§ 9.2. Симметрии

Одно из наиболее важных приложений групп — изучение симметрии. Можно было бы даже сказать, что группы — это перевод понятия «симметрии» на язык математики. Поэтому

нет ничего удивительного в том, что группы играют ключевую роль во многих дисциплинах, для которых симметрии носят основополагающий характер: в геометрии, кристаллографии и физике.

Сказав это, мы должны признать, что наше представление о симметрии довольно туманно. В геометрии под симметрией понимают такое преобразование, которое, будучи применено к точкам фигуры, не меняет ее внешнего вида. Лучший способ осознать это может быть следующим. Представьте, что вы видите геометрическую фигуру, скажем, многоугольник. Теперь закройте глаза на то время, пока кто-то применяет к ней преобразование. Если, открыв глаза, вы не сможете с уверенностью определить, подверглась ли фигура преобразованию, или нет, то это преобразование — симметрия. Такое пояснение может показаться все еще довольно смутным, но его вполне достаточно, чтобы «потрогать руками» простые примеры этой главы. Основательное обсуждение симметрии в науке и искусстве смотри в [50] ([Д.8]).

Попытаемся найти все симметрии равностороннего треугольника. Прежде всего, у нас есть три поворота вокруг центра треугольника против часовой стрелки: на 120°, 240° и 360°. Последний из них совпадает с поворотом на 0°. Кроме того, есть еще три осевых симметрии относительно биссектрис треугольника. Ясно, что перечисленные шесть преобразований удовлетворяют критерию, сформулированному в предыдущем абзаце, и, как следствие, относятся к симметриям правильного треугольника. Более того, можно показать, что других Симметрии у треугольника нет. Мы еще немного поговорим об этом в конце параграфа.

Мы описали множество, но у нас пока нет операции. Если же представлять симметрию как преобразование совокупности точек, образующих треугольник, то естественный кандидат на операцию — композиция преобразований, т.е. симметрии. Поскольку композиция отображений ассоциативна,

первое условие, накладываемое на операцию в группе, очевидно, выполнено. Роль единичного элемента играет поворот на 0°, который на самом деле вообще ничего не делает с треугольником.

А как насчет обратного? Обратным к повороту на 120° будет поворот на 240°, и наоборот, поскольку а поворот на 360°, по существу, то же самое, что поворот на 0°. Каждая из осевых симметрий очевидным образом обратна сама себе. Итак, все симметрии треугольника, описанные выше, имеют обратные элементы. Поэтому множество всех симметрий равностороннего треугольника с операцией композиции является группой порядка 6, которую обычно обозначают символом

Пронумеруем вершины равностороннего треугольника, как показано на рисунке: 1 и 2 — вершины при основании, вершина, противоположная основанию.

Равносторонний треугольник

Нумерация вершин дает возможность описать симметрии треугольника как перестановки вершин. Например, при повороте на 120° каждая вершина переходит в соседнюю по направлению против часовой стрелки. Существует очень практичное обозначение для такой перестановки:

Это такое преобразование треугольника, при котором вершина 1 переходит на место, занимавшееся ранее вершиной 2,

вершина 2 переходит на место третьей, а вершина 3 становится на место первой. В верхней строчке нашего обозначения преобразований треугольника всегда будут стоять 1, 2 и 3 в стандартном порядке; а в нижней строчке мы будем записывать места, на которых окажутся соответствующие вершины после применения преобразования к треугольнику. Заметим, что места носят номера вершин, которые занимали их до преобразования. Рассмотрим другой пример. Осевую симметрию относительно биссектрисы угла при вершине 3 можно записать в виде:

Если через обозначить поворот на 120°, то поворот на 240° можно записать как

единичный элемент группы — поворот на 360°. Пусть а обозначает любую из осевых симметрий. Тогда Мы хотели бы сопоставить «произведению» соответствующее ему преобразование треугольника. Заметим, что не может равняться Действительно, «умножая» с правой стороны предположительное равенство на и учитывая соотношение мы получаем: т.е. противоречие. Аналогично можно показать, что арфеиарф Значит, не поворот, а какая-то из осевых симметрий. Однако поскольку предположение влечет ложное равенство Итак, осевая симметрия, отличная от а.

Пусть осевая симметрия а, которую мы только что рассматривали, оставляет неподвижной вершину 3. Чтобы подчеркнуть этот факт, обозначим ее через Вернемся к нашему вопросу. Поворот переводит вершину 1 на место вершины 2, в то время как перемещает вершину 2 на место 1. Таким образом, композиция этих преобразований оставляет вершину 1 на месте, т.е. Обозначив символом осевую

симметрию, оставляющую неподвижной вершину 1, получим соотношение:

Мы могли бы вычислить другим способом, используя обозначения перестановок вершин, введенные выше. Так

Прежде чем выполнять вычисления, заметим: запись означает, что применяется к 1 раньше т.е.

Следовательно,

Используя только основные свойства групп, мы можем, опираясь на доказанное равенство стзр вычислить несколько соотношений между элементами забыв об их истинной природе. Например, пусть группа с операцией Если то обратным к «произведению» х у будет у х. Для проверки этого утверждения достаточно перемножить элементы:

Учитывая доказанный простой факт из теории групп и сохраняя штрих для обозначения обратных элементов, имеем:

Но мы уже установили тождество: . А так как заключаем, что Поэтому,

В частности, не абелева группа.

Равенство влечет много других соотношений. Умножая его слева на и учитывая тождество получаем: азах; в то время, как умножение его справа на дает: Заметим, что поскольку операция в не коммутативна, мы должны оговаривать, с какой стороны умножаем равенство на элемент.

Продолжая эти вычисления достаточно долго, мы можем заполнить таблицу умножения для В общей ситуации таблица умножения конечной группы представляет собой таблицу, строки и столбцы которой «пронумерованы» элементами группы, и, если операция в группе обозначена то в клетке таблицы, находящейся на пересечении строки х и столбца у, стоит произведение Таблица умножения группы имеет вид:

(см. скан)

Заметим, что ни в строках, ни в столбцах выписанной таблицы нет повторяющихся элементов. Это общий факт, имеющий место для любой группы. Действительно, предположим, что у нас есть группа с операцией. Значения клеток строки таблицы умножения, отвечающей элементу о имеют вид: для некоторых Допустим теперь, что существуют такие для которых о Тогда

где а — обратный к о элемент группы. Итак, значения клеток совпадают тогда и только тогда, когда они лежат

в одном столбце. В частности, все элементы одной строки таблицы умножения группы должны быть различны. Аналогичные рассуждения доказывают соответствующий результат для столбцов.

Группа симметрии правильного -угольника, обозначаемая имеет порядок и порождается поворотом на градусов и одной из его осевых симметрии. Бели через а обозначить осевую симметрию, то

Такая группа называется группой диэдра порядка Для проверки того факта, что группа диэдра действительно описывает симметрии правильного многоугольника, необходимо привлекать линейную алгебру. Подробности можно найти в книге [6] ([Д.5]).