8.2. УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ

Покажем, что время (как число битовых операций) умножения целых чисел равно с точностью до постоянного множителя времени деления и оно так же связано с операциями возведения в квадрат и обращения. В данном разделе мы будем употреблять такие обозначения:

время умножения двух целых чисел размера n

время деления целого числа размера не более на целое число размера n

время возведения в квадрат целого числа размера n время обращения целого числа размера

Здесь время измеряется числом битовых операций. Мы будем предполагать (что вполне разумно), что удовлетворяет неравенствам

для Предполагаем, что остальные три функции также обладают этим свойством.

Сначала покажем, что -разрядное двоичное целое число можно обратить по существу за то же время, что и умножить два -разрядных двоичных числа. Так как не является целым числом для то под "обратным" к числу мы на самом деле понимаем приближение к дроби имеющее значащих двоичных разрядов (битов).

Поскольку предполагается, что на изменение масштаба (сдвиг двоичной запятой) время не тратится, мы можем с тем же успехом сказать, что "обратное" к числу частное отделения на . В остальной части этого раздела термин "обратное" употребляется именно в этом смысле.

Сначала рассмотрим, как найти последовательные приближения к числу где целое. Пусть будет приближением к Тогда точное значение А можно представить в виде

Если в (8.1) взять в качестве приближения к число то получим формулу

которую можно использовать для нахождения приближения числа А по его приближению. Заметим, что если то

Это показывает, что итерация по формуле (8.2) дает квадратичную скорость сходимости. Если то число правильных двоичных разрядов удваивается при каждой итерации.

Поскольку число предположительно содержит много двоичных разрядов, то для первых приближений не обязательно брать все его цифры, потому что на правильные цифры числа влияют только старшие разряды в Если в первые цифр справа от запятой верны, то цифр числа можно найти по формуле (8.2). Иными словами, для вычисления берем в только цифр справа от запятой и находим используя -разрядное приближение числа и отбрасывая затем все разряды правее после запятой. Подобное использование приближенных значений может, конечно, повлиять на сходимость, так как ранее предполагалось, что число точно.

Применим эти соображения в алгоритме, вычисляющем частное где — это -разрядное двоичное целое с Метод по существу определяется формулой (8.2), к которой добавлено изменение масштаба (перенос запятой), чтобы можно было работать только с целыми числами. Таким образом, не надо заботиться о положении запятой.

Алгоритм 8.1. Обращение целых чисел

Вход, -разрядное двоичное целое число Для удобства предполагаем,что - степень числа целое число с двоичной записью х (например,

Выход. Целое число равное

Метод. Вызываем где ОБРАТНОЕ - рекурсивная процедура, приведенная на рис. 8.1. Она вычисляет

Рис. 8.1. Процедура для обращения целых чисел.

приближение любого являющегося степенью числа 2. Заметим, что в результате обычно получается -разрядное число. Исключение составляет случай, когда степень числа 2; здесь в результате получится -разрядное число.

По данным битам числа, обратного строки 2—4 вычисляют битов числа, обратного к Строки 5—7 корректируют последние три бита. На практике можно было бы перескочить через строки 5—7 и получить нужную точность дополнительным применением формулы (8.2) в конце. Мы предпочли включить в программу цикл в строках 5—7, чтобы упростить понимание алгоритма и доказательство правильности его работы.

Пример 8.1. Вычислим Здесь . Вызываем ([10011001]), которое по очереди рекурсивно вызывает с аргументами 11001], [10] и [1]. В строке 1 находим и возвращаемся к ([10]) в строке 2, где полагаем Затем в строке 3 вычисляем

Далее в строке 4 полагаем Цикл в строках 5—7 ничего не меняет. Возвращаемся к вызову ([1001]) с [100] в качестве приближения к

В строке 2 при имеем Тогда Снова цикл в строках 5—7 не приводит к изменениям. Возвращаемся к ([10011001]) в строке 2, причем Далее

Следовательно, в строке В строке 6 находим, что (т. е. 213153 в десятичной записи) равно 32589, тогда как Поэтому цикл в строках 5—7 добавляет 1 к 213, что дает 214, или в двоичной записи.

Теорема 8.1. Алгоритм 8.1 находит такое число что

Доказательство. Доказательство проводится индукцией по Базис, т. е. случай тривиален в силу строки 1. Для проведения шага индукции положим Тогда По предположению индукции

где В силу строки определяется равенством

Так как то значит, Отсюда следует, что и потому для представления достаточно битов.

Рассмотрим произведение равное в силу (8.3)

Подставив вместо в (8.4) и сделав некоторые алгебраические упрощения, получаем

Разделив (8.5) на видим, что

где По предположению индукции и в силу неравенства имеем Так как то

В строке Далее,

так что из (8.6) вытекает

Поэтому

где Так как то прибавление к числа, не превосходящего 6, дает число, удовлетворяющее предположению индукции для Поскольку именно это и делается в строках 5—7, то шаг индукции выполнен.

Теорема 8.2. Существует такая постоянная с, что

Доказательство. Достаточно показать, что алгоритм 8.1 тратит времени. На строку 2 уходит битовых операций. Строка 3 состоит из возведения в квадрат и умножения, что требует соответственно времени, а также вычитания, расходующего Об времени. Заметим, что умножение на степени числа 2 не тратит битовых операций; мы считаем, что разряды сомножителей просто занимают новые положения, т. е. они будто бы сдвигаются. В силу нашего предположения справедливо неравенство Кроме того, (см., например, разд. 2.6) и, значит, сложность строки 3 ограничена величиной для некоторой постоянной с. Сложность строки 4 равна, очевидно, Об

Может показаться, что цикл в строках 5—7 требует три умножения, но можно проделать необходимые вычисления за одно умножение и несколько сложений и вычитаний не более чем -разрядных двоичных целых чисел. Поэтому сложность строк 5—7 ограничена величиной для некоторой постоянной Объединяя все эти сложности, заключаем, что

для некоторой постоянной

Мы утверждаем, что найдется такая постоянная с, что Можно выбрать с так, чтобы было Докажем наше утверждение индукцией по Базис, т. е. случай очевиден. Шаг индукции получается в силу (8.7),

поскольку

Так как в силу нашего предположения а оценка очевидна, можно переписать (8.8) в виде

Поскольку то из (8.9) следует, что

Ясно, что алгоритмом 8.2 можно вычислить значащими двоичными цифрами, если имеет столько же цифр, при этом неважно, где расположена запятая. Например, если и имеет битов, можно очевидным образом изменить масштаб и представить как 1 и последующие битов дробной части.

Теперь покажем, что время необходимое для возведения в квадрат целого числа размера не превышает по порядку времени обращения целого числа размера Метод основан на тождестве

Приведем алгоритм, использующий (8.10) с подходящим изменением масштаба.

Алгоритм 8.2. Возведение в квадрат с помощью обратных величин

Вход, -разрядное целое число в двоичной записи.

Выход. Двоичная запись числа

Метод.

1. Применяем алгоритм 8.1 для вычисления Для этого добавляем нулей к применяем процедуру для вычисления и сдвигаем результат.

2. Аналогично вычисляем

3. Полагаем Заметим, что где Слагаемое возникает из-за того, что отбрасывание знаков при вычислении может привести к ошибке вплоть до 1. Так как то

4. Вычисляем

5. Пусть четыре последние бита числа Увеличиваем или уменьшаем на минимально возможную величину так, чтобы последние четыре бита результата совпали с последними четырьмя битами в

Теорема 8.3. Алгоритм 8.2 вычисляет

Доказательство. В силу способа, которым отбрасываются цифры на шагах 1 и 2, можно ручаться лишь за то, что

Так как и ошибка в С заключена между —1 и 1, то связанная с ней ошибка в не превосходит

Так как то эта ошибка не превосходит 4. Отбрасывание цифр в строке 4 может увеличить ошибку до 5. Таким образом, Следовательно, вычисление последних четырех цифр в на шаге 5 гарантирует, что корректируется так, что становится равным .

Пример 8.2. Путь Тогда

и

Далее,

Тогда

Таким образом, квадрат числа 13, и на шаге 5 не нужна никакая коррекция.

Теорема 8.4. Найдется такая постоянная с, что

Доказательство. В алгоритме 8.2 трижды вычисляются обратные к числам, задаваемым цепочками длины не более Вычитания на шагах 3 и 4 требуют Об времени, а на шаге 5 выполняется работа фиксированного объема, не зависящего от Следовательно,

для некоторой постоянной

Таким образом, Так как то, полагая получаем нужное неравенство.

Теорема и равны с точностью до постоянных множителей.

Доказательство. Мы уже показали, что и для некоторых постоянных Легко вывести

неравенство заметив, что

Таким образом, равны с точностью до постоянных множителей.

Когда мы обсуждаем деление -разрядных двоичных чисел, мы фактически подразумеваем деление числа, содержащего до битов, на число, содержащее в точности битов, причем ответ содержит не более битов. Очевидно, что так что Более того, с помощью тождества можно показать, изменяя подходящим образом масштаб, что для некоторой постоянной с

Поскольку как легко показать, можно переписать (8.12) в виде

Так как то в силу (8.13) справедливо неравенство где Итак, мы доказали, что все рассматриваемые функции заключены между и для некоторых положительных постоянных

Следствие. Деление -разрядного двоичного целого числа на -разрядное можно выполнить за время Об

Доказательство. В силу теорем 7.8 и 8.5.