Часть третья. НЕЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ

Глава 7. ЧИСЛЕННОЕ НАХОЖДЕНИЕ ОЦЕНКИ МНК

7.1. Основные определения. Постановка задачи

Основным предположением рассматриваемых до сих пор взаимосвязей было предположение линейности входящих параметров. Теперь мы откажемся от него и будем рассматривать нелинейные регрессии. По аналогии с (1.1) нелинейную регрессию можно записать в следующем виде:

В уравнении (7.1) по-прежнему зависимая переменная, независимые переменные, отвечающие номеру наблюдения вектор неизвестных параметров, подлежащий оцениванию, случайное отклонение. Функция может иметь самый общий вид. Для нелинейной регрессии (7.1) так же, как и для ее прототипа (1.1), будем считать выполненными следующие предположения: множество априорных значений а есть все пространство детерминированы.

Вместо (7.1) удобнее пользоваться другой тождественной записью нелинейной регрессии:

где

Число типов нелинейных регрессий, встречающихся в практике расчетов, так велико, что мы не будем даже пытаться описывать их. Заметим лишь, что часто можно встретить регрессии, линейные в логарифмах, для которых

где В этот класс входят тренды

Класс (7.3) содержит также производственные функции Кобба-Дугласа

Продолжим пример с регрессией результатов химического эксперимента (параграф 1.1). Вместо линейной зависимости между переменными (1.5) теперь будет нелинейная. Допустим, зависимость между выражается линейной функцией (относительно параметров) в логарифмах:

или в виде (7.3):

где Значения могут быть интерпретированы следующим образом: при изменении на 1% (при остальных фиксированных независимых переменных) значение у увеличивается на Величины называют эластичностями .

Функции будем считать непрерывными на Часто, кроме непрерывности, будем требовать дифференцируемость функций.

Основным методом оценивания в линейной регрессии является метод наименьших квадратов. Принцип минимизации суммы квадратов отклонений легко обобщается и на нелинейную регрессию. Под оценкой МНК нелинейной регрессии (7.2) будем понимать то значение вектора а для которого сумма квадратов отклонений

принимает минимальное значение, т. е. оценка МНК есть

Нетрудно показать, что если отклонения нормальны, т. е. то оценка МНК совпадает с оценкой метода максимального правдоподобия. Действительно, в случае нормальных отклонений независимы между собой. Поэтому плотность выборки равна:

Максимизация плотности очевидно, соответствует минимизации суммы квадратов отклонений (7.6), т. е. оценки МНК и ММП совпадают.

В линейной регрессии минимизируется аналогичная сумма квадратов отклонений. Однако в линейном случае минимум находится сравнительно просто — как решение системы линейных нормальных уравнений. В нелинейном случае система нормальных уравнений ничего не дает, так как теперь она нелинейна по а, и поэтому непосредственно ее решить нельзя.

Рис. 7.1. Возможные графики суммы квадратов отклонений: а) оценка МНК неединствеина, ; б) а — истинная оценка, ложная оценка, отвечающая локальному минимуму

На практике чаще бывает удобнее найти минимум чем решить соответствующую систему нормальных уравнений.

Более того, оценка МНК для нелинейной регрессии вообще может не существовать; таким образом, запись (7.7) в некоторых случаях является некорректной. Для примера рассмотрим нелинейную регрессию т. е. Пусть наблюдения таковы, что Тогда соответствующая сумма квадратов отклонений равна:

Инфимум функции (7.8) равен нулю. Он не достигается ни в одной точке, так как при а оценки МНК не существует. В [109] приведен практический пример, где оценка МНК не существует.

В нелинейной регрессии может существовать несколь ко оценок МНК, приводящих к одному и тому же значению суммы квадратов отклонений (рис. 7.1). По определению оценка МНК отвечает глобальному минимуму суммы квадратов отклонений. На практике случай, показанный на рис. 7.1, а, встречается редко. Как правило, имеем ситуацию, изображенную на рис. 7.1, б, где ложное значение оценки МНК, отвечающее локальному минимуму , а — истинная оценка МНК.

Рис. 7.2. Геометрия МНК нелинейной регрессии,

Распознать, какое из значений оценок является ложным, а какое — истинным, довольно затруднительно. Эта проблема подробно обсуждается в параграфе 7.6.

Остановимся на геометрическом смысле оценки МНК в нелинейной регрессии. Совокупность функций-регрессий задает отображение из пространства в пространство Это отображение будем обозначать При отображении переходит в некоторое множество в пространстве т. е. в образ Обозначим это множество оно представляет собой поверхность размерности (рис. 7.2). Помимо задана точка у, отвечающая выборке регрессии. Задача заключается в том, чтобы на поверхности найти точку, наименее удаленную от у. При этом значение суммы квадратов отклонений (7.6) будет минимальным. Обозначим эту точку т. е.

Для того чтобы найти оценку МНК, необходимо совершить обратную операцию: по заданному значению образа отображения восстановить значение аргумента: а является оценкой МНК. Напомним, что в линейной регрессии поверхность представляет собой линейное пространство размерности натянутое на векторы

Обратное отображение к заданное на должно существовать, т. е. каждой точке должна соответствовать единственная точка а для которой (см. рис. 7.2). В противном случае оценка МНК не будет единственной. Нелинейную регрессию, в которой отображение взаимно-однозначно, будем называть идентифицируемой. Другими словами, регрессия (7.2) идентифицируема, если для любых из равенства следует В дальнейшем все рассматриваемые регрессии будем считать идентифицируемыми.

Найдем условия, при которых регрессия (7.3) с функциями, линейными в логарифмах, идентифицируема. Пусть «1, «2 в для всех т. е. или

Ясно, что (7.9) влечет равенство только если система векторов имеет ранг, равный Таким образом, регрессия, линейная в логарифмах, идентифицируема, если где матрица X имеет своими строками

Упражнения 7.1

(см. скан)

(см. скан)