§ 7. Вращающийся электрон в магнитном поле

Пример первый: пусть сначала имеется постоянное поле в направлении . Ему соответствуют два стационарных состояния с энергиями . Добавим небольшое поле в направлении . Тогда уравнения получатся такими же, как в нашей старой задаче о двух состояниях. Опять, в который раз, получается знакомый уже нам переброс, и уровни энергии немного расщепляются. Пусть, далее, -компонента поля начнет меняться во времени, скажем, как . Тогда уравнения станут такими, как для молекулы .аммиака и колеблющемся электрическом пале (см. гл. 7). И тем же способом, что и прежде, вы можете рассчитать процесс во всех деталях. При этом вы увидите, что колеблющееся поле приводит к переходам от -состояния к -состоянию и обратно, если только горизонтальное поле колеблется с частотой, близкой к резонансной, . Это приводит к квантовомеханической теории явлений магнитного резонанса, описанной нами в гл. 35 (вып. 7).

Фигура 8.10. Направление  определяется полярным углом  и азимутальным углом

Можно еще сделать мазер, в котором используется система со спином . Прибор Штерна — Герлаха создает пучок частиц, поляризованных, скажем, в направлении , и они потом направляются в полость, находящуюся в постоянном магнитном поле. Колеблющиеся в полости поля, взаимодействуя с магнитным моментом, вызовут переходы, которые будут снабжать полость энергией.

Рассмотрим теперь второй пример. Пусть у нас имеется магнитное поле , направление которого характеризуется полярным углом  и азимутальным углом  (фиг. 8.10). Допустим еще, что имеется электрон, спин которого направлен по полю. Чему равны амплитуды  и  для этого электрона? Иными словами, обозначая состояние электрона , мы хотим написать

,

где  и  равны

а  и  обозначают то же самое, что раньше обозначалось  и  (по отношению к выбранной нами оси ).

Ответ на этот вопрос также содержится в наших общих уравнениях для систем с двумя состояниями. Во-первых, мы знаем, что раз спин электрона параллелен , то электрон находится в стационарном состоянии с энергией . Поэтому и , и должны изменяться как  [см. уравнение (7.18)]; и их коэффициенты  и  даются формулой (8.5):

.                         (8.24)

Вдобавок  и  должны быть нормированы так, чтобы было . Величины  и  мы можем взять из (8.22), используя равенства

.

Тогда мы имеем

                     (8.25).

Кстати, скобка во втором уравнении есть просто , так что проще писать

                                     (8.28)

Подставляя эти матричные элементы в (8.24) и сокращая на , находим

.                                                (8.27)

Зная это отношение и зная условие нормировки, можно найти и , и . Сделать это нетрудно, но мы сократим нуть, прибегнув к одному трюку. Известно, что  и  Значит, (8.27) совпадает с

.                                        (8.28)

Один из ответов, следовательно, таков:

.                                   (8.29)

Он удовлетворяет и уравнению (8.28), и условию

.

Вы знаете, что умножение  и  на произвольный фазовый множитель ничего не меняет. Обычно формуле (8.29) предпочитают более симметричную запись, умножая на . Принято писать так:

.                                    (8.30)

Это и есть ответ на наш вопрос. Числа  и  — это амплитуды того, что электрон будет замечен спином вверх или вниз (но отношению к оси ), если известно, что его спин направлен вдоль оси . [Амплитуды  и  равны просто  и , умноженным на .]

Заметьте теперь занятную пещь. Напряженность  магнитного поля нигде в (S.30) не появляется. Тот же результат, разумеется, получится в пределе, если поле  устремить к нулю. Это означает, что мы дали общий ответ на вопрос, как представлять частицу, спин которой направлен вдоль произвольной оси. Амплитуды (8.30) — это проекционные амплитуды для частиц со спином , подобные проекционным амплитудам для частиц со спином 1, приведенным в гл. 3 [уравнения (3.38)]. Теперь мы сможем находить для фильтрованных пучков частиц со спином  амплитуды проникновения через тот или иной фильтр Штерна — Герлаха.

Пусть  представляет состояние со спином, направленным по оси  вверх, а  — состояние со спином вниз. Если представляет состояние со спином, направленным вверх по оси , образующей с осью  углы  и , то в обозначениях гл. 3 мы имеем

.                          (8.31)

Эти результаты эквивалентны тому, что мы нашли из чисто геометрических соображений в гл. 4 [уравнение (4.36)], (Если вы в свое время решили пропустить гл. 4, то вот перед вами один из ее существенных результатов.)

Напоследок вернемся еще раз к тому примеру, о котором уже не раз говорилось. Рассмотрим такую задачу. "Сперва имеется электрон с определенным образом направленным спином, затем на 25 минут включается магнитное поле в направлении , а затем выключается. Каким окажется конечное состояние? Опять представим состояние в виде линейной комбинации . Но в нашей задаче состояния с определенной энергией являются одновременно нашими базисными состояниями  и . Значит,  и  меняются только по фазе. Мы знаем, что

и

Мы сказали, что вначале у спина электрона было определенное направление. Это означает, что вначале  и  были двумя числами, определяемыми формулами (8.30). Переждав  секунд, новые  и  мы получим из прежних умножением соответственно на / и . Что это будут за состояния? Узнать это легко, ведь это все равно, что измеить угол , вычтя из него , и не трогать угол .

Это значит, что к концу интервала времени  состояние  будет представлять электрон, выстроенный в направлении, отличающемся от первоначального только поворотом вокруг оси  на угол . Раз этот угол пропорционален , то можно говорить, что направление спина прецессирует вокруг оси  с угловой скоростью . Этот результат мы уже получали раньше несколько раз, но не так полно и строго. Теперь мы получили полное и точное квантовомеханическое описание прецессии атомных магнитов.

Любопытно, что математические идеи, которые мы только что применили к электрону, вращающемуся в магнитном ноле, применимы и для любой системы с двумя состояниями. Это означает, что, проведя математическую аналогию с вращающимся электроном, можно при помощи чисто геометрических рассуждений решить любую задачу для двухуровневой системы. Сперва вы сдвигаете энергию так, чтобы  было равно нулю (так что ). И тогда любая задача о такой системе формально совпадет с задачей об электроне в магнитном поле. Вам нужно будет только отождествить  с , a  с . И неважно, какая физика там была первоначально — молекула ли аммиака или что другое, — вы можете перевести ее на язык соответствующей задачи об электроне. Стало быть, если мы в состоянии решить в общем случае задачу об электроне, мы уже решили все задачи о двух состояниях.

А общее решение для электронов у нас есть! Пусть вначале электрон обладает определенным состоянием, в котором спин направлен вверх по некоторому направлению, а магнитное поле  — в какую-то другую сторону. Вращайте просто направление спина вокруг оси  с векторной угловой скоростью . равной некоторой константе, умноженном на вектор  (а именно ). Если  меняется со временем, двигайте по-прежнему ось вращения  так, чтобы  она оставалась параллельной , и изменяйте скорость вращения так, чтобы она все время была пропорциональна напряженности  (фиг. 8.11). Если все время это делать, вы остановитесь на какой-то конечной ориентации спиновой оси, и амплитуды  и  получатся просто как ее проекции [при помощи (8.30)] на вашу систему координат.

Фигура 8.11. Направление спина электрона и изменяющемся магнитном поле  прецессирует с частотой  вокруг оси, параллельной

Вы видите, что задача эта чисто геометрическая: надо заметить, где закончились все ваши вращения. Хотя сразу видно, что для этого требуется, но эту геометрическую задачу (отыскание окончательного итога вращений с переменным вектором угловой скорости) нелегко в общем случае решить явно. Во всяком случае, мы в принципе видим общее решение любой задачи для двух состояний. В следующей главе мы глубже исследуем математическую технику обращения с частицами спина  и, следовательно, обращения с системами, обладающими двумя состояниями, в общем случае.