§ 6. Проекционная матрица для спина 1

Теперь мы хотели бы применить наши знания об атоме водорода к одной специальной задаче. В гл. 3 мы говорили о том, что частица со спином , находящаяся в одном из базисных состояний  по отношению к прибору Штерна — Герлаха с какой-то частной ориентацией (скажем, по отношению к прибору ), будет иметь определенную амплитуду пребывания в одном из трех состояний по отношению к прибору , ориентированному в пространстве по-другому. Имеются девять таких амплитуд , которые вместе образуют проекционную матрицу. В гл. 3, § 7, мы без доказательства выписали элементы этой матрицы для различных ориентаций  по отношению к . Теперь мы хотим показать вам один из способов их вывода.

В атоме водорода мы с вами отыскали систему со спином , составленную из двух частиц со спином . В гл. 4 мы уже научились преобразовывать амплитуды для спина . Эти значения можно применить к тому, чтобы получить преобразование для спина . Вот как это делается: имеется система (атом водорода с энергией ) со спином . Пусть мы пропустили ее сквозь фильтр  Штерна — Герлаха так, что знаем теперь, что она находится в одном из базисных состояний по отношению к , скажем в . Какова амплитуда того, что она окажется в одном из базисных состояний, скажем , по отношению к прибору ? Если вы назовете систему координат прибора  системой , то состояние  — это то, что недавно называлось состоянием . Но представьте, что какой-то ваш приятель провел свою ось  вдоль оси . Он свои состояния будет относить к некоторой системе . Его состояния «вверх» и «вниз» для электрона и протона отличались бы от ваших. Его состояние «плюс — плюс», которое можно записать , отмечая «штрихованность» системы, есть состояние  частицы со спином . А вас интересует , что есть просто иной способ записи амплитуды .

Амплитуду  можно найти следующим образом. В вашей системе спин электрона из состояния  направлен вверх. Это означает, что у него есть некоторая амплитуда  оказаться в системе вашего приятеля спином вверх и некоторая амплитуда  оказаться в этой системе спином вниз. Равным образом, протон в состоянии  имеет спин вверх в вашей системе и амплитуды  и  оказаться спином вверх или вниз в «штрихованной» системе. Поскольку мы говорим о двух разных частицах, то амплитуда того, что обе частицы вместе в его системе окажутся спинами вверх, равна произведению амплитуд

                                        (10.44)

Мы поставили значки  и  под амплитудами , чтоб было ясно, что мы делаем. Но обе они — это просто амплитуды преобразовании для частицы со спином , так что на самом деле — это одни и те же числа. Фактически — это те же амплитуды, которые мы в гл. 4 называли  и которые мы привели в табл. 4.1 и 4.2.

Но теперь, однако, нам угрожает путаница в обозначениях. Надо уметь различать амплитуду  для частицы со спином  от того, что мы также назвали , но для спина между ними нет ничего общего! Надеюсь, вас не очень собьет с толку, если мы на время введем иные обозначения амплитуд для спина . Они приведены в табл. 10.4. Для состояний частиц спина  мы по-прежнему будем прибегать к обозначениям  и .

Таблица 10.4. Амплитуда для спина

В наших новых обозначениях (10.44) просто превращается в

Это как раз амплитуда  для спина . Теперь давайте, например, предположим, что у вашего приятеля система координат, т. е. «штрихованный» прибор , повернута вокруг вашей оси  на угол ; тогда из табл. 4.2 получается

Значит, из (10.44) амплитуда для спина  окажется равной

                                   (10.45)

Теперь вам понятно, как мы будем действовать дальше.

Но хорошо бы провести выкладки в общем случае для всех состояний. Если протон и электрон в нашей системе (системе ) оба смотрят вверх, то амплитуды того, что в другой системе (системе ) они будут в одном из четырех возможных состояний, равны

                              (10.46)

Затем мы можем записать состояние  в виде следующей линейной комбинации:

                               (10.47)

Но теперь мы замечаем, что  — это состояние  что  — это как раз , умноженный на состояние  [см. (10.41)], и что . Иными словами, (10.47) переписывается в виде

                                   (10.48)

Точно так же легко показать, что

                                   (10.49)

 дело обстоит чуть посложнее, потому что

Но каждое из состояний  и  можно выразить через «штрихованные» состояния и подставить в сумму:

                             (10.50)

и

                            (10.51)

Умножая сумму (10.50) и (10.51) на , получаем

Отсюда следует

                               (10.52)

Теперь у нас есть все необходимые амплитуды. Коэффициенты в (10.48), (10.49) и (10.52) — это матричные элементы . Сведем их в одну матрицу:

                        (10.53)

Мы выразили преобразование спина  через амплитуды  и   преобразования едина .

Если, например, система  повернута но отношению к  на угол  вокруг оси  (см. фиг. 3.6, стр. 64), то амплитуды в табл. 10.4 — это просто матричные элементы  в табл. 4.2:

                                 (10.54)

Подставив их в (10.53), получим формулы (3.38), которые приведены на стр. 80 без доказательства.

Но что же случилось с состоянием ?! Это система со спином нуль; значит, у нее есть только одно состояние — оно во всех системах координат одно и то же. Можно проверить, что все так и выходит, если взять разность (10.50) и (10.51); получим

Но  — это  определитель матрицы для  спина , он просто равен единице. Получается

при любой относительной ориентации двух систем координат.