Главная > Построение и анализ вычислительных алгоритмов
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

8.2. УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ

Покажем, что время (как число битовых операций) умножения целых чисел равно с точностью до постоянного множителя времени деления и оно так же связано с операциями возведения в квадрат и обращения. В данном разделе мы будем употреблять такие обозначения:

время умножения двух целых чисел размера n

время деления целого числа размера не более на целое число размера n

время возведения в квадрат целого числа размера n время обращения целого числа размера

Здесь время измеряется числом битовых операций. Мы будем предполагать (что вполне разумно), что удовлетворяет неравенствам

для Предполагаем, что остальные три функции также обладают этим свойством.

Сначала покажем, что -разрядное двоичное целое число можно обратить по существу за то же время, что и умножить два -разрядных двоичных числа. Так как не является целым числом для то под "обратным" к числу мы на самом деле понимаем приближение к дроби имеющее значащих двоичных разрядов (битов).

Поскольку предполагается, что на изменение масштаба (сдвиг двоичной запятой) время не тратится, мы можем с тем же успехом сказать, что "обратное" к числу частное отделения на . В остальной части этого раздела термин "обратное" употребляется именно в этом смысле.

Сначала рассмотрим, как найти последовательные приближения к числу где целое. Пусть будет приближением к Тогда точное значение А можно представить в виде

Если в (8.1) взять в качестве приближения к число то получим формулу

которую можно использовать для нахождения приближения числа А по его приближению. Заметим, что если то

Это показывает, что итерация по формуле (8.2) дает квадратичную скорость сходимости. Если то число правильных двоичных разрядов удваивается при каждой итерации.

Поскольку число предположительно содержит много двоичных разрядов, то для первых приближений не обязательно брать все его цифры, потому что на правильные цифры числа влияют только старшие разряды в Если в первые цифр справа от запятой верны, то цифр числа можно найти по формуле (8.2). Иными словами, для вычисления берем в только цифр справа от запятой и находим используя -разрядное приближение числа и отбрасывая затем все разряды правее после запятой. Подобное использование приближенных значений может, конечно, повлиять на сходимость, так как ранее предполагалось, что число точно.

Применим эти соображения в алгоритме, вычисляющем частное где — это -разрядное двоичное целое с Метод по существу определяется формулой (8.2), к которой добавлено изменение масштаба (перенос запятой), чтобы можно было работать только с целыми числами. Таким образом, не надо заботиться о положении запятой.

Алгоритм 8.1. Обращение целых чисел

Вход, -разрядное двоичное целое число Для удобства предполагаем,что - степень числа целое число с двоичной записью х (например,

Выход. Целое число равное

Метод. Вызываем где ОБРАТНОЕ - рекурсивная процедура, приведенная на рис. 8.1. Она вычисляет

Рис. 8.1. Процедура для обращения целых чисел.

приближение любого являющегося степенью числа 2. Заметим, что в результате обычно получается -разрядное число. Исключение составляет случай, когда степень числа 2; здесь в результате получится -разрядное число.

По данным битам числа, обратного строки 2—4 вычисляют битов числа, обратного к Строки 5—7 корректируют последние три бита. На практике можно было бы перескочить через строки 5—7 и получить нужную точность дополнительным применением формулы (8.2) в конце. Мы предпочли включить в программу цикл в строках 5—7, чтобы упростить понимание алгоритма и доказательство правильности его работы.

Пример 8.1. Вычислим Здесь . Вызываем ([10011001]), которое по очереди рекурсивно вызывает с аргументами 11001], [10] и [1]. В строке 1 находим и возвращаемся к ([10]) в строке 2, где полагаем Затем в строке 3 вычисляем

Далее в строке 4 полагаем Цикл в строках 5—7 ничего не меняет. Возвращаемся к вызову ([1001]) с [100] в качестве приближения к

В строке 2 при имеем Тогда Снова цикл в строках 5—7 не приводит к изменениям. Возвращаемся к ([10011001]) в строке 2, причем Далее

Следовательно, в строке В строке 6 находим, что (т. е. 213153 в десятичной записи) равно 32589, тогда как Поэтому цикл в строках 5—7 добавляет 1 к 213, что дает 214, или в двоичной записи.

Теорема 8.1. Алгоритм 8.1 находит такое число что

Доказательство. Доказательство проводится индукцией по Базис, т. е. случай тривиален в силу строки 1. Для проведения шага индукции положим Тогда По предположению индукции

где В силу строки определяется равенством

Так как то значит, Отсюда следует, что и потому для представления достаточно битов.

Рассмотрим произведение равное в силу (8.3)

Подставив вместо в (8.4) и сделав некоторые алгебраические упрощения, получаем

Разделив (8.5) на видим, что

где По предположению индукции и в силу неравенства имеем Так как то

В строке Далее,

так что из (8.6) вытекает

Поэтому

где Так как то прибавление к числа, не превосходящего 6, дает число, удовлетворяющее предположению индукции для Поскольку именно это и делается в строках 5—7, то шаг индукции выполнен.

Теорема 8.2. Существует такая постоянная с, что

Доказательство. Достаточно показать, что алгоритм 8.1 тратит времени. На строку 2 уходит битовых операций. Строка 3 состоит из возведения в квадрат и умножения, что требует соответственно времени, а также вычитания, расходующего Об времени. Заметим, что умножение на степени числа 2 не тратит битовых операций; мы считаем, что разряды сомножителей просто занимают новые положения, т. е. они будто бы сдвигаются. В силу нашего предположения справедливо неравенство Кроме того, (см., например, разд. 2.6) и, значит, сложность строки 3 ограничена величиной для некоторой постоянной с. Сложность строки 4 равна, очевидно, Об

Может показаться, что цикл в строках 5—7 требует три умножения, но можно проделать необходимые вычисления за одно умножение и несколько сложений и вычитаний не более чем -разрядных двоичных целых чисел. Поэтому сложность строк 5—7 ограничена величиной для некоторой постоянной Объединяя все эти сложности, заключаем, что

для некоторой постоянной

Мы утверждаем, что найдется такая постоянная с, что Можно выбрать с так, чтобы было Докажем наше утверждение индукцией по Базис, т. е. случай очевиден. Шаг индукции получается в силу (8.7),

поскольку

Так как в силу нашего предположения а оценка очевидна, можно переписать (8.8) в виде

Поскольку то из (8.9) следует, что

Ясно, что алгоритмом 8.2 можно вычислить значащими двоичными цифрами, если имеет столько же цифр, при этом неважно, где расположена запятая. Например, если и имеет битов, можно очевидным образом изменить масштаб и представить как 1 и последующие битов дробной части.

Теперь покажем, что время необходимое для возведения в квадрат целого числа размера не превышает по порядку времени обращения целого числа размера Метод основан на тождестве

Приведем алгоритм, использующий (8.10) с подходящим изменением масштаба.

Алгоритм 8.2. Возведение в квадрат с помощью обратных величин

Вход, -разрядное целое число в двоичной записи.

Выход. Двоичная запись числа

Метод.

1. Применяем алгоритм 8.1 для вычисления Для этого добавляем нулей к применяем процедуру для вычисления и сдвигаем результат.

2. Аналогично вычисляем

3. Полагаем Заметим, что где Слагаемое возникает из-за того, что отбрасывание знаков при вычислении может привести к ошибке вплоть до 1. Так как то

4. Вычисляем

5. Пусть четыре последние бита числа Увеличиваем или уменьшаем на минимально возможную величину так, чтобы последние четыре бита результата совпали с последними четырьмя битами в

Теорема 8.3. Алгоритм 8.2 вычисляет

Доказательство. В силу способа, которым отбрасываются цифры на шагах 1 и 2, можно ручаться лишь за то, что

Так как и ошибка в С заключена между —1 и 1, то связанная с ней ошибка в не превосходит

Так как то эта ошибка не превосходит 4. Отбрасывание цифр в строке 4 может увеличить ошибку до 5. Таким образом, Следовательно, вычисление последних четырех цифр в на шаге 5 гарантирует, что корректируется так, что становится равным .

Пример 8.2. Путь Тогда

и

Далее,

Тогда

Таким образом, квадрат числа 13, и на шаге 5 не нужна никакая коррекция.

Теорема 8.4. Найдется такая постоянная с, что

Доказательство. В алгоритме 8.2 трижды вычисляются обратные к числам, задаваемым цепочками длины не более Вычитания на шагах 3 и 4 требуют Об времени, а на шаге 5 выполняется работа фиксированного объема, не зависящего от Следовательно,

для некоторой постоянной

Таким образом, Так как то, полагая получаем нужное неравенство.

Теорема и равны с точностью до постоянных множителей.

Доказательство. Мы уже показали, что и для некоторых постоянных Легко вывести

неравенство заметив, что

Таким образом, равны с точностью до постоянных множителей.

Когда мы обсуждаем деление -разрядных двоичных чисел, мы фактически подразумеваем деление числа, содержащего до битов, на число, содержащее в точности битов, причем ответ содержит не более битов. Очевидно, что так что Более того, с помощью тождества можно показать, изменяя подходящим образом масштаб, что для некоторой постоянной с

Поскольку как легко показать, можно переписать (8.12) в виде

Так как то в силу (8.13) справедливо неравенство где Итак, мы доказали, что все рассматриваемые функции заключены между и для некоторых положительных постоянных

Следствие. Деление -разрядного двоичного целого числа на -разрядное можно выполнить за время Об

Доказательство. В силу теорем 7.8 и 8.5.

1
Оглавление
email@scask.ru