8.9. АСИМПТОТИЧЕСКИ БЫСТРЫЙ АЛГОРИТМ НАХОЖДЕНИЯ НОД ПОЛИНОМОВ

При построении алгоритмов для нахождения наибольшего общего делителя мы меняем нашу схему и рассматриваем сначала случай полиномов, поскольку в случае целых чисел приходится преодолевать дополнительные трудности. Пусть два полинома, наибольший общий делитель которых надо вычислить. Мы предполагаем, что Легко добиться выполнения этого условия, а именно: если то заменяем полиномы и полиномами т. е. вторым и третьим членами последовательности остатков, и работаем, отправляясь от них.

Разобьем нашу задачу на две части. Первая состоит в построении алгоритма, отыскивающего последний член последовательности остатков, степень которого больше половины степени полинома Формально, пусть то единственное целое число, для которого Заметим, что если имеет степень то в предположении, что поскольку для всех

Введем рекурсивную процедуру которая по полиномам таким, что формирует матрицу (см. разд. 8.8), где т. е. последний член последовательности остатков, степень которого больше половины степени полинома

В основе ПНОД-алгоритма лежит тот факт, что частные от деления полиномов степеней зависят только от старших членов делимого и старших членов делителя. Процедура ПНОД приведена на рис. 8.7.

Пример 8.11. Пусть

и

Допустим, мы пытаемся вычислить Если то в строках и

Затем вызываем ПНОД в строке 4. Можно проверить, что на этом шаге

Рис. 8.7. (см. скан) Процедура ПНОД.

В строках 5 и 6 вычисляем

Находим, что значит, в строках 7 и 8

Таким образом, в строке 9

В строке 10 обнаруживаем, что т. е. частное равно Следовательно, в строке 11 получаем результат

Заметим, что

это верно, ибо в последовательности остатков для член является последним полиномом, степень которого больше половины степени

Рассмотрим матрицу вычисляемую в строке 4 процедуры ПНОД. Предположительно, есть

где обозначает частное из последовательности остатков для т. е. Однако в строке 5 мы использовали как матрицу чтобы получить где последний член последовательности остатков, степень которого больше Надо показать, что обе эти интерпретации матрицы корректны, т. е.

Точно так же мы должны показать, что матрица вычисляемая в строке 9, может играть предназначенную ей роль, т. е.

Эти результаты вытекают из следующих лемм. Лемма 8.6. Пусть

где

где Пусть частные остатки и соответственно. Если (т. е. ), то

(б) в полиномах все члены степени и выше совпадают.

Доказательство. Рассмотрим процесс деления на с помощью обычного алгоритма, который делит первый член полинома на первый член полинома чтобы получить первый член частного. Первый член частного умножается на и вычитается из Первые членов, полученных таким способом, не зависят от Но частное содержит лишь члены степени Поэтому если т. е. то частное не зависит от Если то частное не зависит от Но неравенство следует из Таким образом, утверждение (а) доказано. Что касается утверждения то аналогичные рассуждения показывают, что члены остатка, имеющие степень и выше, не зависят от Аналогично члены остатка, имеющие степень и выше, не зависят от Но Таким образом, в все члены степени и выше совпадают.

Лемма 8.7. Пусть где Пусть Тогда

т. е. частные, входящие в последовательности остатков для и совпадают по крайней мере до того места., где во второй последовательности появляется остаток степени, не большей половины степени полинома

Доказательство. Лемма 8.6 гарантирует совпадение частных и достаточного количества старших членов в

соответствующих остатках, входящих в рассматриваемые последовательности.

Теорема 8.17. Пусть такие полиномы, что Тогда

Доказательство. Теорема доказывается простой индукцией по в которой учитывается лемма 8.7, чтобы гарантировать, что матрица в строке 4 равна в строке 9 равна

Теорема 8.18. Процедура ПНОД выполняется за шагов, если ее аргументы имеют степени не выше здесь время умножения двух полиномов степени

Доказательство. Докажем утверждение для случая, когда степень числа 4. Поскольку время выполнения процедуры ПНОД, очевидно, не убывает с ростом то наша теорема будет тогда верна и для произвольного Если степень числа 4, то

Таким образом, время выполнения процедуры ПНОД для входа степени удовлетворяет условию

для некоторой постоянной с. Другими словами, тело процедуры ПНОД включает в себя два вызова той же процедуры для аргументов половинного размера и постоянное число других операций с временной сложностью или Решение неравенства (8.27) должно быть известно читателю; оно ограничено сверху функцией для некоторой постоянной

Перейдем к изложению полного алгоритма нахождения наибольших делителей. В нем участвует процедура ПНОД, вычисляющая затем где степень входа.

Алгоритм 8.7. НОД-алгоритм

Вход. Полиномы для которых Выход. Наибольший общий делитель для Метод. Вызываем процедуру где рекурсивная процедура, приведенная на рис. 8.8.

Пример 8.12. Продолжим пример 8.11. Там Мы уже нашли, что

Рис. 8.8. Процедура НОД.

Поэтому в строке 3 вычисляем

Обнаруживаем, что не делит В строке 5 находим, что

Так как последний полином делит то вызов процедуры НОД в строке 6 завершает работу в строке 1 и выдает в качестве ответа Разумеется, также является наибольшим общим делителем для

Доказательство корректности алгоритма 8.7 тривиально, если доказать, что он заканчивает свою работу. Таким образом, корректность алгоритма вытекает из анализа времени его работы, что составляет содержание следующей теоремы.

Теорема 8.19. Если то алгоритм 8.7 выполняется за шагов, где время умножения двух полиномов степени

Доказательство. Неравенство

где и постоянные, описывает время работы алгоритма 8.7. Действительно, степень полинома меньше половины степени

полинома так что первое слагаемое в (8.28) отражает рекурсивный вызов в строке 6. Слагаемое отражает деления и умножения в строках вызов процедуры ПНОД в строке 2. Легко видеть, что решение неравенства (8.28) ограничено сверху функцией где k — некоторая постоянная.

Следствие. НОД двух полиномов степени не выше можно вычислить за время