149. Гипотезы. Обозначения. Когда речь идет о вязкой жидкости, т.е. о жидкости, частицы которой при движении обладают трением друг относительно друга, соприкасаясь друг с другом, то силовой функции уже не существует. Действительно, сила трения зависит от скорости и теорема Гельмгольца, доказанная нами выше, больше не применима.

Пока мы не рассматривали этот случай и приступить к вычислению можно, лишь опираясь на некоторые более или менее вероятные гипотезы, являющиеся, однако, общепринятыми.

Прежде всего допускается, что сила, вызванная вязкостью, имеет следующие составляющие ${ }^{1}$
\[
K \Delta u, \quad K \Delta v, \quad K \Delta w,
\]

где $K$ в системе лагранжевых переменных является постоянной.
Далее допускается, что на поверхности сосуда жидкость находится в состоянии покоя, иначе говоря, справедливо равенство:
\[
u=v=w=0 .
\]

Наконец, допускается, что на элемент $d w$ этой поверхности действуют внешние силы, составляющие которых равны
\[
K \frac{d u}{d n} d \omega, \quad K \frac{d v}{d n} d \omega, \quad K \frac{d w}{d n} d \omega .
\]

Предположим, что внешние силы, действующие на жидкость, допускают силовую функцию $V$. Если внести в уравнения Лагранжа силу
${ }^{1}$ Имеется в виду обычное линейное вязкое трение. — Прим. ред.

вязкости, то эти уравнения примут следующий вид ${ }^{1}$
\[
\begin{array}{l}
\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x}=-\frac{d u}{d t}+\frac{\partial V}{\partial x}+K \Delta u \\
\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial y}=-\frac{d v}{d t}+\frac{\partial V}{\partial y}+K \Delta v \\
\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial z}=-\frac{d w}{d t}+\frac{\partial V}{\partial z}+K \Delta w .
\end{array}
\]

Когда элемент объема $d \tau$ жидкости подвергается смещению, проекции которого представлены отрезками $d x, d y, d z$, то работа, осуществляемая силами, допускающими функцию $V$, будет представлять собой
\[
\rho d \tau d V,
\]

и, добавляя сюда работу силы вязкости, получаем реальную работу
\[
d \mathfrak{S}=\rho d \tau[d V+K(\Delta u d x+\Delta v d y+\Delta w d z)] .
\]

Будем также полагать
\[
d \mathfrak{S}=\rho d \tau d V^{\prime},
\]

где
\[
d V^{\prime}=d V+K(\Delta u d x-\Delta v d y+\Delta w d z) .
\]

Однако здесь необходимо отметить, что это обозначение $d V^{\prime}$ имеет лишь чисто символический смысл, поскольку $d V^{\prime}$ не является больше полным дифференциалом.
Далее запишем следующее выражение
\[
d \psi=d V^{\prime}-\frac{d p}{\rho}
\]

и подставим уравнения (1) в упрощенном виде, аналогичном тому, который мы рассмотрели в п. 4:
\[
\frac{\partial \psi}{\partial x}=\frac{d u}{d t}, \quad \frac{\partial \psi}{\partial y}=\frac{d v}{d t}, \quad \frac{\partial \psi}{\partial z}=\frac{d w}{d t} .
\]
${ }^{1}$ Они носят название уравнений Навье-Стокса. — Прим. ред.

Отметим, как было сказано выше, что речь идет только о символах: $d \psi$ не является больше полным дифференциалом, а определяется соотношением (3). $\frac{\partial \psi}{\partial x}, \frac{\partial \psi}{\partial y}, \frac{\partial \psi}{\partial z}$ являются не производными одной и той же функции $\psi(x, y, z)$, а представляют собой лишь коэффициенты $d x, d y, d z$ в выражении для $d \psi$.
150. Теорема Гельмгольца (п. 5-6) выражается через соотношение
\[
\frac{d J}{d t}=\int_{C}(d \psi+d T)=0
\]

Интеграл, взятый по замкнутой кривой, равен нулю, когда $d \psi+$ $+d T$ является полным дифференциалом, т. е. когда речь идет о невязкой жидкости.

Но если не пренебрегать вязкостью, то $d \psi+d T$ больше не будет полным дифференциалом. Тогда, согласно соотношениям (2) и (3), получаем
\[
\frac{d J}{d t}=\int\left(d V-\frac{d p}{\rho}+d T\right)+K \int(\Delta u d x+\Delta v d y+\Delta w d z) .
\]

Первый интеграл, взятый по замкнутому контуру, равен нулю по теореме Гельмгольца (6). Следовательно, остается
\[
\frac{d J}{d t}=K \int(\Delta u d x+\Delta v d y+\Delta w d z)
\]

Проведем через контур интегрирования $C$ некоторую поверхность. Кривая $C$ ограничивает площадь $A$. Пусть $l, m, n$ — направляющие косинусы нормали к элементу $d \omega$ площади $A$. С помощью теоремы Стокса (8) мы нашли, что
\[
J=2 \int(l \xi+m \eta+n \zeta) d \omega
\]

где интеграл взят по всем элементам $d \omega$ площади $A$, а $\xi, \eta, \zeta$ определены через соотношения (1) п. 9.

Преобразуем интеграл (7) с помощью той же теоремы:
\[
\begin{array}{c}
\int \Delta u d x+\Delta v d y+\Delta w d z= \\
=\int d \omega\left[l\left(\frac{d \Delta w}{d y}-\frac{d \Delta v}{d z}\right)+m\left(\frac{d \Delta u}{d z}-\frac{d \Delta w}{d x}\right)+n\left(\frac{d \Delta v}{d x}-\frac{d \Delta u}{d y}\right)\right] .
\end{array}
\]

Отметим, что порядок дифференцирования можно изменить и записать
\[
\begin{array}{c}
\frac{d \Delta w}{d y}=\Delta \frac{d w}{d y}, \\
\frac{d \Delta v}{d z}=\Delta \frac{d v}{d z}
\end{array}
\]

и, вычитая одно их другого, получим
\[
\frac{d \Delta w}{d y}-\frac{d \Delta v}{d z}=\Delta\left(\frac{d w}{d y}-\frac{d v}{d z}\right)=2 \Delta \xi .
\]

Наконец, преобразовывая аналогично другие члены, придем к формуле
\[
\frac{d J}{d t}=2 K \int(l \Delta \xi+m \Delta \eta+n \Delta \zeta) d \omega .
\]
151. Условия, необходимые для применимости теоремы Гельмгольца. Было доказано в п. 14, что, согласно теореме Гельмгольца, поверхности вихрей, а значит, и вихревые линии сохраняются при движении жидкости, если пренебречь силами вязкости и трения. Если же принять во внимание последние силы, то наш результат более не будет справедливым в общем случае. Теорема будет снова правильной только при особых условиях, которые мы сейчас и рассмотрим.
Теорема Гельмгольца (п. 6) следует из равенства
\[
\frac{d J}{d t}=\mathbf{0} .
\]

Вдоль кривой, проведенной на вихревой поверхности, интеграл
\[
J=0,
\]

поскольку по всей длине этой кривой вихрь касателен к поверхности.

Для того чтобы $\frac{d J}{d t}$ оставалось равным нулю при введении силы вязкости, необходимо, чтобы выполнялось условие:
\[
l \Delta \xi+m \Delta \eta+n \Delta \zeta=0,
\]

согласно уравнению (7).
Это соотношение показывает, что вектор $(\Delta \xi, \Delta \eta, \Delta \zeta)$ должен находиться в плоскости элемента $d \omega$. Если он является касательным к поверхности $J=0$ за время $d t$, то мы также получаем $J=0$. Поскольку $\frac{d J}{d t}=0$, то вихревая поверхность не должна изменяться. Если мы хотим, чтобы вихревые линии сохранились, то необходимо, чтобы некоторый элемент этих линий вектора ( $\Delta \xi, \Delta \eta, \Delta \zeta)$ постоянно оставался касательным к вихревому вектору. Для этого необходимо, чтобы плоскость элемента $d \omega$ содержала сразу два введенных вектора, и поскольку это должно иметь место для каждого элемента $d \omega$, проходящего через вихрь, то необходимо, чтобы эти два вектора ${ }^{1}$ совпадали по направлению, другими словами, чтобы выполнялось равенство
\[
\frac{\Delta \xi}{\xi}-\frac{\Delta \eta}{\eta}-\frac{\Delta \zeta}{\zeta} .
\]

В общем случае это условие не выполнено и вихревые линии не сохраняются.
152. В частном случае, когда существует функция скоростей, а вихрь равен нулю, т.е. справедливо равенство:
\[
\xi=\eta=\zeta=0
\]

и все $\Delta \xi, \Delta \eta, \Delta \zeta$ тождественно равны нулю. Для некоторой кривой можно записать
\[
J=0, \quad \frac{d J}{d t}=0 .
\]

Следовательно, функция скорости будет существовать в любой момент времени.

Это следствие наших доказательств, кажется, противоречит предположениям, на которых они основываются.
${ }^{1}$ Вектор вихря $(\xi, \eta, \zeta)$ и вектор $(\Delta \xi, \Delta \eta, \Delta \zeta)$. Прим. ред.

153. Частные случаи, где вихревые линии сохраняются. Предположим, что в бесконечной жидкости вихревые линии являются прямыми, параллельными оси $z, \zeta$ и $\eta$ равны нулю так же, как и $\Delta \xi$ и $\Delta \eta$. Однако $\zeta$ и $\Delta \zeta$ отличны от нуля. Условия (9) выполняются и вихревые линии сохраняются. При этом для того чтобы это доказать, воспользуемся симметрией.

Действительно, рассмотрим некоторую плоскость, параллельную плоскости $x y$. Эта плоскость является плоскостью симметрии, вне зависимости от трения. Если в начальный момент движения линии тока являются плоскими и расположены в плоскостях, параллельных плоскости $x y$, то они всегда остаются в этих плоскостях на основании симметрии, независимо от трения.

Однако при данных условиях $\zeta$ не сохраняет больше своего значения, а $\frac{d J}{d t}$ не равняется нулю.

Действительно, примем за контур интегрирования перпендикулярное сечение вихревой трубки. В соответствии с этим выбором необходимо учесть, что справедливы равенсгва
\[
l=m=0, \quad n=1,
\]

отсюда получаем
\[
\begin{array}{c}
J=2 \int \zeta d \omega, \\
\frac{d J}{d t}=-2 K \int \Delta \zeta d \omega .
\end{array}
\]

Площадь сечения трубки $d \omega$ является постоянной. Действительно, объем, ограниченный этой трубкой и двумя плоскостями $z=z_{1}$ и $z=$ $=z_{2}$, постоянен, согласно уравнению непрерывности. Этот объем равен
\[
\left(z_{1}-z_{2}\right) d \omega,
\]

где $z_{1}$ и $z_{2}$ остаются постоянными, так как скорость всегда параллельна плоскости $x y$. Следовательно, $d \omega$ также постоянна.
Продифференцируем уравнение (9) по $t$, в результате получим
\[
\frac{d J}{d t}=2 \int \frac{d \zeta}{d t} d \omega
\]

Сравним эти два выражения для $\frac{d J}{d t}$. Поскольку интегралы взяты на одной и той же площади, то необходимо, чтобы
\[
\frac{d \zeta}{d t}=K \Delta \zeta .
\]

При этом производная $\frac{d \zeta}{d t}$ вычислена по лагранжевым переменным, то есть при наблюдении за частицей при ее движении.

Это уравнение (13) аналогично тому, которое определяет распределение тепла через проводимость ${ }^{1}$. Только в последней задаче частицы обычно рассматриваются как неподвижные. Здесь же, напротив, $\zeta$ изменяется как температура жидкости, как если бы она имела то же самое движение и если бы $К$ был коэффициентом проводимости. Однако при этих условиях происходила бы конвекция, приводящая к потере теплоты.
154. Обобщение основных теорем. Ранее мы доказали (п. 65 и далее, п. 113 и далее) несколько теорем, применимых к жидкостям, в которых отсутствует трение. Некоторые из них останутся справедливыми при наличии вязкости.

Действительно, пусть существует бесконечная жидкость, в которой вихревые трубки представляют собой цилиндры, параллельные оси $\mathrm{Oz}$.

Мы видели (п.126), что если рассматривать $\zeta$ как плотность притягивающей материи, распространенной на плоскости $x y$, то полная масса $M=\int \zeta d \omega$ этой мнимой материи будет постоянной (т. к. интеграл взят по всем элементам $d \omega$ плоскости $x y$ ).

Определенная таким образом масса также является постоянной, если в жидкости имеется трение.
Действительно, продифференцируем
\[
M=\int \zeta d \omega
\]

по $t$, отмечая при этом, что элемент $d \omega$ постоянен. В результате получим
\[
\frac{d M}{d t}=\int \frac{d \zeta}{d t} d \omega=K \int \Delta \zeta d \omega
\]
${ }^{1}$ Это обычное уравнение теплопроводности. — Прим. ред.

Я утверждаю, что этот интеграл равен нулю. Для того чтобы это доказать, применим формулу Грина
\[
\int\left(u \frac{d v}{d n}-v \frac{d u}{d n}\right) d s=\int(u \Delta v-v \Delta u) d \omega
\]

к окружности очень большого радиуса, предполагая, что функции $u$ и $v$ или одна из них стремится к нулю на бесконечности. Интеграл в левой части равен нулю, поэтому
\[
\int u \Delta v d \omega=\int v \Delta u d \omega
\]

Теперь пусть
\[
u=1, \quad v=\zeta,
\]

что приводит к
\[
\int \Delta \zeta d \omega=0
\]

и к
\[
M=\text { const. }
\]
155. Центр тяжести этих двух мнимых масс неподвижен даже при наличии трения.

Действительно, координаты этого центра тяжести определены уравнениями
\[
M x_{0}=\int \zeta x d \omega, \quad M y_{0}=\int \zeta y d \omega .
\]

Продифференцируем первое уравнение по $t$ и получим следующее уравнение
\[
M \frac{d x_{0}}{d t}=\int \zeta u d \omega+\int \frac{d \zeta}{d t} x d \omega,
\]

поскольку $d \omega$ является постоянным. Первый интеграл равен нулю, так как существование трения влияет только на значение производных $u$ и $v$, а не на значения самих этих функций. В результате имеем равенство
\[
M \frac{d x_{0}}{d t}=\int \frac{d \zeta}{d t} x d \omega=K \int \Delta \zeta x d \omega .
\]

Применим вновь теорему Грина, полагая
\[
u=x, \quad v=\zeta .
\]

Поскольку $x$ является величиной первого порядка, то $\Delta x=0$.

Следовательно,
\[
\int x \Delta \zeta d \omega=\int \zeta \Delta x d \omega=0 .
\]

Отсюда $\frac{d x_{0}}{d t}=0$, а $x_{0}$ является постоянным.
Используя то же самое доказательство, можно получить подобное заключение и для $y_{0}$.
156. Момент инерции $I$ мнимых масс относительно оси, параллельной $O z$, является постоянным при отсутствии трения. Однако когда трение существует, тот же самый момент становится пропорциональным $t$.
Действительно,
\[
I=\int \zeta\left(x^{2}+y^{2}\right) d \omega
\]

и
\[
\frac{d I}{d t}=\int 2 \zeta(x u+y v) d \omega+\int \frac{d \zeta}{d t}\left(x^{2}+y^{2}\right) d \omega .
\]

Первый интеграл равен нулю, как если бы не существовало трения, поскольку наличие трения не меняет значения $u$ и $v$. Принимая во внимание уравнение (12), получим
\[
\frac{d I}{d t}=\int \frac{d \zeta}{d t}\left(x^{2}+y^{2}\right) d \omega=K \int \Delta \zeta\left(x^{2}+y^{2}\right) d \omega .
\]

Теорема Грина при $u=x^{2}+y^{2}, v=\zeta$ приводит к следующим неравенствам
\[
\int\left(x^{2}+y^{2}\right) \Delta \zeta d \omega=\int \zeta \Delta\left(x^{2}+y^{2}\right) d \omega,
\]

или, отмечая, что
\[
\Delta\left(x^{2}+y^{2}\right)=4,
\]

получим
\[
\int\left(x^{2}+y^{2}\right) \Delta \zeta d \omega=4 \int \zeta d \omega=4 M
\]

и, наконец,
\[
\frac{d I}{d t}=4 K M
\]

Производная $\frac{d I}{d t}$ постоянна и, следовательно, $I$ изменяется пропорционально $t$. При этом мы вычислили, насколько быстро происходит это изменение.

157. Применение к одному простому случаю. Предположим, что в начальном положении $\zeta$ зависит только от расстояния $r=$ $=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ до оси $z$. На основании симметрии это условие будет выполнено всегда. Скорость в точке будет перпендикулярна радиусвектору, опущенному из точки перпендикулярно оси $O z$. Точка описывает окружность с центром на оси $O z$ в плоскости, перпендикулярной этой оси. В силу симметрии точка останется на этой окружности при наличии трения. Однако в этом последнем случае скорость уже не будет равномерной. Действительно, $\zeta$ является функцией от $r$ и $t$. Поэтому имеется соотношение
\[
\frac{d \zeta}{d t}=\frac{\partial \zeta}{\partial t}+\frac{\partial \zeta}{\partial r} \frac{d r}{d t}
\]

Но поскольку $r$ — постоянная величина, то $\frac{d r}{d t}=0$ и легко получим равенство
\[
\frac{d \zeta}{d t}=\frac{\partial \zeta}{\partial t}=K \Delta \zeta
\]

или, согласно уже известной формуле, поскольку $\zeta$ зависит только от $r$, выражение
\[
\frac{\partial \zeta}{\partial t}=K\left(\frac{d^{2} \zeta}{d r^{2}}+\frac{1}{r} \frac{d \zeta}{d r}\right)
\]

Проинтегрируем это дифференциальное уравнение.
Рассмотрим интеграл
\[
Z=\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{\alpha^{2}}{h}} F(x+\alpha \sqrt{t}) d \alpha,
\]

где $h$ является постоянной. Имеем также
\[
\frac{d Z}{d t}=\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{\alpha^{2}}{h}} F^{\prime} \frac{\alpha}{2 \sqrt{t}} d \alpha .
\]

Интегрируя по частям, получаем
\[
\frac{d Z}{d t}=\left[e^{-\frac{\alpha^{2}}{h}}\left(-\frac{h}{2}\right) \frac{F^{\prime}}{\sqrt{t}}\right]_{-\infty}^{+\infty}+\frac{h}{4} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{\alpha^{2}}{h}} F^{\prime \prime} d \alpha .
\]

Поскольку проинтегрированный член равен нулю для двух пределов, то это выражение сводится к следующему:
\[
\frac{d Z}{d t}=\frac{h}{4} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{\alpha^{2}}{h}} F^{\prime \prime} d \alpha
\]

С другой стороны, справедливо равенство
\[
\frac{d^{2} Z}{d x^{2}}=\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{\alpha^{2}}{h}} F^{\prime \prime} d \alpha
\]

а следовательно,
\[
\frac{d Z}{d t}=\frac{h}{4} \frac{d^{2} Z}{d x^{2}} .
\]

Обобщим наши рассуждения и рассмотрим интеграл
\[
Z=\iint e^{-\frac{\alpha^{2}+\beta^{2}}{h}} F\left(x+\alpha \sqrt{\tau}, y+\alpha \sqrt{\tau^{\prime}}\right) d \alpha d \beta .
\]

Если в некоторый момент рассматривать $y$ и $\tau^{\prime}$ как постоянные величины, то $Z$ является функцией лишь от $x$ и от $\tau$ и, согласно вышесказанному, имеется соотношение:
\[
\frac{d Z}{d \tau}=\frac{h}{4} \frac{d^{2} Z}{d x^{2}} .
\]

Также, если $x$ и $\tau$ считать постоянными, то аналогичное соотношение имеет вид:
\[
\frac{d Z}{d \tau^{\prime}}=\frac{h}{4} \frac{d^{2} Z}{d y^{2}} .
\]

С другой стороны, несложно видеть, что
\[
\frac{d Z}{d t}=\frac{d Z}{d \tau} \frac{d \tau}{d t}+\frac{d Z}{d \tau^{\prime}} \frac{d \tau^{\prime}}{d t}=\frac{d Z}{d \tau}+\frac{d Z}{d \tau^{\prime}}
\]

или
\[
\frac{d Z}{d t}=\frac{h}{4} \Delta Z
\]

Для того чтобы отождествить это уравнение с уравнением (12), нам достаточно положить
\[
h=4 K,
\]

где $K$ обязательно положительна.
Далее, принимая
\[
\zeta=Z,
\]

можно будет вычислить $\zeta$ для любого момента времени.
Для того чтобы найти функцию $F$, необходимо определить значение $\zeta$ в начальный момент времени, то есть при $t=0$
\[
\zeta_{0}=\iint e^{-\frac{\alpha^{2}+\beta^{2}}{h}} F(x, y) d \alpha d \beta=F(x, y) \iint e^{-\frac{\alpha^{2}+\beta^{2}}{h}} d \alpha d \beta .
\]

Так как
\[
\iint e^{-\frac{\alpha^{2}+\beta^{2}}{h}} d \alpha d \beta=\frac{\pi}{4}
\]

то уравнение
\[
\zeta_{0}=\frac{\pi}{4} F(x, y)
\]

и определит функцию $F$.
Если начальное значение $\zeta$ зависит только от $r$, то $F$ также зависит только от $r$ и можно будет определить $\zeta$ в некоторый момент времени, при условии, что не нарушена симметрия или условия устойчивости выполняются.
158. Теорема Гельмгольца для относительного движения. Теорема Гельмгольца показывает, что интеграл
\[
J=\int u d x+v d y+w d z
\]

является постоянным при наличии силовой функции. В случае относительного движения силовая функция отсутствует, и теорема более не справедлива.
Как мы знаем, имеем выражение
\[
\frac{d J}{d t}=\int d \psi+d T
\]

где
\[
d \psi=d V-\frac{d p}{\rho},
\]

когда существует потенциал $V$.

Если же потенциал больше не существует, то аналогичное выражение имеет вид
\[
d \psi=X d x+Y d y+Z d z-\frac{d p}{\rho} .
\]

Если переносное движение явлнется, к примеру, вращением вокруг земной оси с угловой скоростью $\omega_{0}$, то получим
\[
X d x+Y d y+Z d z=d V+2 \omega_{0}(v d x-u d y)
\]

согласно теореме Кориолиса, понимая под потенциалом $V$ обычную центробежную силу, при этом ось $z$ является осью вращения. В результате получаем выражение
\[
\frac{d J}{d t}=\int(d V+d T)+\int 2 \omega_{0}(v d x-u d y) .
\]

Первый интеграл равен нулю и поэтому
\[
\frac{d J}{d t}=2 \omega_{0} \int(v d x-u d y) .
\]

Пусть $C$ — кривая интегрирования. Спроецируем ее на плоскость $x y$. Пусть $A$ — площадь, ограниРис. 43 ченная этой проекцией (рис. 43), а $M$ и $M^{\prime}$ — две бесконечно близкие точки. Тогда проекциями $M M^{\prime}$ на три оси будут отрезки $d x, d y, d z$. За время $d t$ частицы, находящиеся на кривой $C$, перейдут на кривую $C^{\prime}$ и, в частности, точка $M$ перейдет в точку $M_{1}$, а $M^{\prime}$ в $M_{1}^{\prime}$. Проекциями $M M_{1}$ являются отрезки $u d t, v d t, w d t$. Четырехугольник $M M^{\prime} M_{1} M_{1}^{\prime}$ подобен параллелограмму, проекция которого на плоскость $x y$ ограничивает площадь, равную
\[
d t(v d x-u d y) .
\]

Таким образом, интеграл
\[
d t \int(v d x-u d y)
\]

представляет собой изменение $\frac{d A}{d t} d t$ площади $A$ за время $d t$. Следовательно, получим соотношение:
\[
\frac{d J}{d t}=2 \omega_{0} \frac{d A}{d t}
\]

и
\[
J=2 \omega_{0} A+\text { const. }
\]

Таким образом, если $J_{0}$ и $A_{0}$ — начальные значения $J$ и $A$, то получаем
\[
J_{0}=2 \omega_{0} A_{0}+\text { const }, \quad J-J_{0}=2 \omega_{0}\left(A-A_{0}\right) .
\]

Пусть имеется окружность радиуса $r_{0}$ (рис. 44). Частицы, находящиеся на этой окружности, первоначально находятся в состоянии равновесия относительно земной поверхности. Следовательно,
\[
A_{0}=\pi r_{0}^{2} \sin \lambda,
\]

где $\lambda$ является широтой и
Рис. 44
\[
J_{0}=0 .
\]

Если происходит возмущение (например, воздушная тяга к центру окружности), то частицы через некоторое время займут замкнутую кривую, подобную окружности радиуса $r$. В этом новом положении получим следующие соотношения
\[
\begin{aligned}
A & =\pi r^{2} \sin \lambda, \\
J & =2 \omega_{0} \pi\left(r^{2}-r_{0}^{2}\right) \sin \lambda .
\end{aligned}
\]

Пусть имеется вращение, а $\omega$ — его угловая скорость или вертикальная составляющая вихря. Вычисляя интеграл
\[
J=2 \int \omega d \sigma,
\]

где $d \sigma$ — элемент поверхности при условии, что $\omega$ является постоянной, получим
\[
J=2 \omega \int d \sigma=2 \omega \pi r^{2} .
\]

Приравнивая два выражения для $J$, находим
\[
\omega=\omega_{0} \sin \lambda\left(1-\frac{r_{0}^{2}}{r^{2}}\right) .
\]

Если отношение $\frac{r}{r_{0}}$ достаточно мало́, то $\omega$ станет очень большой и всегда будет иметь один и тот же знак, т. е. вращение всегда будет направлено в одну и ту же сторону.
Это и есть одно из объяснений образования атмосферных циклонов.