§ 3. Уровни энергии

Теперь мы готовы к тому, чтобы вычислить уровни энергии основного состояния водорода, решая гамильтоновы уравнения (10.14). Мы хотим найти энергии стационарных состояний. Это значит, что мы должны отыскать те особые состояния , для которых каждая из принадлежащих  амплитуд  обладает одной и той же зависимостью от времени, а именно . Тогда состояние будет обладать энергией . Значит, мы ищем совокупность амплитуд, для которых

,                                                            (10.17)

где четверка коэффициентов  не зависит от времени. Чтобы увидеть, можем ли мы получить эти амплитуды, подставим (10.17) в (10.14) и посмотрим, что из этого выйдет. Каждое  в (10.14) перейдет в . И после сокращения на общий экспоненциальный множитель каждое  превратится в ; получим

                                        (10.18)

Это и нужно решить для отыскания и . Право, очень мило со стороны первого уравнения, что оно не зависит от остальных,— а это значит, что одно решение сразу видно. Если выбрать , то

даст решение. (Конечно, если принять все  равными нулю, то это тоже будет решение, но состояния оно не даст!) Будем считать наше первое решение состоянием :

                                                (10.19)

Его энергия

.

Все это немедленно дает ключ ко второму решению, получаемому из последнего уравнения в (10.18):

Это решение мы назовем состоянием :

                                                         (10.20)

Дальше пойдет чуть труднее; оставшиеся два уравнения (10.18) переплетены одно с другим. Но мы все это уже делали. Сложив их, получим

.                                            (10.21)

Вычитая, будем иметь

.                                        (10.22)

Окидывая это взглядом и припоминая знакомый нам уже аммиак, мы видим, что здесь есть два решения:

и                                                                                                                      (10.23)

.

Это смеси состояний  и . Обозначая их  и  и вставляя для правильной нормировки множитель , имеем

                         (10.24)

и

.                    (10.25)

Мы нашли четверку стационарных состояний и их энергии. Заметьте, кстати, что наши четыре состояния ортогональны друг другу, так что их тоже можно при желании считать базисными состояниями. Задача наша полностью решена.

Фигура 10.2. Диаграмма уровней энергии основного состояния атомарного водорода

У трех состояний энергия равна , а у последнего . Среднее равно нулю, а это означает, что когда в (10.5) мы выбрали , то тем самым мы решили отсчитывать все энергии от их среднего значения. Диаграмма уровней энергии основного состояния водорода будет выглядеть так, как на фиг. 10.2.

Различие в энергиях между состоянием  и любым из остальных равно . Атом, который случайно окажется в состоянии , может оттуда упасть в состояние  и испустить свет: не оптический свет, потому что энергия очень мала, а микроволновой квант. Или, если осветить водородный газ микроволнами, мы заметим поглощение энергии, оттого что атомы в состоянии  будут ее перехватывать и переходить в одно из высших состояний, но все это только на частоте . Эта частота была измерена экспериментально; наилучший результат, полученный сравнительно недавно, таков:

.                                       (10.26)

Ошибка составляет только три стомиллиардных! Вероятно, ни одна из фундаментальных физических величин не измерена лучше, чем эта; таково одно из наиболее выдающихся по точности измерений в физике. Теоретики были очень счастливы, когда им удалось вычислить энергию с точностью до ; но к этому времени она была измерена с точностью до , т.е. в миллион раз точнее, чем в теории. Так что экспериментаторы идут далеко впереди теоретиков. В теории основного состояния атома водорода и вы, и мы находимся в одинаковом положении. Вы ведь тоже можете взять значение  из опыта — и всякому, в конце концов, приходится делать то же самое.

Вы, вероятно, уже слышали раньше о «21-см линии» водорода. Это и есть длина волны спектральной линии в  между сверхтонкими состояниями. Излучение с такой длиной волны испускается или поглощается атомарным водородным газом в галактиках. Значит, с помощью радиотелескопов, настроенных на волны  (или примерно на ), можно наблюдать скорости и расположение сгущений атомарного водорода. Измеряя интенсивность, можно оценить его количество. Измеряя сдвиг в частоте, вызываемый эффектом Допплера, можно выяснить движение газа в галактике. Это одна из великих программ радиоастрономии. Так что мы с вами сейчас ведем речь о чем-то очень реальном, это вовсе не какая-то искусственная задача.