4.8. Доказательства

1. Доказательство теоремы 4.1. Прежде всего докажем следующий факт: пусть стохастическая симметричная матрица порядка тхпг, причем детерминированная матрица, тогда следует непрерывности характеристических чисел относительно элементов матрицы [53, с. 206]. Отсюда

Перейдем к доказательству теоремы. Поскольку размерность матрицы А равна а ее ранг то Для любого истинного значения вектора параметров удовлетворяющих (4.15), имеем

Поскольку то существует единственный вектор для которого Пусть — любая сходящаяся подпоследовательность последовательности причем Сильная сходимость влечет сходимость по вероятности, т. е. Докажем, что тогда для этого достаточно показать, что

Ранее было показано, что

С учетом (4.50)

поэтому

Теперь покажем, что с вероятностью 1. Пусть любая точка выборочного пространства. Поскольку то найдется хотя бы одна сходящаяся подпоследовательность было показано, что тогда Значит, с вероятностью

2. Нахождение матрицы С из выражения (4.27). Перепишем (4.27), подставляя вместо ее оценку вместо его оценку вместо оценку

причем С находим из условия Обозначим

— характеристические числа матрицы Характеристические векторы, соответствующие этим числам, обозначим Пусть ортогональная матрица, столбцы которой — суть х.в. матрицы По определению где Умножим (4.51) слева на и справа на получим

Обозначим Умножим (4.52) слева и справа на получим

Обозначим -матрица, совпадающая с за исключением последнего столбца, который равен нулю. Очевидно, Умножим (4.53) слева на и справа на получим

где матрица совпадает с матрицей С, за исключением последней строки и последнего столбца, которые в матрице равны нулю. По построению матрицы в которой последний столбец равен имеем откуда что в свою очередь ведет к тому, что последнее слагаемое в выражении (4.54) обращается в нуль. Окончательно матрица ковариаций для может быть приближенно определена как

Для того чтобы найти дисперсию (т. е. ), воспользуемся условием Разбивая матрицу V и вектор на подвекторы, получим

здесь матрица вектор-столбец вектор-столбец Из выражения (4.56) получаем с откуда

Часто нас интересуют параметры, нормализованные условием что соответствует уравнению исходной модели (4.1). Поэтому нас также интересуют асимптотические дисперсии Их можно вычислить на основе матрицы (4.54). Рассмотрим отношение как функцию двух переменных. Разложим эту функцию в ряд Тейлора до линейных членов в окрестности тогда

откуда

С помощью формулы (4.57) можно находить приближенные дисперсии оценок Для этого необходимо вместо истинных значений (3; подставить в (4.57) их оценки

(см. скан)

Рассмотрим первое слагаемое. В силу предположения поэтому

Математические ожидания второго—пятого слагаемых равны нулю в силу независимости Далее имеем

В этой сумме слагаемые не равны нулю, только если При этом поэтому

Математическое ожидание седьмого слагаемого в силу независимости также равно нулю. В восьмом слагаемом типичным является присутствие ей. Предположим, что для этого достаточно предположить, что имеют симметричное распределение относительно нуля. Тогда восьмого слагаемого также равно нулю. Девятое слагаемое равно нулю в силу независимости и о. десятого и одиннадцатого слагаемых равны иулю по тем же причинам, что и восьмого. Далее имеем для

Слагаемые в последней сумме не равны нулю, только если Тогда

Поэтому

М. о. тринадцатого и четырнадцатого слагаемых в силу независимости равны нулю. Для пятнадцатого слагаемого

при и равно нулю при т. е.

М. о. последнего слагаемого в силу независимости равно нулю. Обозначим

тогда окончательно