143. До сих пор мы изучали лишь движение бесконечных жидкостей или жидкостей, полностью заполняющих сосуд, в который они помещены. Теперь же рассмотрим случай, для которого жидкость не заполняет сосуд полностью, а имеет свободную поверхность при соприкосновении с другой жидкостью.

Представим, что частицы описывают окружности, центр которых находится на оси $z$ и плоскость которых перпендикулярна этой оси. Если такое движение возможно, то оно обязательно будет стационарным (перманентным).

Если давление и плотность одинаковы по всей длине окружности, то уравнение непрерывности заведомо выполняется. В каждый момент времени система вращается вокруг оси $O z$ и скорость частицы $M$ (рис. 40) направлена по касательной к окружности $C$ и имеет одинаковую величину для всех точек этой окружности.

Возьмем на плоскости $Z O M$ некоторый малый элемент поверхности: вращаясь вокруг $O z$, этот элемент порождает также некоторую малую поверхность. Жидкость, ограниченная этой поверхностью, также вращается вокруг оси $O z$, не изменяя объема.
Положим:
\[
M P=r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} .
\]

Рис. 40

Согласно предположениям, давление $p$ и плотность $\rho$ являются функциями лишь от $r$ и от $z$. Следовательно, справедливы неравенства:
\[
w=0, \quad u x+v y=0 .
\]

Значение выражения
\[
T=\frac{u^{2}+v^{2}}{2}
\]

также будет являться функцией только от $r$ и от $z$.

Если сила тяжести является единственной внешней силой, которая действует на жидкость (при этом ось $z$ вертикальна), то как нами было установлено (п. 4):
\[
V=g z, \quad \psi=-\int \frac{d p}{\rho}+V .
\]

Функция $\psi$ существует при условии, что $\rho$ является функцией лишь от $p$. Оно выполнено, если жидкость представляет собой однородную жидкость или газ, который подвергается изотермическому или адиабатическому изменению.

В лагранжевых обозначениях составляющие ускорения выражаются следующим образом:
\[
\frac{\partial \psi}{\partial x}=\frac{d u}{d t}, \quad \frac{\partial \psi}{\partial y}=\frac{d v}{d t}, \quad \frac{\partial \psi}{\partial z}=\frac{d w}{d t} .
\]
(См. п. 4).
С другой стороны, ускорение частицы жидкости, двигающейся равномерно по окружности, сводится к нормальному ускорению:
\[
\frac{u^{2}+v^{2}}{r}=\frac{2 T}{r},
\]

направленному по $M P$. Его составляющие равны:
\[
-\frac{2 T}{r} \frac{x}{r}, \quad-\frac{2 T}{r} \frac{y}{r}, \quad 0 .
\]

Кроме того,
\[
\frac{\partial \psi}{\partial x}=\frac{\partial \psi}{\partial r} \frac{d r}{d x}
\]

и, следовательно,
\[
\frac{\partial \psi}{\partial r}=-\frac{2 T}{r}, \quad \frac{\partial \psi}{\partial z}=0 .
\]

Таким образом, необходимо, чтобы функция $\psi$ зависела только от $r$, что справедливо также для $\frac{\partial \psi}{\partial r}$ и для $T$. Скорость не зависит от $z$ и вихревые трубки являются круговыми цилиндрами с осью $O z$.
144. Простые частные случаи. Рассмотрим сначала простые частные случаи.
$1^{\circ}$. Скорость обратно пропорциональна расстоянию $r$. Тогда $T$ обратно пропорциональна $r^{2}$,
\[
T=\frac{\alpha}{r^{2}},
\]

где $\alpha$ – постоянная.

Учитывая уравнения (2), получаем соотношение
\[
\frac{d \psi}{d r}=-\frac{2 \alpha}{r^{3}}
\]

и, интегрируя, приходим к следующему выражению:
\[
\psi=\frac{\alpha}{r^{2}}+C=T+C
\]

Следовательно,
\[
\psi-T=\text { const. }
\]

Мы снова получим уравнение Бернулли, что легко было предвидеть. Действительно, результаты пп. 24-25 применимы, когда существует функция скорости, в частности, если вихрь равен нулю или скорость изменяется в отношении $\frac{1}{r}$. Для вихревой трубки с осью $O z$ вихрь вне трубки равен нулю и условия теоремы также выполнены.
145. $2^{\circ}$. Скорость пропорциональна расстоянию, иначе говоря, жидкость вращается вокруг оси $z$ с постоянной угловой скоростью, т.е. двигается подобно твердому телу. Очевидно, имеются следующие соотношения:
\[
T=\alpha r^{2}, \quad \frac{d \psi}{d r}=-2 \alpha r, \quad \psi=-\alpha r^{2}+\text { const. }
\]

Таким образом,
\[
\psi+T=\text { const }
\]

что и следовало ожидать.
Действительно, вспомним, что в п. 5 мы ввели интеграл
\[
J=\int u d x+v d y+w d z,
\]

взятым вдоль дуги кривой. Мы доказали, что справедливо равенство:
\[
\frac{d J}{d t}=\int(d \psi+d T)
\]

где $d \psi+d T$ – полный дифференциал, а производная $\frac{d J}{d t}$ равняется нулю, когда кривая интегрирования замкнута.
В рассматриваемом случае согласно уравнению (4):
\[
\psi+T=\text { const }
\]

или
\[
\frac{d J}{d t}=0,
\]

даже если кривая интегрирования не замкнута.

Действительно, допустим, что жидкость равномерно вращается вокруг оси $O z$. Кривая интегрирования также вращается вокруг оси $O z$ не деформируясь. Проведем из точки $M$ (рис. 41) вектор $M V$, представляющий собой скорость. Если считать этот вектор силой, то интеграл $J$ является работой, которую производила бы эта сила, когда точка пробегает по кривой интегрирования $A B$. Если кривая, вращаясь вокруг $O z$, принимает положение $A^{\prime} B^{\prime}$, то вектор $M^{\prime} V^{\prime}$ сохраняет ту же величину и то же положение относительно $A^{\prime} B^{\prime}$. Действительно, $M^{\prime} V^{\prime}$ получается из $M V$ при поворо-
Рис. 41 те вокруг оси $O z$, переводящим точку $M$ в точку $M^{\prime}$.

Следовательно, когда точка $M^{\prime}$ пробегает кривую $A^{\prime} B^{\prime}$, то работа $J$ силы $M^{\prime} V^{\prime}$ является такой же, как работа силы $M V$, когда точка $M$ пробегает кривую $A B$.
146. Форма свободной поверхности. Предположим, что единственной внешней силой, которая действует на жидкость, является сила тяжести.

Примем за ось $z$ вертикальную прямую, считая $z$ направленной вверх. При этих условиях
\[
V=-g z, \quad \psi=-g z-\int \frac{d p}{\rho} .
\]

Если жидкость однородна, то
и
\[
p=\text { const }
\]
\[
\psi=-g z-\frac{p}{\rho} .
\]

Если речь идет о газе, температура которого постоянна, то плотность $\rho$ пропорциональна давлению. Обозначая через $\beta$ постоянную, получим следующее равенство:
\[
\begin{array}{c}
\rho=\beta p, \\
\psi=-g z-\frac{1}{\beta} \ln p .
\end{array}
\]

Наконец, для газа, который подвергается адиабатическим преобразованиям,
\[
\rho=\beta p \gamma,
\]

где $\gamma=\frac{c}{C}$ – отношение удельной теплоты при постоянном объеме $c$ к удельной теплоте при постоянном давлении $C$. Таким образом, справедливо равенство:
\[
\psi=-g z-\frac{1}{\beta(1-\gamma)} p^{1-\gamma} .
\]

146′. Пусть имеется однородная жидкость, свободная поверхность которой находится под давлением атмосферы. Если через $p$ обозначим избыток действительного давления по отношению к атмосферному давлению, то в уравнении (5) необходимо положить
\[
p=0,
\]

что приводит к
\[
\psi=-g z,
\]

где $\psi$ – функция от $r$, а это и есть уравнение свободной поверхности жидкости.

Предположим, что существует только одна вихревая трубка, имеющая форму кругового цилиндра с осью $O z$. Вихрь постоянен внутри этого цилиндра и равен нулю снаружи. При этом цилиндр будет иметь равномерное вращательное движение.

Пусть $r_{0}$ – радиус цилиндра. Внутри его поверхности, т.е. при $r<r_{0}$, скорость пропорциональна $r$ и
\[
T=\alpha r^{2} .
\]

Снаружи, при $r>r_{0}$, имеется функция скоростей и
\[
T=\frac{\alpha^{\prime}}{r^{2}} .
\]

Эти два выражения для $T$ должны иметь одинаковое значение на поверхности цилиндра, т.е. при $r=r_{0}$. Следовательно,
\[
\alpha r_{0}^{2}=\frac{\alpha^{\prime}}{r_{0}^{2}}
\]

откуда
\[
\alpha=\alpha r_{0}^{4} .
\]

При помощи этих соотношений вычислим значения $\psi$.
Внутри цилиндра, как известно,
\[
\psi+T=\text { const },
\]

поэтому
\[
\psi=-\alpha r^{2}+C ;
\]

а снаружи
\[
\psi-T=\text { const },
\]

значит,
\[
\psi=\frac{\alpha r_{0}^{4}}{r^{2}}+C^{\prime} .
\]

Эти формулы должны привести к одному значению $\psi$, при $r=r_{0}$. Таким образом,
\[
-\alpha r_{0}^{2}+C=\frac{\alpha r_{0}^{4}}{r^{2}}+C^{\prime}
\]

что задает соотношение между постоянными $C$ и $C^{\prime}$.
Постоянную $C^{\prime}$ можно считать произвольной. Изменить ее значение – все равно, что переместить плоскость $x y$ параллельно самой себе, это приведет к тому, что к $z$, а следовательно, и к $\psi$, просто добавится постоянная. Пусть $C^{\prime}=0$. При этом выборе для $r=\infty$ имеем
\[
\psi=0
\]

а также
\[
z=0 .
\]

Таким образом, свободная поверхность жидкости может рассматриваться как асимптотическая плоскость. Именно эта плоскость выбрана в качестве $x y$, она является уровнем жидкости, расположенным
Рис. 42
на очень большом расстоянии от оси.
Следовательно, уравнение свободной поверхности относительно к оси вращения и асимптотической плоскости будет иметь вид:
$1^{\circ}$ внутри вихревой трубки
\[
g z=-\alpha\left(r^{2}-r_{0}^{2}\right) ;
\]
$2^{\circ}$ вне этой трубки
\[
g z=-\frac{\alpha r_{0}^{4}}{r^{2}} .
\]

Первое уравнение представляет собой параболоид: внутри трубки меридианным сечением свободной поверхности будет маленькая дуга параболы.

Второе уравнение представляет собой поверхность, меридианное сечение которой образуется двумя асимптотическими ветвями к оси $r$ (рис. 42). Две кривые соединяются на сечении вихревой трубки.

Отметим, что $z$ всегда отрицательна. Поэтому свободная поверхность целиком расположена ниже плоскости $x y$.

Это обстоятельство не зависит от частных гипотез, которые введены нами ранее. Это – общий случай, что мы сейчас и покажем.

Действительно, функция $\psi$ равна нулю при $r=\infty$. Следовательно, справедливо равенство
\[
\psi=\int_{+\infty}^{r}-2 T \frac{d r}{r}=\int_{r}^{+\infty} 2 T \frac{d r}{r} .
\]

Поскольку $T$ и $r$ обязательно положительны, то это будет выполняться и для $\psi$. Следовательно, $z$, согласно уравнению (8), будет отрицательной.

Этот результат не соответствует наблюдениям. Действительно, все, кто имел возможность наблюдать смерчи, утверждают, что жидкость, наоборот, поднимается к центру вихря так, что она образует нечто вроде утолщения под свободной поверхностью. Это разногласие между вычислениями и наблюдениями, вероятно, частично связано с тем, что в нашем вычислении мы предполагали равномерное распределение давления на поверхность жидкости. Это условие, по-видимому, не выполняется в случае со смерчем. Однако сомнительно, чтобы эта гипотеза имела достаточно большое влияние на результат вычислений и устранила отмеченную нами трудность.
147. Распределение давления в газе. Если движущаяся среда является газом, то мы можем определить его состояние, предполагая, что давление $p$ меняется в плоскости, параллельной плоскости $x y$. Если газ сохраняет постоянную температуру, то необходимо воспользоваться формулой (6), и тогда в плоскости $z=z_{0}$ имеем
\[
\ln p=-\beta g z_{0}-\beta \psi \text {. }
\]

Значение $\psi$ становится равным нулю на бесконечности. Пусть $p_{0}-$ соответствующее значение $p$, тогда:
\[
\ln p_{0}=-\beta g z_{0}
\]

и
\[
\ln \frac{p}{p_{0}}=-\beta \psi \text {. }
\]

Второй член является отрицательным, поскольку $\psi$ всегда положительно, как мы только что показали. Следовательно, отношение $\frac{p}{p_{0}}$ меньше единицы, и, значит, внутри вихря имеется область пониженного давления.

Если газ подвергается адиабатическому изменению, то лучше воспользоваться формулой (7). В плоскости $z=z_{0}$ давление $p$ будет иметь

выражение:
\[
p^{1-\gamma}=-\beta(1-\gamma) z_{0}-\beta(1-\gamma) \psi .
\]

На бесконечности $\psi$ равно нулю, а $p=p_{0}$, следовательно, имеется равенство

которое влечет
\[
p_{0}^{1-\gamma}=-\beta(1-\gamma) z_{0},
\]
\[
p^{1-\gamma}-p_{0}^{1-\gamma}=-\beta(1-\gamma) \psi \text {. }
\]

Величины $\beta, 1-\gamma, \psi$ положительны, что приводит к неравенству
\[
p^{1-\gamma}-p_{0}^{1-\gamma}<0
\]

или
\[
p<p_{0} .
\]

Это еще раз подтверждает, что внутри вихря существует область пониженного давления.
148. Случай нескольких несмешиваемых жидкостей. Форма поверхностей раздела. Предположим, что имеются только две жидкости. Пусть $\rho_{1}$ и $p_{1}$ – плотность и давление первой жидкости, а $\rho_{2}$ и $p_{2}$ – плотность и давление второй жидкости, и пусть $\psi_{1}$ и $\psi_{2}$ функции $\psi$ этих двух жидкостей:
\[
\begin{array}{l}
\psi_{1}=-g z_{1}-\frac{p_{1}}{\rho_{1}}, \\
\psi_{2}=-g z_{2}-\frac{p_{2}}{\rho_{2}} .
\end{array}
\]

На поверхности раздела $z_{1}=z_{2}$ давления должны быть равными $p_{1}=p_{2}$. Однако о функциях $\psi_{1}$ и $\psi_{2}$ известно лишь то, что их производные $\frac{d \psi_{1}}{d r}$ и $\frac{d \psi_{2}}{d r}$ должны иметь одинаковое значение. Из условия
\[
\frac{d \psi_{1}}{d r}=\frac{d \psi_{2}}{d r}
\]

можно вывести, что
\[
\psi_{1}-\psi_{2}=\text { const }
\]

или
\[
\left(\frac{1}{\rho_{1}}-\frac{1}{\rho_{2}}\right) p=\text { const. }
\]

Следовательно, давление является постоянным на поверхности раздела, и эта поверхность будет иметь ту же форму, что и свободная поверхность.