§ 4.3. Экспоненциальные формулы: числа Ферма

История чисел Ферма очень схожа с историей чисел Мерсенна. Ферма знал, что если простое, то должно быть степенью двойки. Поэтому, интересуясь простыми, необходимо смотреть только на числа вида . В письме, адресованном шевалье Френиклю (Frenicle), другому математику-любителю, Ферма выписал эти числа для

Затем он предположил, что все числа вида простые. Как ни странно, Ферма, кажется, не пытался разлагать на множители эти числа методом, аналогичным использованному им для разложения чисел Мерсенна. Если бы он применил этот метод, то увидел бы, что число составное. Необходимую проверку Эйлер сделал столетие спустя. Мы будем изучать его метод в § 10.2.

Интересно также, что Френикль не обнаружил ошибки Ферма. В конце концов, он был слишком занят попытками разложения чисел Мерсенна на множители. Френикль не мечтал затмить Ферма-математика, но тон его корреспонденции наводит на мысль, что он очень хотел найти ошибку в работе Ферма. Тем не менее, кажется, он был согласен с Ферма в справедливости его гипотезы.

В отличие от чисел Мерсенна, о которых известно, что они являются богатым источником больших простых чисел, среди чисел Ферма простых известно очень мало. Фактически, все известные простые числа Ферма — это список, неизменный со времен Ферма. Конечно, вычислять числа Ферма при «больших» значениях очень трудно. В конце концов, формула, описывающая эти числа — двойная экспонента, т.е. экспонента от экспоненты.

В двух предыдущих параграфах мы немного познакомились с историей самых известных чисел, описываемых экспоненциальными формулами. Доказательства упомянутых результатов мы оставим до главы 10. В настоящий момент нам придется довольствоваться знанием того, что числа Мерсенна — неисчерпаемый источник очень больших простых чисел.

Следует указать, что предложенный Ферма метод разложения чисел Мерсенна весьма прост для объяснения и нетруден при доказательстве. Но есть более элементарное рассуждение, которое нашел бы и сам Ферма; оно требует только нескольких удачных отождествлений (см. [8]). Несмотря на это, мы откладываем изучение метода Ферма до девятой главы. К тому моменту мы будем владеть основными понятиями и теоремами теории групп, которые позволят нам дать более короткое и прозрачное обоснование метода Ферма. В качестве бесплатного приложения мы сможем использовать те же самые идеи в ряде других случаев, один из которых — метод Эйлера определения делителей чисел Ферма.

Один из фундаментальных принципов развития математики заключается в том, что важные частные задачи нередко решаются только после развития общих методов и абстрактных теорий, выявляющих связи и аналогии между результатами, которые раньше считались имеющими мало общего. Эти связи, в свою очередь, часто указывают на неожиданные приложения новых методов.