227. Интеграл.

Пусть функция непрерывна на отрезке Разобьем отрезок на частей точками для однородности обозначений положим (рис. 121). Введем обозначения: Алго, и рассмотрим сумму

Она называется интегральной суммой для функции по отрезку

Наряду с интегральной суммой (1) рассматривают и интегральную сумму вида

Отличие суммы (1) от суммы (2) состоит в том, что в первом случае на каждом из отрезков выбирается значение функции в левом конце отрезка, а во втором случае — в правом.

На практике удобнее делить отрезок на частей. Тогда и сумма (1) принимает вид

Значение суммы зависит только от числа поэтому эту сумму можно обозначить (2 — греческая буква «сигма»).

Рассмотрим последовательность интегральных сумм

В математике установлено, что для непрерывной на отрезке функции эта последовательность сходится (см. Ее предел называют интегралом функции от а до и обозначают (читается: «Интеграл от а до от икс икс»).

Итак, Числа называют соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, знак

— знаком интеграла, функцию — подынтегральной функцией.

Пример. Найти

Решение. Составим интегральную сумму для функции на отрезке Для этого разобьем отрезок [0; 1] на равных частей точками (рис. 122).

Имеем

Интегральная сумма имеет вид:

В числителе содержится сумма первых членов арифметической прогрессии, у которой первый член равен 1, а равен Тогда сумма вычисляется по формуле (см. п. 197).

В итоге получаем

Далее имеем