Главная > Линейная и нелинейная регрессии
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Часть третья. НЕЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ

Глава 7. ЧИСЛЕННОЕ НАХОЖДЕНИЕ ОЦЕНКИ МНК

7.1. Основные определения. Постановка задачи

Основным предположением рассматриваемых до сих пор взаимосвязей было предположение линейности входящих параметров. Теперь мы откажемся от него и будем рассматривать нелинейные регрессии. По аналогии с (1.1) нелинейную регрессию можно записать в следующем виде:

В уравнении (7.1) по-прежнему зависимая переменная, независимые переменные, отвечающие номеру наблюдения вектор неизвестных параметров, подлежащий оцениванию, случайное отклонение. Функция может иметь самый общий вид. Для нелинейной регрессии (7.1) так же, как и для ее прототипа (1.1), будем считать выполненными следующие предположения: множество априорных значений а есть все пространство детерминированы.

Вместо (7.1) удобнее пользоваться другой тождественной записью нелинейной регрессии:

где

Число типов нелинейных регрессий, встречающихся в практике расчетов, так велико, что мы не будем даже пытаться описывать их. Заметим лишь, что часто можно встретить регрессии, линейные в логарифмах, для которых

где В этот класс входят тренды

Класс (7.3) содержит также производственные функции Кобба-Дугласа

Продолжим пример с регрессией результатов химического эксперимента (параграф 1.1). Вместо линейной зависимости между переменными (1.5) теперь будет нелинейная. Допустим, зависимость между выражается линейной функцией (относительно параметров) в логарифмах:

или в виде (7.3):

где Значения могут быть интерпретированы следующим образом: при изменении на 1% (при остальных фиксированных независимых переменных) значение у увеличивается на Величины называют эластичностями .

Функции будем считать непрерывными на Часто, кроме непрерывности, будем требовать дифференцируемость функций.

Основным методом оценивания в линейной регрессии является метод наименьших квадратов. Принцип минимизации суммы квадратов отклонений легко обобщается и на нелинейную регрессию. Под оценкой МНК нелинейной регрессии (7.2) будем понимать то значение вектора а для которого сумма квадратов отклонений

принимает минимальное значение, т. е. оценка МНК есть

Нетрудно показать, что если отклонения нормальны, т. е. то оценка МНК совпадает с оценкой метода максимального правдоподобия. Действительно, в случае нормальных отклонений независимы между собой. Поэтому плотность выборки равна:

Максимизация плотности очевидно, соответствует минимизации суммы квадратов отклонений (7.6), т. е. оценки МНК и ММП совпадают.

В линейной регрессии минимизируется аналогичная сумма квадратов отклонений. Однако в линейном случае минимум находится сравнительно просто — как решение системы линейных нормальных уравнений. В нелинейном случае система нормальных уравнений ничего не дает, так как теперь она нелинейна по а, и поэтому непосредственно ее решить нельзя.

Рис. 7.1. Возможные графики суммы квадратов отклонений: а) оценка МНК неединствеина, ; б) а — истинная оценка, ложная оценка, отвечающая локальному минимуму

На практике чаще бывает удобнее найти минимум чем решить соответствующую систему нормальных уравнений.

Более того, оценка МНК для нелинейной регрессии вообще может не существовать; таким образом, запись (7.7) в некоторых случаях является некорректной. Для примера рассмотрим нелинейную регрессию т. е. Пусть наблюдения таковы, что Тогда соответствующая сумма квадратов отклонений равна:

Инфимум функции (7.8) равен нулю. Он не достигается ни в одной точке, так как при а оценки МНК не существует. В [109] приведен практический пример, где оценка МНК не существует.

В нелинейной регрессии может существовать несколь ко оценок МНК, приводящих к одному и тому же значению суммы квадратов отклонений (рис. 7.1). По определению оценка МНК отвечает глобальному минимуму суммы квадратов отклонений. На практике случай, показанный на рис. 7.1, а, встречается редко. Как правило, имеем ситуацию, изображенную на рис. 7.1, б, где ложное значение оценки МНК, отвечающее локальному минимуму , а — истинная оценка МНК.

Рис. 7.2. Геометрия МНК нелинейной регрессии,

Распознать, какое из значений оценок является ложным, а какое — истинным, довольно затруднительно. Эта проблема подробно обсуждается в параграфе 7.6.

Остановимся на геометрическом смысле оценки МНК в нелинейной регрессии. Совокупность функций-регрессий задает отображение из пространства в пространство Это отображение будем обозначать При отображении переходит в некоторое множество в пространстве т. е. в образ Обозначим это множество оно представляет собой поверхность размерности (рис. 7.2). Помимо задана точка у, отвечающая выборке регрессии. Задача заключается в том, чтобы на поверхности найти точку, наименее удаленную от у. При этом значение суммы квадратов отклонений (7.6) будет минимальным. Обозначим эту точку т. е.

Для того чтобы найти оценку МНК, необходимо совершить обратную операцию: по заданному значению образа отображения восстановить значение аргумента: а является оценкой МНК. Напомним, что в линейной регрессии поверхность представляет собой линейное пространство размерности натянутое на векторы

Обратное отображение к заданное на должно существовать, т. е. каждой точке должна соответствовать единственная точка а для которой (см. рис. 7.2). В противном случае оценка МНК не будет единственной. Нелинейную регрессию, в которой отображение взаимно-однозначно, будем называть идентифицируемой. Другими словами, регрессия (7.2) идентифицируема, если для любых из равенства следует В дальнейшем все рассматриваемые регрессии будем считать идентифицируемыми.

Найдем условия, при которых регрессия (7.3) с функциями, линейными в логарифмах, идентифицируема. Пусть «1, «2 в для всех т. е. или

Ясно, что (7.9) влечет равенство только если система векторов имеет ранг, равный Таким образом, регрессия, линейная в логарифмах, идентифицируема, если где матрица X имеет своими строками

Упражнения 7.1

(см. скан)

(см. скан)

1
Оглавление
email@scask.ru