§ 2. Равномерное движение

Если мы предполагаем, что теория относительности верна, то частица, покоящаяся в одной инерциальной системе, в другой инерциальной системе может оказаться в равномерном движении. В системе покоя частицы амплитуда вероятности для всех  и  одинакова, но зависит от . Величина амплитуды для всех  одинакова, а фаза зависит от . Мы можем получить картину поведения амплитуды, если проведем линии равной фазы (скажем, нулевой) как функций  и . Для частицы в покое эти линии равной фазы параллельны оси  и расположены по оси  на равных расстояниях (показано пунктирными линиями на фиг. 5.1).

В другой системе, , движущейся относительно частицы, скажем, в направлении , координаты  и  некоторой частной точки пространства связаны с  и  преобразованием Лоренца. Это преобразование можно изобразить графически, проведя оси  и , как показано на фиг. 5.1 [см. гл. 17 (вып. 2), фиг. 17.2]. Вы видите, что в системе  точки равной фазы вдоль оси  расположены на других расстояниях, так что частота временных изменений уже другая. Кроме того, фаза меняется и по , т. е. амплитуда вероятности должна быть функцией .

Фигура 5.1. Релятивистское преобразование амплитуды покоящейся частицы в систему .

При преобразовании Лоренца для скорости , направленной, скажем, вдоль отрицательного направления , время  связано со временем  формулой

,

и теперь наша амплитуда меняется так:

В штрихованной системе она меняется в пространстве и во времени. Если амплитуду записать в виде

,

то видно, что . Это энергия, вычисленная по классическим правилам для частицы с энергией покоя , движущейся со скоростью ;  — соответствующий импульс частицы.

Вы знаете, что  и  — четырех-векторы, а  — скалярный инвариант. В системе покоя частицы  просто равно ; значит, при преобразовании в другую систему  следует заменить на

Итак, амплитуда вероятности для частицы, импульс которой есть , будет пропорциональна

,                                      (5.5)

где  — энергия частицы с импульсом , т. е.

,                              (5.6)

а , как и прежде, — энергия покоя. В нерелятивистских задачах можно писать

,                                 (5.7)

где  — избыток (или нехватка) энергии по сравнению с энергией покоя  частей атома. В общем случае в  должны были бы войти и кинетическая энергия атома, и его энергия связи или возбуждения, которые можно назвать «внутренней» энергией. Тогда мы бы писали

,                             (5.8)

а амплитуды имели бы вид

,                                      (5.9)

Мы собираемся все расчеты вести нерелятивистски, так что именно таким видом амплитуд вероятностей мы и будем пользоваться.

Заметьте, что наше релятивистское преобразование снабдило нас формулой для изменения амплитуды атома, движущегося в пространстве, не требуя каких-либо добавочных допущений. Волновое число ее изменений в пространстве, как это следует из (5.9), равно

,                                                  (5.10)

а, значит, длина волны

                                    (5.11)

Это та самая длина волны, которую мы раньше использовали для частиц с импульсом . Именно таким путем де-Бройль впервые пришел к этой формуле. Для движущейся частицы частота изменения амплитуды по-прежнему дается формулой

                                             (5.12)

Абсолютная величина (5.9) равна просто единице, так что для частицы, движущейся с определенной энергией, вероятность обнаружить ее где бы то ни было — одна и та же повсюду и со временем не меняется. (Важно отметить, что амплитуда — это комплексная полна. Если бы мы пользовались вещественной синусоидой, то ее квадрат от точки к точке менялся бы, что было бы неверно.)

Конечно, мы знаем, что бывают случаи, когда частицы движутся от одного места к другому, так что вероятность зависит от положения и изменяется со временем. Как же нужно описывать такие случаи? Это можно сделать, рассматривая амплитуды, являющиеся суперпозицией двух или большего числа амплитуд для состояний с определенной энергией. Такое положение мы уже обсуждали в гл. 48 (вып. 4) причем именно для амплитуд вероятности! Мы нашли тогда, что сумма двух амплитуд с разными волновыми числами  (т. е. импульсами) и частотами  (т. е. энергиями) приводит к интерференционным буграм, или биениям, так что квадрат амплитуды меняется и в пространстве, и во времени. Мы нашли также, что эти биения движутся с так называемой «групповой скоростью», определяемой формулой

где  и  — разности волновых чисел и частот двух волн. В более сложных волнах, составленных из суммы многих амплитуд с близкими частотами, групповая скорость равна

                                (5.13)

Так как , а , то

                               (5.14)

Но из (5.6) следует,

                          (5.15)

а так как , то

                               (5.16)

а это как раз классическая скорость частицы. Даже применяя нерелятивистские выражения, мы будем иметь

 и

и

,                          (5.17)

т. е. опять классическую скорость.

Результат наш, следовательно, состоит в том, что если имеется несколько амплитуд для чистых энергетических состояний с почти одинаковой энергией, то их интерференция приводит к «всплескам» вероятности, которые движутся сквозь пространство со скоростью, равной скорости классической частицы с такой же энергией. Но нужно, однако, заметить, что, когда мы говорим, что можем складывать две амплитуды с разными волновыми числами, чтобы получать пакеты, отвечающие движущейся частице, мы при этом вносим нечто новое — нечто, не выводимое из теории относительности. Мы сказали, как меняется амплитуда у неподвижной частицы, и затем вывели из этого, как она должна была бы меняться, если бы частица двигалась. Но из этих рассуждений мы не в состоянии вывести, что случилось бы, если бы были две волны, движущиеся с разными скоростями. Если мы остановим одну из них, мы не сможем остановить другую. Так что мы втихомолку добавили еще одну гипотезу: кроме того, что (5.9) есть возможное решение, мы допускаем, что у той же системы могут быть еще решения со всевозможными  и что различные члены будут интерферировать.