3.4. Доказательства

1. Доказательство Обозначим плотносгь распределения случайной величины тогда

Известно, чтсэ плотность распределения условной случайной величины есть поэтому

Окончательно,

что совпадает Формула доказана.

2. Доказательство теоремы 3.4. Для доказательству теоремы достаточно показать, что (3.18) эквивалентно

Достаточность. Пусть (3.18) имеет место. В силу неотрицательной определенности матрицы для любого

Нетрудно показать, что Применяя теорему об интегрировании монотонной последовательности, получаем а значит, и

Необходимость. Пусть условие состоятельности (3.27) имеет место. Ьзоспользуемся следующим фактом: пусть случайные интегрируемые величины, причем тогда п. н. (Доказательство: пусть положим сужение на но мера А равна нулю.) Поскольку последовательность невозрастающая, то п. н., значит,

3. Доказательство теоремы 3.6. Обозначим По условию где

Регрессия у на х будет равна [5]:

Поскольку в регрессии свободный член отсутствует, то

Пусть - независимы, одинаково распределены с Известно (см., например, [5]), что оценками ММП для являются соответственно Далее воспользуемся следующим злементарным фактом: если оценка ММП параметра то является оценкой ММП для Поэтому для доказательства равенства оценок МНК и ММП достаточно показать, что

Формально перепишем (3.29).

Умножим (3.30) слева на матрицу

или для оценки МНК имеет место равенство (см. параграф 1.6), т. е.

Делая обратные преобразования, приходим к -теорема доказана.