§ 4. Силы; классический предел

Предположим, что частица движется сквозь область, где есть потенциал, меняющийся поперек движения. Классически мы бы описали этот случай так, как показано на фиг. 5.7. Если частица движется в направлении  и вступает в область, где имеется потенциал, изменяющийся вдоль , то частица получит поперечное ускорение от силы . Если сила присутствует только в ограниченной области шириной , то она будет действовать только в течение времени . Частица получит поперечный импульс

Тогда угол отклонения  будет равен

,

где  — начальный импульс. Подставляя вместо  число , получаем

                         (5.26)

Фигура 5.7. Отклонение частицы поперечным градиентом потенциала.

Теперь нам предстоит выяснить, удастся ли получить этот результат с помощью представления о том, что волны подчиняются уравнению (5.20). Мы рассмотрим то же самое явление квантовомеханически, предполагая, что все масштабы в нем намного превосходят длины волн наших амплитуд вероятности. В любой маленькой области можно считать, что амплитуда меняется как

                      (5.27)

В состоянии ли мы увидеть, как отсюда получится отклонение частиц, когда у  будет поперечный градиент? На фиг. 5.8 мы прикинули, как будут выглядеть волны амплитуды вероятности. Мы начертили ряд «узлов воли», которые вы можете считать, скажем, поверхностями, где фаза амплитуды равна нулю. В любой небольшой области длина волны (расстояние между соседними узлами ) равна

,

где  связано с  формулой

                          (5.28)

Фигура 5.8. Амплитуда вероятности в области с поперечным градиентом потенциала.

В области, где  больше, там  меньше, а волны длиннее. Поэтому направление линий узлов волн постепенно меняется, как показано на рисунке.

Чтобы найти изменение наклона линий узлов волн, заметим, что на двух путях  и  имеется разность потенциалов , а значит, и разница  между импульсами. Эту разность можно получить из (5.28):

                                (5.29)

Волновое число  поэтому тоже на разных путях различно, что означает, что фазы растут вдоль них с разной скоростью. Разница в скорости роста фазы есть , и накопленная на всем пути  разность фаз будет равна

                          (5.30)

Это число показывает, на сколько к моменту выхода из полосы фаза вдоль пути  «опережает» фазу вдоль пути . Но на выходе из полосы такое опережение фаз отвечает опережению узла волны на величину

,

или

                                   (5.31)

Обращаясь к фиг. 5.8, мы видим, что новый фронт волны повернется на угол , даваемый формулой

,                                           (5.32)

так что мы имеем

                                  (5.33)

А это совпадает с (5.26), если заменить  на , a  на .

Результат, который мы только что получили, верен лишь, когда потенциал меняется медленно и плавно — в так называемом классическом пределе. Мы показали, что при этих условиях получим те же движения частиц, что получились бы и из , если предположить, что потенциал дает вклад в фазу амплитуды вероятности, равный . В классическом пределе квантовая механика оказывается в согласии с ньютоновской механикой.