6.2. Строгая мультиколлинеарность

Напомним, что под этим понимается случай Тогда обычная формула для нахождения оценки МНК неприменима, так как матрица также имеющая ранг необратима в обычном смысле слова, а регрессия становится неидентифицируемой [24]. Однако если под оценкой МНК понимать по-прежнему те значения которые обращают сумму квадратов отклонений в минимум, то в случае строгой мультиколлинеарности существует целое линейное многообразие оценок МНК:

Размерность а равна (см. задачу 3 упражнения 1.1). Как найти семейство Для этого воспользуемся понятием обобщенной обратной матрицы или -обратной матрицы. Пусть А — матрица порядка -обратной или обобщенной обратной матрицей к Матрице А назовем такую матрицу А - порядка что [58, с. 39].

Основные свойства обобщенных обратных матриц:

1. Для любого для которого система совместна, является ее решением.

2. - идемпотентная матрица.

3. Для любой матрицы существует хотя бы одна обобщенная обратная матрица, которая не обязательно единственна.

4. Пусть диагональная матрица последние диагональных элементов которой равны нулю, а первые ненулевые. Обозначим через такую диагональную матрицу что для для Тогда является обобщенной обратной матрицей к матрице А.

5. Если А — квадратная и симметричная матрица ту, то может быть построена следующим образом. Обозначим через ортогональную матрицу сводящую А к диагональной, т. е. где характеристическое число матрицы А. Тогда матрица является обобщенной обратной матрицей к матрице А. Эта матрица называется обратной матрицей Мура-Пенроуза [56, с. 40) и обозначается

Как следует из свойства 1, оценка

является одним из членов семейства оценок МНК. Более подробно об оценках см. [4].

На практике мультиколлинеарность в строгом смысле не встречается. Как правило, независимые переменные являются результатом измерения и поэтому содержат ошибки. Это ведет к тому, что даже если истинные значения линейно зависимы, то теоретически матрица невырождена, хотя и плохо определена.