Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
143. До сих пор мы изучали лишь движение бесконечных жидкостей или жидкостей, полностью заполняющих сосуд, в который они помещены. Теперь же рассмотрим случай, для которого жидкость не заполняет сосуд полностью, а имеет свободную поверхность при соприкосновении с другой жидкостью. Представим, что частицы описывают окружности, центр которых находится на оси $z$ и плоскость которых перпендикулярна этой оси. Если такое движение возможно, то оно обязательно будет стационарным (перманентным). Если давление и плотность одинаковы по всей длине окружности, то уравнение непрерывности заведомо выполняется. В каждый момент времени система вращается вокруг оси $O z$ и скорость частицы $M$ (рис. 40) направлена по касательной к окружности $C$ и имеет одинаковую величину для всех точек этой окружности. Возьмем на плоскости $Z O M$ некоторый малый элемент поверхности: вращаясь вокруг $O z$, этот элемент порождает также некоторую малую поверхность. Жидкость, ограниченная этой поверхностью, также вращается вокруг оси $O z$, не изменяя объема. Рис. 40 Согласно предположениям, давление $p$ и плотность $\rho$ являются функциями лишь от $r$ и от $z$. Следовательно, справедливы неравенства: Значение выражения также будет являться функцией только от $r$ и от $z$. Если сила тяжести является единственной внешней силой, которая действует на жидкость (при этом ось $z$ вертикальна), то как нами было установлено (п. 4): Функция $\psi$ существует при условии, что $\rho$ является функцией лишь от $p$. Оно выполнено, если жидкость представляет собой однородную жидкость или газ, который подвергается изотермическому или адиабатическому изменению. В лагранжевых обозначениях составляющие ускорения выражаются следующим образом: направленному по $M P$. Его составляющие равны: Кроме того, и, следовательно, Таким образом, необходимо, чтобы функция $\psi$ зависела только от $r$, что справедливо также для $\frac{\partial \psi}{\partial r}$ и для $T$. Скорость не зависит от $z$ и вихревые трубки являются круговыми цилиндрами с осью $O z$. где $\alpha$ — постоянная. Учитывая уравнения (2), получаем соотношение и, интегрируя, приходим к следующему выражению: Следовательно, Мы снова получим уравнение Бернулли, что легко было предвидеть. Действительно, результаты пп. 24-25 применимы, когда существует функция скорости, в частности, если вихрь равен нулю или скорость изменяется в отношении $\frac{1}{r}$. Для вихревой трубки с осью $O z$ вихрь вне трубки равен нулю и условия теоремы также выполнены. Таким образом, что и следовало ожидать. взятым вдоль дуги кривой. Мы доказали, что справедливо равенство: где $d \psi+d T$ — полный дифференциал, а производная $\frac{d J}{d t}$ равняется нулю, когда кривая интегрирования замкнута. или даже если кривая интегрирования не замкнута. Действительно, допустим, что жидкость равномерно вращается вокруг оси $O z$. Кривая интегрирования также вращается вокруг оси $O z$ не деформируясь. Проведем из точки $M$ (рис. 41) вектор $M V$, представляющий собой скорость. Если считать этот вектор силой, то интеграл $J$ является работой, которую производила бы эта сила, когда точка пробегает по кривой интегрирования $A B$. Если кривая, вращаясь вокруг $O z$, принимает положение $A^{\prime} B^{\prime}$, то вектор $M^{\prime} V^{\prime}$ сохраняет ту же величину и то же положение относительно $A^{\prime} B^{\prime}$. Действительно, $M^{\prime} V^{\prime}$ получается из $M V$ при поворо- Следовательно, когда точка $M^{\prime}$ пробегает кривую $A^{\prime} B^{\prime}$, то работа $J$ силы $M^{\prime} V^{\prime}$ является такой же, как работа силы $M V$, когда точка $M$ пробегает кривую $A B$. Примем за ось $z$ вертикальную прямую, считая $z$ направленной вверх. При этих условиях Если жидкость однородна, то Если речь идет о газе, температура которого постоянна, то плотность $\rho$ пропорциональна давлению. Обозначая через $\beta$ постоянную, получим следующее равенство: Наконец, для газа, который подвергается адиабатическим преобразованиям, где $\gamma=\frac{c}{C}$ — отношение удельной теплоты при постоянном объеме $c$ к удельной теплоте при постоянном давлении $C$. Таким образом, справедливо равенство: 146′. Пусть имеется однородная жидкость, свободная поверхность которой находится под давлением атмосферы. Если через $p$ обозначим избыток действительного давления по отношению к атмосферному давлению, то в уравнении (5) необходимо положить что приводит к где $\psi$ — функция от $r$, а это и есть уравнение свободной поверхности жидкости. Предположим, что существует только одна вихревая трубка, имеющая форму кругового цилиндра с осью $O z$. Вихрь постоянен внутри этого цилиндра и равен нулю снаружи. При этом цилиндр будет иметь равномерное вращательное движение. Пусть $r_{0}$ — радиус цилиндра. Внутри его поверхности, т.е. при $r<r_{0}$, скорость пропорциональна $r$ и Снаружи, при $r>r_{0}$, имеется функция скоростей и Эти два выражения для $T$ должны иметь одинаковое значение на поверхности цилиндра, т.е. при $r=r_{0}$. Следовательно, откуда При помощи этих соотношений вычислим значения $\psi$. поэтому а снаружи значит, Эти формулы должны привести к одному значению $\psi$, при $r=r_{0}$. Таким образом, что задает соотношение между постоянными $C$ и $C^{\prime}$. а также Таким образом, свободная поверхность жидкости может рассматриваться как асимптотическая плоскость. Именно эта плоскость выбрана в качестве $x y$, она является уровнем жидкости, расположенным Первое уравнение представляет собой параболоид: внутри трубки меридианным сечением свободной поверхности будет маленькая дуга параболы. Второе уравнение представляет собой поверхность, меридианное сечение которой образуется двумя асимптотическими ветвями к оси $r$ (рис. 42). Две кривые соединяются на сечении вихревой трубки. Отметим, что $z$ всегда отрицательна. Поэтому свободная поверхность целиком расположена ниже плоскости $x y$. Это обстоятельство не зависит от частных гипотез, которые введены нами ранее. Это — общий случай, что мы сейчас и покажем. Действительно, функция $\psi$ равна нулю при $r=\infty$. Следовательно, справедливо равенство Поскольку $T$ и $r$ обязательно положительны, то это будет выполняться и для $\psi$. Следовательно, $z$, согласно уравнению (8), будет отрицательной. Этот результат не соответствует наблюдениям. Действительно, все, кто имел возможность наблюдать смерчи, утверждают, что жидкость, наоборот, поднимается к центру вихря так, что она образует нечто вроде утолщения под свободной поверхностью. Это разногласие между вычислениями и наблюдениями, вероятно, частично связано с тем, что в нашем вычислении мы предполагали равномерное распределение давления на поверхность жидкости. Это условие, по-видимому, не выполняется в случае со смерчем. Однако сомнительно, чтобы эта гипотеза имела достаточно большое влияние на результат вычислений и устранила отмеченную нами трудность. Значение $\psi$ становится равным нулю на бесконечности. Пусть $p_{0}-$ соответствующее значение $p$, тогда: и Второй член является отрицательным, поскольку $\psi$ всегда положительно, как мы только что показали. Следовательно, отношение $\frac{p}{p_{0}}$ меньше единицы, и, значит, внутри вихря имеется область пониженного давления. Если газ подвергается адиабатическому изменению, то лучше воспользоваться формулой (7). В плоскости $z=z_{0}$ давление $p$ будет иметь выражение: На бесконечности $\psi$ равно нулю, а $p=p_{0}$, следовательно, имеется равенство которое влечет Величины $\beta, 1-\gamma, \psi$ положительны, что приводит к неравенству или Это еще раз подтверждает, что внутри вихря существует область пониженного давления. На поверхности раздела $z_{1}=z_{2}$ давления должны быть равными $p_{1}=p_{2}$. Однако о функциях $\psi_{1}$ и $\psi_{2}$ известно лишь то, что их производные $\frac{d \psi_{1}}{d r}$ и $\frac{d \psi_{2}}{d r}$ должны иметь одинаковое значение. Из условия можно вывести, что или Следовательно, давление является постоянным на поверхности раздела, и эта поверхность будет иметь ту же форму, что и свободная поверхность.
|
1 |
Оглавление
|