивать внутренние токи, то во внешнем пространстве появятся токи индукции. После установления процесса электродвижущая сила индукции исчезнет, однако токи индукции останутся, поскольку внешняя среда является сверхпроводником (т.е. ее сопротивление равно нулю). В данной постановке электродинамическая задача совпадает с задачей Гельмгольца.

Действительно, пусть существует замкнутая окружность, $N$ – поток магнитной силы, пересекающий окружность, а электродвижущая сила индукции выражается через $\frac{d N}{d t}$ и по закону Ома равна
\[
\frac{d N}{d t}=R i .
\]

Для сверхпроводника $R=0$ и, следовательно,
\[
\frac{d N}{d t}=0, \quad N=\text { const. }
\]

В начальный момент времени в состоянии покоя $N=0$ и в последующие моменты времени $N$ также равен нулю. Таким образом, никакие силовые линии не пересекут поверхность $S$, т.е. составляющая магнитной силы, нормальная к этой поверхности, равна нулю.
56. Частный случай. Скорость параллельна плоскости $x y$ и зависит только от $x$ и $y$. Тогда имеются следующие соотношения
\[
w=0, \quad \frac{d u}{d z}=\frac{d v}{d z}=0 .
\]

Если эти условия выполняются в начальный момент времени, то они будут выполняться всегда, когда:
$1^{\circ}$ жидкость бесконечна, так как любая плоскость, параллельная плоскости $x y$, является плоскостью симметрии;
$2^{\circ}$ жидкость заполняет цилиндр, параллельный оси $O z$, бесконечный в обоих направлениях. Это также будет справедливо, если этот цилиндр ограничен двумя плоскостями, перпендикулярными оси $z$. Действительно, когда в жидкость вводится перегородка, то в общем на движение накладывается еще одно условие, а именно: что составляющая скорости, нормальная к перегородке, будет равна нулю в каждой ее точке. Но в рассматриваемом нами случае это условие выполняется до того, как присутствие помещенной перегородки не изменит движения.
57. Согласно гипотезам, выдвинутым нами ранее, справедливы следующие равенства
\[
2 \xi=\frac{\partial w}{\partial y}-\frac{\partial v}{\partial z}=0, \quad 2 \eta=\frac{\partial u}{\partial z}-\frac{\partial w}{\partial x}=0, \quad 2 \zeta=\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y},
\]

и уравнение неразрывности приводится к виду
\[
\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0 .
\]

Все вихри параллельны оси $O z$, все вихревые трубки являются цилиндрами с осью $O z$.

Рассмотрим одну из этих трубок в ее движении. Покажем, что ее перпендикулярное сечение остается постоянным.

Действительно, рассмотрим часть жидкости, ограниченную поверхностью вихревой трубки и двумя перпендикулярными сечениями, отдаленными друг от друга на расстояние $h$.

Если обозначим через $\omega$ площадь этого перпендикулярного сечения, то объем жидкости будет иметь вид $h \omega$.

Жидкость является несжимаемой, поэтому этот объем остается постоянным. С другой стороны, вихревая трубка сохраняется неизменной, и объем остается цилиндрическим. Частица, в начальный момент времени находящаяся в перпендикулярном сечении трубки, не покинет его, так как ее скорость расположена в этой плоскости. Таким образом, два сечения, ограничивающие цилиндр, всегда будут находиться на одинаковом расстоянии друг от друга. Поскольку $h \omega$ и $h$ постоянны, следовательно, и $\omega$ постоянна.

В частности, если рассмотрим вихревую трубку бесконечно малого сечения $d \omega$, то ее момент $\mu$ задан через соотношение
\[
\mu=2 d \omega \zeta,
\]

где $d \omega$ должно быть постоянным так же, как $\mu$ и, следовательно, $\zeta$ константа, и
\[
\frac{d \zeta}{d t}=0
\]
$\left(\frac{d \zeta}{d t}\right.$, а не $\frac{\partial \zeta}{\partial t}$, т. к. мы наблюдаем за частицей в движении, т.е. принимаем лагранжевы переменные).
58. Рассматриваемый нами случай был назван Гельмгольцем случаем прямолинейных вихрей:

Предположим, в частности, что имеется вихревая трубка, сечение которой плоскостью $x y$ является окружностью радиуса $R$. Внутри этой окружности $\zeta=$ const, вне ее $-\zeta=0$, и, кроме того, существует функция скоростей. Примем за начало отсчета центр окружности.

Пусть $M$ – некоторая точка (рис. 21). Положим
\[
O M=\rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}} .
\]

В силу симметрии, скорость $V$ точки $M$ перпендикулярна радиус-вектору $O M$. Получим соотношения
\[
u=-V \frac{y}{\rho}, \quad v=V \frac{x}{\rho},
\]

где $V$ зависит только от $\rho$. Возьмем интеграл
Рис. 21
\[
J=\int(u d x+v d y)=\int 2 \zeta d \omega
\]

вдоль окружности, описанной вокруг центра $O$ с радиусом $O M=\rho$. Этот интеграл представляет собой работу силы, представленной вектором скорости $(u, v, w)$, по переносу материальной точки вдоль окружности. Вектор скорости имеет постоянную величину и направлен во всех точках по касательной к окружности, следовательно,
\[
\int(u d x+v d y)=2 \pi \rho V .
\]

Получим другое выражение для.$J$ посредством интеграла $\int 2 \zeta d w$, взятого по всей поверхности окружности $O M$.
Разделяются два случая:
$1^{\circ}$ Точка $M$ находится внутри окружности радиуса $R(\rho<R)$; $\zeta$ является постоянным внутри окружности $\rho$ и
\[
J=2 \pi \zeta \rho^{2}=2 \pi \rho V .
\]
$2^{\circ}$ Точка $M$ находится вне окружности $R(\rho>R) ; \zeta$ снова является постоянным внутри окружности $R$ и равным нулю вне ее. Таким образом, справедливо равенство
\[
J=2 \pi \zeta R^{2}=2 \pi \rho V .
\]

Отсюда выводим, что
если $\rho$ меньше, чем $R$, и
если $\rho$ больше, чем $R$.
\[
\begin{array}{c}
V=\zeta \rho, \\
V=\zeta \frac{R^{2}}{\rho},
\end{array}
\]

В последнем случае отметим, что момент вихревой трубки равен
\[
2 \pi \zeta R^{2}=2 \pi m
\]

где
\[
\begin{array}{c}
m=\zeta R^{2}, \\
V=\frac{m}{\rho} .
\end{array}
\]
\[
\text { тогда } V \text { принимает вид }
\]

Эта формула по-прежнему будет справедливой, если $R$ становится очень маленьким, а $\zeta$ очень большим так, что $m$ остается конечным.
59. Этот результат можно сравнить с тремя другими результатами.
$1^{\circ}$ Электродинамическая аналогия. Выше мы показали, что скорость частицы представлена тем же вектором, что и сила магнитного поля, произведенная, согласно закону Био-Лапласа, током, проходящим через вихревую трубку п. 45.
60. $2^{\circ}$ Аналитическая аналогия. Вне вихревой трубки $\zeta=0$. Согласно этому условию и уравнению неразрывности (2) п. 57,
\[
\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{\partial v}{\partial y} .
\]

Эти уравнения выражают то, что $v+\sqrt{-1} u$ является функцией от $x+y \sqrt{-1}$. В настоящем случае это легко проверить. Действительно,
\[
v+\sqrt{-1} u=m\left(\frac{x}{x^{2}+y^{2}}-\sqrt{-1} \frac{x}{x^{2}+y^{2}}\right)=\frac{m}{x+\sqrt{-1} y} .
\]

Положим
\[
Z=x+\sqrt{-1} y
\]

тогда можем записать
\[
v+\sqrt{-1} u=f(Z)=\frac{m}{Z} .
\]
61. Если имеется несколько вихревых трубок, то плоскость $x y$ пересекает каждую из них по бесконечно малым окружностям, которые можно ассоциировать с точками $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$, совпадающими с их центрами. Пусть $2 \pi m_{1}, 2 \pi m_{2}, \ldots, 2 \pi m_{n}$ – моменты этих трубок. Если $a_{1}^{\prime}, a_{1}^{\prime \prime}, a_{2}^{\prime}, a_{2}^{\prime \prime}, \ldots$ – координаты точек $a_{1}, a_{2}, \ldots$, то эти точки могут быть заданы мнимыми величинами
\[
\begin{array}{l}
a_{1}=a_{1}^{\prime}+\sqrt{-1} a_{1}^{\prime \prime}, \\
a_{2}=a_{2}^{\prime}+\sqrt{-1} a_{2}^{\prime \prime}, \\
\ldots \ldots \ldots \ldots
\end{array}
\]

Для того чтобы получить значение $v+\sqrt{-1} u$, соответствующее первой трубке $a_{1}$, достаточно применить формулу (8) переместив начало отсчета в точку $a_{1}, \ldots$ То же справедливо и для других трубок. Полное значение $v+\sqrt{-1}$ будет суммой полученных таким образом частичных значений
\[
v+\sqrt{-1} u=\frac{m_{1}}{Z-a_{1}}+\frac{m_{2}}{Z-a_{2}}+\ldots+\frac{m_{n}}{Z-a_{n}}=\sum \frac{m_{k}}{Z-a_{k}} .
\]

Это выражение является производной функции
\[
\theta(Z)=\sum m_{k} \log \left(Z-a_{k}\right) .
\]

Пусть $M$ – точка, задаваемая величиной $Z, \rho_{1}$ – расстояние $M a_{1}$ или модуль $Z-a_{1}$. Также $\rho_{2}=M a_{2}, \ldots, \rho_{n}=M a_{n}$. Пусть $\omega_{1}-$ аргумент $Z-a_{1}$, т.е. угол, который образует $M a_{1}$ с осью $O x$, и так далее. В новых обозначениях
\[
\theta(Z)=\sum m_{k} \log \rho_{k}+\sqrt{-1} \sum m_{k} \omega_{k}
\]

или, полагая
\[
\psi=\sum m_{k} \log \rho_{k}
\]

и
\[
\varphi=\sum m_{k} \omega_{k}
\]

получим
\[
\theta(Z)=\psi+\sqrt{-1} \varphi .
\]

Дифференцируя это тождество по $Z$, отметим, что выполняются соотношения
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial Z}{\partial x}=1, \quad \frac{\partial Z}{\partial y}=\sqrt{-1} \\
\theta^{\prime}(Z)=v+\sqrt{-1} u=\frac{\partial \psi}{\partial x}+\sqrt{-1} \frac{\partial \varphi}{\partial x} \\
\theta^{\prime}(Z)=\sqrt{-1} v-u=\frac{\partial \psi}{\partial y}+\sqrt{-1} \frac{\partial \varphi}{\partial y} .
\end{array}
\]

Откуда, отождествляя,
\[
\begin{array}{c}
v=\frac{\partial \psi}{\partial x}, \quad u=-\frac{\partial \psi}{\partial y} \\
u=\frac{\partial \varphi}{\partial x}, \quad v=\frac{\partial \varphi}{\partial y} .
\end{array}
\]

Из соотношений (13) видно, что $\varphi$ является функцией скоростей.
62. $3^{\circ}$ Электростатическая аналогия. Положим, что электрический заряд равномерно распределен по бесконечной прямой. Притяжение некоторой точки к этой наэлектризованной прямой обратно пропорционально расстоянию.

Заменим вихревую трубку равномерным распределением электрического заряда по ее оси. Притяжение точки $M$ будет направлено по нормали, проведенной из точки $M$ к оси.

Скорость была бы представлена тем же вектором, но с измененным на 90 градусов направлением. В случае нескольких трубок, предприняв ту же замену и сложив частичные притяжения, получим скорость, повернутую на 90 градусов.

Этот же результат можно получить, если полагать, что точки $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ действуют на точку $M$ обратно пропорционально расстоянию.

Если рассмотрим распределенные некоторым образом вихревые трубки, удаленные от точки $M$ на бесконечно большое расстояние первого порядка, то притяжение (или скорость) будет бесконечно малой первого порядка.
63. Кривые $\varphi=$ const, на которых аргумент $e^{\theta(Z)}$ постоянен, в каждой их точке перпендикулярны вектору скорости. Действительно, для этих кривых справедливо равенство
\[
d \varphi=u d x+v d y=0 .
\]

Кривые $\psi=$ const, вдоль которых вещественная часть функции $\theta(Z)$ или модуль $e^{\theta(Z)}$ постоянны, являются линиями тока. Действительно, вдоль этих кривых имеем соотношения
\[
u d x-v d y=0
\]

или
\[
\frac{d x}{u}=\frac{d y}{v} .
\]

В электродинамике уравнения $\varphi=$ const представляют эквипотенциальные линии, а уравнения $\psi=$ const – силовые линии. В этом заключается основное отличие электродинамики от электростатики.
Эти две системы кривых пересекаются под прямым углом.
64. Частный случай двух вихревых трубок. Если имеется только две вихревые тубки $a_{1}$ и $a_{2}$, то функция $\theta(Z)$ включает только два члена
\[
\theta(Z)=m_{1} \log \left(Z-a_{1}\right)+m_{2} \log \left(Z-a_{2}\right) .
\]

Уравнение линий тока примет вид
\[
m_{1} \log \rho_{1}+m_{2} \log \rho_{2}=\text { const. }
\]

Если $m_{1}=m_{2}$, то уравнение становится следующим
\[
\rho_{1} \rho_{2}=\text { const. }
\]

Линии тока являются овалами Кассини.
Если $m_{1}=-m_{2}$, то линии тока, представленные уравнением
\[
\frac{\rho_{1}}{\rho_{2}}=\mathrm{const}
\]

являются окружностями, по отношению к которым точки $a_{1}$ и $a_{2}$ сопряжены.