178. Хорда и диаметр. Сектор и сегмент.

Итак, секущая — это прямая, имеющая с окружностью две общие точки. Отрезок секущей, лежащий внутри окружности, называется ее хордой. Перпендикуляр, опущенный на хорду из центра окружности, делит эту хорду пополам (по свойству равных наклонных и перпендикуляра). В частности, если хорда проходит через центр окружности, то она называется диаметром. Все диаметры равны между собой, так как каждый из них равен удвоенному радиусу окружности.

Рис. 202.

Рис. 203.

Хорда разбивает круг на две части I и II на рис. 202), называемые сегментами. В случае, когда хорда совпадает с диаметром, эти сегменты превращаются в полукруги. Напомним еще, что сектором круга называется часть круга, ограниченная двумя его радиусами ОА и ОВ и дугой окружности, соединяющей концы этих радиусов; таким образом, можно рассматривать два сектора (I и II на рис. 203), на которые круг разбивается парой радиусов.

Справедливы следующие соотношения между дугами данной окружности, стягивающими их хордами (хорда, имеющая те же концевые точки, что и дуга, называется хордой, стягивающей эту дугу, подобно тому как, например, тетива стягивает лук), расстояниями хорд от центра и т. д.

1. Равные дуги стягиваются равными хордами.

2. Равные хорды стягивают пары соответственно равных дуг.

3. Хорды, равноотстоящие от центра, равны.

4. Равные хорды равноотстоят от центра.

5. Всякий диаметр является осью симметрии круга (окружности). Он делит круг (окружность) на два равных полукруга (полуокружности).

Доказательство каждого из этих свойств основано на возможности вращения круга вокруг своего центра (скольжения окружности по себе) и соображениях симметрии. Докажем, например, свойство 3.

Доказательство. Пусть хорды АВ и CD равноотстоят от центра О окружности (рис. 204). Пусть - перпендикуляры, проведенные к этим хордам из О. Будем вращать дугу ASB, хорду АВ и перпендикуляр до совмещения последнего с перпендикуляром OL (т. е. на угол KOL). Тогда перпендикуляры совместятся, значит, хорда АВ пойдет по хорде и, поскольку окружность при вращении скользит по себе, обе хорды совпадут (последнее также видно из равенства наклонных как радиусов одной окружности).

Остальные свойства рекомендуется разобрать читателю.