22. Случай установившихся движений. Движение является установившимся, если все функции, обозначеные нами как $u, v, w, \psi$, не зависят от $t$, а лишь от переменных Эйлера $x, y, z$. Следовательно, в случае установившихся движений имеем
\[
\frac{\partial u}{\partial t}=0, \ldots, \frac{\partial \psi}{\partial t}=0 \text { и т. д., }
\]

и, учитывая п. 1,
\[
\frac{d u}{d t}=u \frac{\partial u}{\partial x}+v \frac{\partial u}{\partial y}+w \frac{\partial u}{\partial z}, \quad \frac{d \psi}{d t}=u \frac{\partial \psi}{\partial x}+v \frac{\partial \psi}{\partial y}+w \frac{\partial \psi}{\partial z} .
\]

Впрочем, эти соотношение могут быть применены к некоторой произвольной функции $\psi$.

Учитывая это замечание, из основной теоремы Гельмгольца можно вывести несколько следствий.
23. Теорема. Если движение установившееся, то существует бесконечное множество повер ностей, на которых можно провести бесконечное число линий тока, а также бесконечное число вихревых линий.
Это означает следующее:
Через точку $A$ (рис. 9) можно провести линию тока $A C$ и вихревую линию $A T$. Если через различные точки на $A C$ провести вихревые линии, то они образуют некоторую поверхность. Если также

Рис. 9 провести через различные точки на $A T$ линии тока, то они образуют другую поверхность. Из теоремы следует, что эти две поверхности тождественны.

Иначе говоря, если провести через точки $A, A^{\prime}, A^{\prime \prime}, A^{\prime \prime \prime}$ на кривой $A T$ линии тока $A C, A^{\prime} C^{\prime}, A^{\prime \prime} C^{\prime \prime}, A^{\prime \prime \prime} C^{\prime \prime \prime}$, то вихревые линии, проведенные через некоторую точку $B$ на $A C$, пересекутся с $A C, A^{\prime} C^{\prime}, \ldots$ и т. д.

Это утверждение почти очевидно. Действительно, когда движение является установившимся, линии тока представляют собой траектории частиц жидкости. Таким образом, рассмотрим частицы, которые в начальный момент времени $t=0$ находятся в $A, A^{\prime}, A^{\prime \prime}, A^{\prime \prime \prime}$; в момент времени $t$ эти частицы находятся в $B, B^{\prime}, B^{\prime \prime}, B^{\prime \prime \prime}$. Так как в силу теоремы Гельмгольца вихри остаются неизменными (т. е. состоят из одних и тех же частиц жидкости), то частицы $B, B^{\prime}, B^{\prime \prime}, B^{\prime \prime \prime}$ будут находиться на одной и той же вихревой линии.
24. Общее уравнение рассматриваемых поверхностей. В п. 4 нами получена формула
\[
\psi=V-\int \frac{d p}{\rho} .
\]

Пусть также
\[
T=\frac{1}{2}\left(u^{2}+v^{2}+w^{2}\right) .
\]

Я утверждаю, что уравнение поверхности, которая была нами введена, можно записать в виде
\[
\psi-T=\text { const. }
\]

Для доказательства достаточно показать, что $\psi-T$ постоянно с одной стороны на линиях тока, с другой стороны — на вихревых линиях.
$1^{\circ}$ Случай линий тока. Эти линии являются траекториями частиц жидкости. Следя за движущейся частицей и применяя обозначения Гельмгольца, в которых изменяется только $t$, получим
\[
\begin{array}{c}
d \psi=\frac{d \psi}{d t} d t, \quad d T=\frac{d T}{d t} d t \\
d T=u d u+v d v+w d w=\left(u \frac{d u}{d t}+v \frac{d v}{d t}+w \frac{d w}{d t}\right) d t \\
\frac{d \psi}{d t}=u \frac{\partial \psi}{\partial x}+v \frac{\partial \psi}{\partial y}+w \frac{\partial \psi}{\partial z}=u \frac{d u}{d t}+v \frac{d v}{d t}+w \frac{d w}{d t}
\end{array}
\]

так как, по уравнениям Лагранжа из п. 4,
\[
\frac{d u}{d t}=\frac{\partial \psi}{\partial x} \text { и т. д. }
\]

Таким образом,
\[
\begin{array}{c}
\frac{d \psi}{d t}=\frac{d T}{d t} \quad \text { или } \quad d \psi-d T=0, \\
\psi-T=\text { const. }
\end{array}
\]
$2^{\circ}$ Результат для вихревых линий. Уравнения этих линий можно записать в виде
\[
\frac{d x}{\xi}=\frac{d y}{\eta}=\frac{d z}{\zeta}=d \alpha
\]

или
\[
d x=\xi d \alpha, \quad d y=\eta d \alpha, \quad d z=\zeta d \alpha .
\]

Я утверждаю, что
\[
\frac{d \psi}{d \alpha}=\frac{d T}{d \alpha}
\]

Действительно,
\[
\begin{array}{l}
\frac{d \psi}{d \alpha}=\frac{\partial \psi}{\partial x} \xi+\frac{\partial \psi}{\partial y} \eta+\frac{\partial \psi}{\partial z} \zeta, \\
\frac{d \psi}{d x}=\frac{d u}{d t}=u \frac{\partial u}{\partial x}+v \frac{\partial u}{\partial y}+w \frac{\partial u}{\partial z} \text { и т. д., }
\end{array}
\]

и после подстановки одного в другое получим
\[
\frac{d \psi}{d \alpha}=u\left(\xi \frac{\partial u}{\partial x}+\eta \frac{\partial v}{\partial x}+\zeta \frac{\partial w}{\partial x}\right)+v\left(\xi \frac{\partial u}{\partial y}+\eta \frac{\partial v}{\partial y}+\zeta \frac{\partial w}{\partial y}\right)+w\left(\xi \frac{\partial u}{\partial z}+\eta \frac{\partial v}{\partial z}+\zeta \frac{\partial w}{\partial z}\right)
\]

С другой стороны,
\[
\begin{aligned}
& \frac{d T}{d \alpha}=u \frac{d u}{d \alpha}+v \frac{d v}{d \alpha}+w \frac{d w}{d \alpha}= \\
= & u\left(\xi \frac{\partial u}{\partial x}+\eta \frac{\partial u}{\partial y}+\zeta \frac{\partial u}{\partial z}\right)+v\left(\xi \frac{\partial v}{\partial x}+\eta \frac{\partial v}{\partial y}+\zeta \frac{\partial v}{\partial z}\right)+w\left(\xi \frac{\partial w}{\partial x}+\eta \frac{\partial w}{\partial y}+\zeta \frac{\partial w}{\partial z}\right) .
\end{aligned}
\]

Но в п. 18 мы выяснили, что
\[
\xi \frac{\partial u}{\partial x}+\eta \frac{\partial u}{\partial y}+\zeta \frac{\partial u}{\partial z}=\xi \frac{\partial u}{\partial x}+\eta \frac{\partial v}{\partial x}+\zeta \frac{\partial w}{\partial x} \text { и т. д. }
\]

Следовательно,
\[
\frac{d \psi}{d \alpha}=\frac{d T}{d \alpha} \quad \text { и } \quad \psi-T=\text { const. }
\]
25. Теорема Бернулли. В случае, если вихрь в любой точке пространства равен нулю,
\[
\xi=\eta=\zeta=0,
\]

то есть когда существует функция скоростей, любая линия может рассматриваться как вихревая, а $\psi-T$ постоянно во всем пространстве.
26. Определение скоростей в функции вихрей. Определим составляющие скорости $u, v, w$ из заданных компонент вихря $\xi, \eta, \zeta$.

Если мы можем найти решение этой задачи (исходя из того, что вихри остаются неизменными), то после интегрирования по времени мы узнаем скорость, с которой эти вихри перемещаются и, следовательно, их направление и величину, бесконечно мало отличающуюся в момент времени $t+d t$ от первоначальной величины.

Сначала заметим, что эта задача вообще является неопределенной, за исключением двух случаев: когда речь идет об однородной жидкости, занимающей бесконечное пространство или об однородной жидкости, полностью заполняющей сосуд, в котором она содержится.
27. Объемы односвязных и многосвязных областей. Прежде чем рассматривать предложенный вопрос, необходимо более точно определить, что мы называем односвязным и многосвязным объемом, поскольку к этим понятиям мы будем постоянно обращаться.

Односвязным объемом является объем, в котором нет отверстий: такими объемами могут быть сфера, эллипсоид или куб.

Любая замкнутая кривая, проведенная во внутренней части такого объема, может быть превращена в точку, деформируясь непрерывным образом и не покидая объем (рис. 10). При этом она заметает некоторую площадь $A$, которая исключительно ограничивается первоначальной кривой.

Таким образом, условие, что объем является односвязным, выполняется, если любая замкнутая кривая внутри этого объема может быть рассмотрена в качестве контура плоской площади, расположенной целиком внутри объема. Если принять это определение, то объем, заключенный между двумя концентрическими сферами, является односвязным.
Рис. 10
Рис. 11
28. Многосвязный объем имеет тело, в котором имеется одно или несколько отверстий: количество отверстий обозначает порядок кратности. Таким объемом может быть тор (рис. 11).

В многосвязных объемах можно провести замкнутые кривые двух родов. Кривые первого рода, подобные тем, что были определены в предыдущем параграфе, могут быть деформированы в точку, не покидая объема. В торе они будут окружностями, проведенными в меридианной плоскости, концентрическими с одной из меридианных окружностей.

Кривые второго рода, которые не могут быть превращены непрерывной деформацией в точку, не покидая объем: например, на торе это окружности, проведенные в плоскостях, перпендикулярных оси и имеющие свои центры на этой оси.
29. Предположим теперь, что вихрь всюду равен нулю
\[
\xi=\eta=\zeta=0,
\]

и рассмотрим интеграл
\[
J=\int(u d x+v d y+w d z)
\]

Этот интеграл, взятый вдоль замкнутой кривой первого рода равен нулю. Действительно, согласно п. 9, имеем
\[
J=\int 2 \xi_{n} d \omega,
\]

где $\xi_{n}$ является нормальной компонентой вихря, а $d \omega$ — элементом площади, ограниченной кривой. Согласно предположению,
\[
\xi_{n}=0, \quad \text { имеем } J=0 .
\]

Это предположение справедливо и для кривых второго рода. Действительно, предположим, что объем является тором и что
\[
u=\frac{y}{x^{2}+y^{2}}, \quad v=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}, \quad w=0 .
\]

Линии тока являются окружностями, имеющими центры на оси и проведенные в плоскостях, перпендикулярных этой оси. При этом
\[
u d x+v d y=\frac{y d x-x d y}{x^{2}+y^{2}}=d \operatorname{arctg} \frac{y}{x} .
\]

Функция скоростей $\operatorname{arctg} \frac{y}{x}$ не является однозначной, но имеет бесконечное множество значений, различающихся на $\pi$. Когда будем брать интеграл $J$ вдоль кривой второго рода, этот интеграл не будет равен нулю, а равен $\pi$ или кратен ему, потому что, возвращаясь в начальную точку, мы приходим к другому значению этой функции.
30. Разрезы. Когда объем является многосвязным, его возможно представить в односвязном виде, для чего необходимо проделать некоторое количество разрезов. В частности, если объем является двусвязным, достаточно проделать всего один разрез. Например, тор может быть представлен в односвязном виде, если разрезать его вдоль одной из меридианных окружностей.

Кривые, которые не пересекают разрез, будут представлять собой кривые первого рода; кривые, пересекающие разрез, — второго рода.

Функция скоростей остается однозначной пока не пересекает разрез, а интеграл $J$, взятый вдоль кривой, не пересекающей разрез, равен нулю.

С другой стороны, рассмотрим две бесконечно близкие друг другу и разрезу точки, но расположенные по разные стороны от этого разреза. Функция скорости испытывает разрыв между двумя точками; разность величин, которые она принимает в двух этих точках будет конечной и равной интегралу $J$, взятому вдоль кривой второго рода, соединяющей эти две точки.
31. Теорема. Эта разность постоянна, другими словами, значение интеграла $J$ одинаково для всех кривых интегрирования, которые пересекают разрез только один раз.

Действительно, предположим, что кривая $C$ деформируется непрерывным образом, не покидая объем и, например, отклонясь в сторону как $C^{\prime}$ (рис. 12). Во время этой деформации кривая $C$ заметает некоторую площадь, которая полностью расположена внутри объема.

Интеграл $J$, взятый вдоль полного контура этой площади $C C^{\prime}$, равен нулю.

Однако две кривые $C$ и $C^{\prime}$ пробегаются при интегрировании в противоположных направлениях так, что
\[
J_{C}-J_{C^{\prime}}=0
\]

или
\[
J_{C}=J_{C^{\prime}} .
\]

Pис. 12

Значение разрыва функции скоростей $\varphi$ на границе разреза постоянно во всех точках и равно $A$.

Если кривая второго рода после интегрирования дважды пересекает разрез, то разрыв функции $\varphi$ будет $2 A$ и так далее. Вообще, если контур интегрирования пересекает разрез $n$ раз в направлении по часовой стрелке и $n^{\prime}$ раз в направлении против часовой стрелки, значение интеграла будет равно $\left(n-n^{\prime}\right) A$.
32. Если объем трехсвязный (рис. 13), то, чтобы представить его в односвязном виде, необходимо проделать два разреза. Тогда функция

Рис. 13 скоростей $\varphi$ является вполне определенной, но она имеет разрыв на границе каждого из разрезов. Разрыв имеет одну постоянную величину $A$ вдоль первого разреза и постоянную величину $B$ вдоль второго, обычно отличную от $A$.

Если контур интегрирования $C$ пересекает только первый разрез один раз, то
\[
J_{C}=A .
\]

Если контур $C^{\prime}$ пересекает второй разрез также только один раз, при этом не пересекая первый, то
\[
J_{C^{\prime}}=B .
\]

Наконец, в общем случае, если контур интегрирования пересекает первый разрез $n$ раз в направлении по часовой стрелке и $n^{\prime}$ раз против часовой стрелки, а второй разрез — $p$ раз в направлении по часовой стрелке и $p^{\prime}$ раз против, то имеем
\[
J=\left(n-n^{\prime}\right) A+\left(p-p^{\prime}\right) B .
\]