§ 4. Повороты на 180 и на 90 вокруг оси у

Теперь попробуем подобрать преобразование для поворота  (по отношению к ) на  вокруг оси, перпендикулярной к оси , скажем вокруг оси . (Оси координат мы определили на фиг. 4.1.) Иными словами, берутся два одинаковых прибора Штерна — Герлаха и второй из них, , переворачивается относительно первого, , «вверх ногами» (фиг. 4.6). Если рассматривать частицы как маленькие магнитные диполи, то частица, которая находится в состоянии   (в первом приборе она избирает «верхний» путь), и во втором приборе избирает «верхний» путь, т. е. окажется по отношению к  в минус-состоянии. (В перевернутом приборе  переворачиваются и поле, и направление его градиента; для частицы с заданным направлением магнитного момента сила не меняется.) То, что для  было «верхом», то для  будет «низом». Для такого относительного расположения  и  преобразования, естественно, должны дать

Как и раньше, нельзя исключить добавочные фазовые множители; на самом деле может оказаться, что

                    (4.20)

где  и  еще подлежат определению.

Фигура 4.6. Поворот на  вокруг оси .

А что можно сказать о повороте вокруг оси  на угол ? Мы уже знаем ответ для поворота на  вокруг оси : амплитуда пребывания в любом состоянии меняет знак. Повороты на  вокруг любой оси всегда приводят прибор в прежнее положение. Таким образом, результат любого поворота на  должен быть таким же, как и при повороте на  вокруг оси , — все амплитуды должны просто переменить знак. Теперь представим себе два последовательных поворота на  вокруг оси  по формуле (4.20); после них должен получиться результат (4.18). Иными словами,

и                                                                                                                      (4.21)

Это означает, что

Следовательно,  преобразование для поворота на  вокруг оси  может быть записано так:

               (4.22)

Рассуждения, которыми мы только что пользовались, в равной степени применимы к поворотам на  вокруг любой оси в плоскости , хотя, конечно, повороты вокруг разных осей дадут для  разные числа. Но это единственное, чем они могут отличаться. В числе  имеется известный произвол, но, как только оно определено для какой-то одной оси в плоскости , оно определяется и для всех прочих осей. Принято выбирать  для поворотов на  вокруг оси .

Чтобы показать, что свобода такого выбора у нас есть, предположим, что мы решили, что  не равно нулю для поворота вокруг оси ; тогда можно показать, что в плоскости  существует какая-то другая ось, для которой соответствующая фаза будет нулем. Найдем фазовый множитель  для оси , образующей с осью  угол , как показано на фиг. 4.7, а. (Для удобства на рисунке угол  отрицателен, но это неважно.) Если теперь мы возьмем прибор , первоначально направленный так же, как и , а потом повернем его вокруг оси  на , то его оси — назовем их  — расположатся так, как на фиг. 4,7, а. Амплитуды по отношению к  тогда станут

                        (4.23)

Фигура 4.7. Поворот на  вокруг оси  эквивалентен повороту на  вокруг оси , за которым следует поворот вокруг оси .

Но той же самой ориентации можно добиться двумя последовательными поворотами, показанными на фиг. 4.7, б и в. Возьмем сначала прибор , повернутый по отношению к  на  вокруг оси . Оси  и  прибора  будут такими, как на фиг. 4.7, б, а амплитуды по отношению к  будут даваться формулой (4.22).

Заметьте теперь, что от  к  можно перейти, повернув прибор  вокруг «оси », т. е. вокруг , как показано на фиг. 4.7, в. Из рисунка видно, что требуемый угол вдвое больше угла , но направлен в обратную сторону (по отношению к ). Используя преобразование (4.19) с , получаем

                             (4.24)

Подставляя (4.22) в (4.24), получаем

                          (4.25)

Эти амплитуды, конечно, должны совпасть с полученными в (4.23). Значит,  должно быть связано с  и  формулой

                                         (4.26)

Это означает, что если угол  между осью  и осью  (прибоpa ) равен , то в преобразовании поворота на  вокруг оси  будет стоять .

Но коль скоро у какой-то из осей, перпендикулярных к оси , может оказаться , то ничто не метает принять эту ось за ось . Это всего лишь вопрос соглашения, и мы примем это в общем случае. Итог: для поворота на  вокруг оси  мы имеем

                              (4.27)

Продолжая размышлять о поворотах вокруг оси , перейдем теперь к матрице преобразования для поворотов на . Мы в состоянии установить ее вид, оттого что знаем, что два последовательных поворота на  вокруг одной и той же оси — это то же самое, что один поворот на . Напишем преобразование для  в самой общей форме:

                            (4.28)

Второй поворот на  вокруг той же оси обладал бы теми же коэффициентами:

                            (4.29)

Подставляя (4.28) в (4.29), получаем

                         (4.30)

Однако из (4.27) нам известно, что

так что должно быть

                            (4.31)

Этих четырех уравнений вполне хватает, чтобы определить все наши неизвестные  и . Сделать это нетрудно. Посмотрите на второе и четвертое уравнения. Вы видите, что , откуда либо , либо . Но последнее отпадает, потому что тогда не выполнялось бы первое уравнение. Значит, . А тогда сразу же выходит  и . Теперь все выражено через . Подставляя, скажем, во второе уравнение значения  и , получаем

Из четырех решений этого уравнения только два приводят к детерминанту стандартной формы. Мы можем принять ; тогда

Иными словами, для двух приборов  и  при условии, что  повернут относительно  на  вокруг оси , преобразование имеет вид

                          (4 32)

Эти уравнения можно, конечно, разрешить относительно  и ; это даст нам преобразование при повороте вокруг оси  на . Переставив еще и штрихи, мы напишем

                           (4.33)