2.2. Прогноз по регрессии

На основе регрессионной модели

можно находить прогноз зависимой (эндогенной) переменной у, зная соответствующие значения независимых (экзогенных) переменных Допустим, для линейной регрессии (2.18) выполняются все предположения По статистике за прошлое мы можем оценить вектор Перед нами стоит задача оценки где Предположим, прогноз вектора независимых переменных известен точно. В качестве оценки естественно рассмотреть

Поскольку есть величина случайная, то употребление термина «оценивание» будет несколько некорректно. Говорим, что некоторая оценка несмещенно оценивает если математическое ожидание этой оценки равно

Теорема 2.6. Прогноз (2.19) является несмещенным, эффективным в классе линейных несмещенных прогнозов с дисперсией

Доказательство. Несмещенность прогноза доказывается просто:

Докажем его эффективность. По условию прогноз будем искать в классе линейных несмещенных прогнозов. Необходимо найти наилучший прогноз По договоренности может быть записан в виде линейной комбинации предыдущих наблюдений т. е.

где вектор коэффициентов при у. В силу несмещенности а для

любых Поэтому условие несмещенности может быть записано:

Найдем дисперсию прогноза (2.21). Имеем

в силу некоррелируемости Далее

Итак, задача оптимального линейного несмещенного прогноза сводится к нахождению такого вектора с что при условии несмещенности (2.22). Построим функцию Лагранжа

Тогда откуда Подставим это значение в выражение (2.23) и снова продифференцируем по с, получим

но с учетом (2.22)

откуда окончательно а это как раз соответствует с при использовании оценки МНК.

Таким образом, оптимальный линейный несмещенный прогноз также приводит к оценке МНК.

Замечания: 1. При построении прогноза естественно допускается, что удовлетворяет уравнению регрессии (2.18). Таким образом, считается, что структура модели в будущем не изменится.

2. Вместо «оценивания» реального значения можно оценивать его т. е. ххсс. Тогда за счет отсутствия случайной ошибки дисперсия прогноза (2.19) будет на меньше, т. е. будет равна:

3. Формулы (2.20) не годятся в качестве статистик, так как содержат неизвестный параметр Несмещенной оценкой дисперсии прогноза в форме (2.20) будет

где несмещенная оценка

Наиболее часто регрессионную модель используют в двух целях:

1) исследователя интересуют сами коэффициенты качественный анализ регрессии. При этом оптимальным является метод наименьших квадратов;

2) коэффициенты необходимы постольку, поскольку они необходимы для построения прогноза для Как следует из теоремы 2.6, оптимальной оценкой здесь также будет оценка МНК.

Разумнее прогноз делать не точечный, а интервальный. Для построения доверительного интервала необходимо задаться распределением ошибок. Допустим, как и ранее, отклонение независимо от Можно показать, что доверительный интервал

является несмещенным, равномерно наиболее точным с коэффициентом доверия т. е.

Упражнения 2.2

(см. скан)