§ 6. Гамильтониам частицы со спином 1/2 в магнитном поле

Обратимся теперь еще к одной системе с двумя состояниями. На этот раз нашим объектом будет частица со спином . Кое-что из того, что мы намерены сказать, затрагивалось уже в предыдущих главах, но повторение поможет нам немного прояснить кое-какие темные места. Покоящийся электрон мы можем считать тоже системой с двумя состояниями. Хотя в этом параграфе мы будем толковать об «электроне», но то, что мы выясним, будет справедливо по отношению ко всякой частице со спином .

Предположим, что в качестве наших базисных состояний  и  мы выбрали состояния, в которых -комнонента спина электрона равна либо , либо . Эти состояния, конечно, те же самые состояния (+) и (—), с которыми мы встречались в прежних главах. Чтобы согласовать эти и прежние обозначения, спиновое состояние  мы будем отмечать «плюсом», а спиновое состояние  — «минусом», причем «плюс» и «минус» относятся к моменту количества движения в направлении .

Всякое мыслимое состояние  электрона можно описать уравнением (8.1), задав амплитуду  того, что электрон находится в состоянии , и амплитуду  того, что он находится в состоянии . Для этого нам понадобится гамильтониан нашей системы с двумя состояниями — электрона в магнитном поле. Начнем с частного случая магнитного поля в направлении .

Пусть вектор  имеет только -компоненту . Из определения двух базисных состояний (что их спины параллельны и антипараллельны ) мы знаем, что они уже являются стационарными состояниями — состояниями с определенной энергией в магнитном поле. Состояние  соответствует энергии, равной  , а состояние  — энергии . В этом случае гамильтониан должен быть очень простым, поскольку на  — амплитуду оказаться в состоянии   не влияет и наоборот:

                               (8.17)

В этом частном случае гамильтониан равен

                              (8.18)

Итак, мы знаем, какой вид имеет гамильтониан, когда магнитное поле направлено по , и знаем еще энергии стационарных состояний.

А теперь пусть поле не направлено по . Каков теперь гамильтониан? Как меняются матричные элементы, когда поле не направлено по ? Мы сделаем предположение, что для членов гамильтониана имеется своего рода принцип суперпозиции. Точнее, мы предположим, что если два магнитных поля налагаются одно на другое, то члены гамильтониана просто складываются: если нам известно  для поля, состоящего из одной только компоненты , и известно  для одной только , то  для поля с компонентами ,  получится простым сложением. Это бесспорно верно, если рассматриваются только поля в направлении : если удвоить , то удвоятся и все ,. Итак, давайте допустим, что  линейно по полю . Чтобы найти , для какого угодно магнитного поля, больше ничего и не нужно.

Пусть у нас есть постоянное поле . Мы бы могли провести нашу ось  в направлении поля и обнаружили бы два стационарных состояния с энергиями . Простой выбор другого направления осей не изменил бы физики дела. Наше описание стационарных состояний стало бы иным, но их энергии по-прежнему были бы , т. е.

                                 (8.19)

Дальше все уже совсем легко. У нас есть формулы для энергий. Нам нужен гамильтониан, линейный по ,  и , который даст именно такие энергии, если применить нашу общую формулу (8.3). Задача — найти гамильтониан. Прежде всего заметим, что энергия расщепляется симметрично и ее среднее значение есть пуль. Взглянув на (8.3), мы сразу же увидим, что для этого требуется

(Заметьте, что это подтверждается тем, что нам уже известно при ; в этом случае  и .) Если теперь приравнять энергии из (8.3) к тому, что нам известно из (8.19), то получится

.                          (8.20)

(Мы использовали таких тот факт, что  так что  может быть записано в виде .) Опять в частном случае поля в направлении  это даст

,

откуда  в этом частном случае равно нулю, что означает, что в  не может войти член с . (Вы помните, что мы говорили о линейности всех членов по ,  и .)

Итак, пока мы узнали, что в  и  входят члены с , а в  и  — нет. Можно попробовать угадать формулы, которые будут удовлетворять уравнению (8.20), написав

и

.                                    (8.21)

Оказывается, что никак иначе этою сделать нельзя!

«Погодите,— скажете вы, -  не линейно. Из (8.21) следует, что . Не  обязательно. Есть  и другая возможность, которая уже линейна, а именно

.

На самом деле таких возможностей не одна, в общем случае можно написать

,

где  — произвольная фаза.

Какой же знак и какую фазу мы обязаны паять? Оказывается, что можно выбрать любой знак и фазу тоже любую, а физические результаты от этого не изменятся. Так что выбор — эти вопрос соглашения. Еще до нас кто-то решил ставить знак минус и брать . Мы можем делать так же и написать

.

(Кстати, эти соглашения связаны и согласуются с тем произволом в выбор фаз, который мы использовали в гл. 4.)

Полный гамильтониан для электрона в произвольном магнитном поле, следовательно,  равен

                         (8.22)

А уравнения для амплитуд  и  таковы:

                          (8.23)

Итак, мы открыли «уравнения движения спиновых состояний» электрона в магнитном поле. Мы угадали их, пользуясь некоторыми физическими аргументами, но истинная проверка всякого гамильтониана заключается я том, что он обязан давать предсказания, согласующиеся с экспериментом. Из всех сделанных проверок следует, что эти уравнения правильны. Более того, хотя все наши рассуждения относились к постоянному полю, написанный нами гамильтониан правилен и тогда, когда магнитные поля меняются со временем. Значит, мы теперь можем применять уравнения (8.2о) для решения всевозможных интересных задач.