§ 5. Интерферирующие амплитуды

Как же это может быть, что, когда переходят от (3.15) к (3.17), т. е. когда открывается больше каналов, через фильтры начинает проходить меньше атомов? Это и есть старый, глубокий секрет квантовой механики — интерференция амплитуд. С такого рода парадоксом мы впервые встретились в интерференционном опыте, когда электроны проходили через две щели. Помните, мы тогда увидели, что временами кое-где получается меньше электронов, когда обе щели открыты, чем когда открыта одна. Численно это получается вот как. Можно написать амплитуду того, что атом пройдет в приборе (3.17) через  и  в виде суммы трех амплитуд — по одной для каждого из трех пучков в ; эта сумма равна нулю:

                          (3.18)

Ни одна из трех отдельных амплитуд не равна нулю: например, квадрат модуля второй амплитуды есть ; [см. (3.15)], но их сумма есть нуль. Тот же ответ получился бы, если бы мы настроили  на то, чтобы отбирать состояние . Однако при расположении (3.16) ответ уже другой. Если обозначить амплитуду прохождения через  и  буквой , то в этом случае мы будем иметь

                                 (3.19

В опыте (3.16) пучок сперва расщеплялся, а потом восстанавливался. Как мы видим, Шалтая-Болтая удалось собрать обратно. Информация о первоначальном состоянии  сохранилась — все выглядит так, как если бы прибора  вовсе не было. И это будет верно, что бы ни поставили за «до отказа раскрытым» прибором . Можно поставить за ним фильтр  — под каким-нибудь необычным углом — или что-угодно. Ответ будет всегда одинаков, как будто атомы шли в  прямо из первого фильтра .

Итак, мы пришли к важному принципу: фильтр  или любой другой с открытыми до отказа заслонками не приводит ни к каким изменениям. Надо только упомянуть одно добавочное условие. Открытый фильтр должен не только пропускать все три пучка, но и не вызывать в них неодинаковых возмущений. Например, в нем не должно быть сильного электрического поля близ одного из пучков, которого не было бы возле других. Причина заключается вот в чем: хотя это добавочное возмущение может и не помешать всем атомам пройти сквозь фильтр, оно может привести к изменению фаз некоторых амплитуд. Тогда интерференция стала бы не такой, как была, и амплитуды (3.18) и (3.19) стали бы другими. Мы всегда будем предполагать, что таких добавочных возмущений нет.

Перепишем (3.18) и (3.19) в улучшенных обозначениях. Пусть  обозначает любое из трех состояний  и  тогда уравнения можно написать так:

                          (3.20)

и

                          (3.21)

Точно так же в опыте, в котором  заменяется совершенно произвольным фильтром , мы имеем

                               (3.22)

Результаты будут всегда   такими   же, как если бы прибор  убрали и осталось бы только

Или на математическом языке

                                    (3.23)

Это и есть наш основной закон, и он справедлив всегда, если только  обозначает три базисных состояния любого фильтра.

Заметьте, что в опыте (3.22) никакой особой связи между  и  не было. Более того, рассуждения остались бы теми же независимо от того, какие состояния эти фильтры отбирают. Чтобы написать уравнение в общем виде без ссылок на какие-то особые состояния, отбираемые приборами  и , обозначим через  состояние, приготовляемое первым прибором (в нашем частном примере ), и через  — состояние, подвергаемое испытанию в конечном фильтре (в нашем примере ). Тогда мы можем сформулировать наш основной закон (3.23) так:

,                       (3.24)

где  должно пробегать по всем трем базисным состояниям некоторого определенного фильтра.

Хочется опять подчеркнуть, что мы понимаем под базисными состояниями. Они напоминают тройку состояний, которые можно отобрать с помощью одного из наших приборов Штерна — Герлаха. Одно условие состоит в том, что если у вас есть базисное состояние, то будущее не зависит от прошлого. Другое условие — что если у вас есть полная совокупность базисных состояний, то формула (3.24) справедлива для любой совокупности начальных и конечных состояний  и . Но не существует никакой особой, совокупности базисных состояний. Мы начали с рассмотрения базисных состояний по отношению к прибору . В равной мере мы бы могли рассмотреть другую совокупность базисных состояний — по отношению к прибору , к прибору  и т. д. Мы обычно говорим о базисных состояниях «в каком-то представлении».

Другое требование к совокупности базисных состояний (в том или ином частном представлении) заключается в том, что им положено полностью отличаться друг от друга. Под этим мы понимаем, что если имеется состояние , то для него нет амплитуды перейти а состояние  или . Если  и  обозначают два базисных состояния в некотором представлении, то общие правила, которые мы обсуждали в связи с (3.8), говорят, что

для любых неравных между собой  и . Конечно, мы знаем, что

Эти два уравнения обычно пишут так:

,                                           (3.25)

где  («символ Кронекера») — символ, равный по определению нулю при  и единице при .

Уравнение (3.25) не независимо от остальных законов, о которых мы упоминали. Бывает, что нас не особенно интересует математическая задача поиска наименьшей совокупности независимых аксиом, из которых все законы проистекут как следствия. Нам вполне достаточно обладать совокупностью, которая полна и по виду непротиворечива. Однако мы беремся показать, что (3.25) и (3.24) не независимы. Пусть  в (3.24) представляет одно из базисных состояний той же совокупности, что и , скажем  состояние; тогда мы имеем

Но (3.25) утверждает, что  равно нулю, если только  не равно , так что сумма обращается просто в  и получается тождество, что говорит о том, что эти два закона не независимы.

Можно видеть, что если справедливы оба уравнения (3.25) и (3.24), то между амплитудами должно существовать еще одно соотношение. Уравнение (3.10) имело вид

Если теперь посмотреть на (3.24) и предположить, что и , и  — это состояние , то слева получится , а это, конечно, равно единице, и мы должны получить (3.19)

Эти два уравнения согласуются друг с другом (для всех относительных ориентации приборов  и ) только тогда, когда

Стало быть, для любых состояний  и

                                    (3.26)

Если бы этого не было, вероятности «не сохранились бы» и частицы «терялись бы».

Прежде чем идти дальше, соберем нее три общих закона для амплитуд, т. е. (3.24)—(3.26):

                           (3.27)

В этих уравнениях  и  относятся ко всем базисным состояниям какого-то одного представления, тогда как  и  — это любое возможное состояние атома. Важно отметить, что закон  справедлив лишь тогда, когда суммирование проводится по всем базисным состояниям системы (в нашем случае по трем: ). Эти законы ничего не говорят о том, что следует избирать в качестве базиса. Мы начали с прибора , который является опытом Штерна — Герлаха с какой-то произвольной ориентацией, но и всякая другая ориентация, скажем , тоже подошла бы. Вместо  и  нам пришлось бы ставить другую совокупность базисных состояний, но все законы остались бы правильными; какой-то единственной совокупности не существует. Успех в квантовой механике часто определяется тем, умеете ли вы использовать тот факт, помня, что расчет можно вести из-за этого разными путями.