Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Часть третья. НЕЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯГлава 7. ЧИСЛЕННОЕ НАХОЖДЕНИЕ ОЦЕНКИ МНК7.1. Основные определения. Постановка задачиОсновным предположением рассматриваемых до сих пор взаимосвязей было предположение линейности входящих параметров. Теперь мы откажемся от него и будем рассматривать нелинейные регрессии. По аналогии с (1.1) нелинейную регрессию можно записать в следующем виде:
В уравнении (7.1) по-прежнему Вместо (7.1) удобнее пользоваться другой тождественной записью нелинейной регрессии:
где Число типов нелинейных регрессий, встречающихся в практике расчетов, так велико, что мы не будем даже пытаться описывать их. Заметим лишь, что часто можно встретить регрессии, линейные в логарифмах, для которых
где
Класс (7.3) содержит также производственные функции Кобба-Дугласа
Продолжим пример с регрессией результатов химического эксперимента (параграф 1.1). Вместо линейной зависимости между переменными (1.5) теперь будет нелинейная. Допустим, зависимость между
или в виде (7.3):
где Функции Основным методом оценивания в линейной регрессии является метод наименьших квадратов. Принцип минимизации суммы квадратов отклонений легко обобщается и на нелинейную регрессию. Под оценкой МНК нелинейной регрессии (7.2) будем понимать то значение вектора а
принимает минимальное значение, т. е. оценка МНК есть
Нетрудно показать, что если отклонения нормальны, т. е.
Максимизация плотности В линейной регрессии минимизируется аналогичная сумма квадратов отклонений. Однако в линейном случае минимум
Рис. 7.1. Возможные графики суммы квадратов отклонений: а) оценка МНК неединствеина, На практике чаще бывает удобнее найти минимум Более того, оценка МНК для нелинейной регрессии вообще может не существовать; таким образом, запись (7.7) в некоторых случаях является некорректной. Для примера рассмотрим нелинейную регрессию
Инфимум функции (7.8) равен нулю. Он не достигается ни в одной точке, так как В нелинейной регрессии может существовать несколь ко оценок МНК, приводящих к одному и тому же значению суммы квадратов отклонений (рис. 7.1). По определению оценка МНК отвечает глобальному минимуму суммы квадратов отклонений. На практике случай, показанный на рис. 7.1, а, встречается редко. Как правило, имеем ситуацию, изображенную на рис. 7.1, б, где
Рис. 7.2. Геометрия МНК нелинейной регрессии, Распознать, какое из значений оценок является ложным, а какое — истинным, довольно затруднительно. Эта проблема подробно обсуждается в параграфе 7.6. Остановимся на геометрическом смысле оценки МНК в нелинейной регрессии. Совокупность функций-регрессий
Для того чтобы найти оценку МНК, необходимо совершить обратную операцию: по заданному значению образа отображения Обратное отображение к Найдем условия, при которых регрессия (7.3) с функциями, линейными в логарифмах, идентифицируема. Пусть «1, «2 в
Ясно, что (7.9) влечет равенство Упражнения 7.1(см. скан) (см. скан)
|
1 |
Оглавление
|