§ 2. Гамильтониан основного состояния водорода

Через минуту вы это узнаете. Но прежде хочу вам напомнить одну вещь: всякое состояние всегда можно представить в виде линейной комбинации базисных состояний. Для любого состояния  можно написать

.                (10.2)

Напомним, что полные скобки — это просто комплексные числа, так что их можно обозначить обычным образом через , где , и записать (10.2) к виде

.                                                 (10.3)

Задание четверки амплитуд  полностью описывает спиновое состояние . Если эта четверка меняется во времени (как это и будет на самом деле), то скорость изменения во времени дается оператором . Задача в том, чтобы найти этот оператор .

Не существует общего правила, как писать гамильтониан атомной системы, и отыскание правильной формулы требует большего искусства, чем отыскание системы базисных состояний. Мы вам смогли дать общее правило, как записывать систему базисных состояний для любой задачи, в которой есть протон и электрон, но описать общий гамильтониан такой комбинации на этом уровне слишком трудно. Вместо этого мы подведем вас к гамильтониану некоторыми эвристическими рассуждениями, и вам придется признать его правильным, потому что результаты будут согласовываться с экспериментальными наблюдениями.

Вспомните, что в предыдущей главе мы смогли описать гамильтониан отдельной частицы со спином , применив сигма-матрицы или в точности эквивалентные им сигма-операторы. Свойства операторов сведены в табл. 10.1. Эти операторы, являющиеся просто удобным, кратким способом запоминания матричных элементов типа , были полезны для описания поведения отдельной частицы со спином . Возникает вопрос, можно ли отыскать аналогичное средство для описания системы с двумя спинами. Да, и очень просто. Вот смотрите. Мы изобретем вещь, которую назовем «электрон-сигма» и которую будем представлять векторным оператором  с тремя компонентами . Дальше условимся, что когда одна из них действует на какое-то из наших четырех базисных состояний атома водорода, то она действует на один только спин электрона, причем гак, как если бы электрон был один, сам по себе. Пример: чему равно ? Поскольку , действующее на электрон со спином вниз, дает , умноженное на состояние с электроном, у которого спин вверх, то

.

(Когда  действует на комбинированное состояние, оно переворачивает электрон, не затрагивая протон, и умножает результат на .) Действуя на другие состояния,  даст

Напомним еще раз, что оператор  действует только на первый спиновый символ, т. е. на спин электрона.

Таблица 10.1 Свойства сигма-операторов

Теперь определим соответствующий оператор «протон-сигма» для спина протона. Три его компоненты  действуют так же, как и ое, но только на протонный спин. Например, если  будет действовать на каждое из четырех базисных состояний, то получится (опять с помощью табл. 10.1)

Как видите, ничего трудного.

В общем случае могут встретиться вещи и посложнее. Например, произведение операторов . Когда имеется такое произведение, то сначала делается то, что хочет правый оператор, а потом — чего требует левый , Например,

.

Заметьте, что эти операторы с числами ничего не делают; мы использовали это, когда писали . Мы говорим, что операторы «коммутируют» с числами или что числа «можно протащить» через оператор. Попрактикуйтесь и покажите, что произведение  дает для четырех состояний следующий результат:

Если перебрать все допустимые операторы, каждый по разу, то всего может быть 16 возможностей. Да, шестнадцать, если включить еще «единичный оператор» . Во-первых, есть тройка  затем тройка , итого шесть. Кроме того, имеется девять произведений вида , итого 15. И еще единичный оператор, оставляющий все состояния нетронутыми. Вот и все шестнадцать!

Заметьте теперь, что для системы с четырьмя состояниями матрица Гамильтона должна представлять собой матрицу коэффициентов 4x4, в ней будет 16 чисел. Легко показать, что всякая матрица 4x4, и в частности матрица Гамильтона, может быть записана в виде линейной комбинации шестнадцати двойных спиновых матриц, соответствующих системе операторов, которые мы только что составили. Поэтому для взаимодействия между протоном и электроном, в которое входят только их спины, мы можем ожидать, что оператор Гамильтона может быть записан в виде линейной комбинации тех же 16 операторов. Вопрос только в том, как.

Но, во-первых, мы знаем, что взаимодействие не зависит от нашего выбора осей для системы координат. Если нет внешнего возмущения — чего-то вроде магнитного поля, выделяющего какое-то направление в пространстве,— то гамильтониан не может зависеть от нашего выбора направлений осей  и . Это означает, что в гамильтониане не может быть таких членов, как  сам по себе. Это выглядело бы нелепо, потому что кто-нибудь в другой системе координат пришел бы к другим результатам.

Единственно возможны только член с единичной матрицей, скажем постоянная  (умноженная на ), и некоторая комбинация сигм, которая не зависит от координат, некоторая «инвариантная» комбинация. Единственная скалярная инвариантная комбинация из двух векторов — это их скалярное произведение, имеющее для наших сигм вид

.                                (10.4)

Этот оператор инвариантен по отношению к любому повороту системы координат. Итак, единственная возможность для гамильтониана с подходящей симметрией в пространстве — это постоянная, умноженная на единичную матрицу, плюс постоянная, умноженная на это скалярное произведение, т. е.

.                                           (10.5)

Это и есть наш гамильтониан. Это единственное, чему, исходя из симметрии в пространстве, он может равняться, пока нет внешнего поля. Постоянный член нам многого не сообщит; он просто зависит от уровня, который мы выбрали для отсчета энергий. С равным успехом можно было принять . А второй член поведает нам обо всем, что нужно для того, чтобы найти расщепление уровней в водороде.

Если угодно, можно размышлять о гамильтониане иначе. Если поблизости друг от друга находятся два магнита с магнитными моментами  и , то их взаимная энергия зависит, кроме всего прочего, и от . А мы, как вы помните, выяснили, что та вещь, которую мы в классической физике называли , в квантовой механике выступает под именем . Подобным же образом, то, что в классической физике выглядит как, в квантовой механике обычно оказывается равным  (где  — магнитный момент протона, который почти в 1000 раз меньше  и имеет обратный знак). Значит, (10.5) утверждает, что энергия взаимодействия подобна взаимодействию двух магнитов, но не до конца, потому что взаимодействие двух магнитов зависит от расстояния между ними. Но (10.5) может считаться (и на самом деле является) своего рода средним взаимодействием. Электрон как-то движется внутри атома, и наш гамильтониан дает лишь среднюю энергию взаимодействия. В общем все это говорит о том, что для предписанного расположения электрона и протона в пространстве существует энергия, пропорциональная косинусу угла между двумя магнитными моментами (выражаясь классически). Такая классическая качественная картина может помочь вам понять, откуда все получается, но единственное что важно при этом то, что (10.5) — это правильная квантовомеханическая формула.

Порядок величины классического взаимодействия между двумя магнитами должен был бы даваться произведением двух магнитных моментов, деленным на куб расстояния между ними. Расстояние между электроном и протоном в атоме водорода, грубо говоря, равно половине атомного радиуса, т. е. . Поэтому можно примерно прикинуть, что постоянная  должна быть равна произведению магнитных моментов  и , деленному на куб половины ангстрема. Такая пристрелка приводит к числам, попадающим как раз в нужный район. Но оказывается, что  можно подсчитать и аккуратней, стоит только разобраться в полной теории атома водорода, что нам пока не по силам. На самом деле  было подсчитано с точностью до 30 миллионных. Как видите, в отличие от постоянной переброса  молекулы аммиака, которую по теории невозможно хорошо подсчитать, наша постоянная  для водорода может быть рассчитана из более детальной теории. Но ничего не поделаешь, нам для наших теперешних целей придется считать  числом, которое может быть определено из опыта, и анализировать физику дела.

Взяв гамильтониан (10.5), можно подставить его в уравнение

и посмотреть, что делает спиновое взаимодействие с уровнями энергии. Для этого надо подсчитать шестнадцать матричных элементов , отвечающих любой двойке из четырех базисных состояний (10.1).

Начнем с того, что подсчитаем, чему равно  для каждого из четырех базисных состояний. К примеру,

                (10.7)

Пользуясь способом, описанным немного раньше (вспомните табл. 10.1, она очень облегчит дело), мы найдем, что каждая пара  делает с . Ответ таков:

                                                   (10.8)

Значит, (10.7) превращается в

                             (10.9)

Таблица 10.2. Спиновые операторы для атома водорода

А раз все наши четыре базисных состояния ортогональны, то это немедленно приводит к

                                  (10.10)

Вспоминая, что , мы сразу сможем написать дифференциальное уравнение для амплитуды :

,                                 (10.11)

или

.

 Вот и все! Только один член.

Чтобы теперь получить оставшиеся уравнения Гамильтона, мы должны терпеливо пройти через те же процедуры с , действующим на другие состояния. Во-первых, попрактикуйтесь в проверке того, что все произведения сигм в табл. 10.2 написаны правильно. Затем с их помощью получите

И тогда, умножая их все по порядку слева на все прочие векторы состояний, мы получаем следующую гамильтонову матрицу :

.                                            (10.13)

Это, конечно, означает, что дифференциальные уравнения для четырех амплитуд  имеют вид

                                                  (10.14)

Но прежде чем перейти к их решению, трудно удержаться от того, чтобы не рассказать вам об одном умном правиле, которое вывел Дирак. Оно поможет вам ощутить, как много вы уже знаете, хотя нам в нашей работе оно и не понадобится. Из уравнений (10.9) и (10.12) мы имеем

                                                  (10.15)

«Взгляните, — сказал Дирак,— первое и последнее уравнения я могу записать также в виде

,

и тогда все они станут похожими. Теперь я придумаю новый оператор, который обозначу  и который, по определению, будет обладать следующими свойствами*:

Оператор этот, как видите, только обменивает направления спина у двух частиц. Тогда всю систему уравнений (10.15) я могу написать как одно простое операторное уравнение:

                                               (10.16)

Это и есть формула Дирака. Оператор обмена спинами дает удобное правило для запоминания . (Как видите, вы теперь уже все умеете делать.  Для вас все двери открыты.)