Главная > Введение в теорию чисел. Алгоритм RSA
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 9.6. Циклические подгруппы

Как обычно, обозначим символом операцию на конечной группе Определим степень элемента а этой группы стандартным образом:

и рассмотрим множество его степеней:

Очевидно, это конечное множество. Мы сказали «очевидно», потому что конечное множество, так что не может иметь бесконечного числа элементов. Но такое может быть только в том случае, если существуют равные степени а с разными показателями. Другими словами, найдутся такие натуральные что

Пусть а — обратный элемент к а. Умножая обе части равенства на получим: единичный элемент. Следовательно, для данного элемента найдется натуральное число к, для которого Таким образом,

обратный элемент к а совпадает с степенью самого а. В частности, обратный к а принадлежит множеству Поскольку при умножении двух степеней элемента а снова получается его степень, то это последняя капля, позволяющая нам сделать вывод: подгруппа

Чему равен порядок группы Предположим, что к — наименьшее натуральное число, обладающее свойством Если то мы можем разделить на к с остатком: где . Значит,

Но так что Иначе говоря, любая степень а, показатель которой больше к, равна степени с некоторым меньшим показателем. Следовательно,

Более того, все эти элементы различны. Действительно, если то . С другой стороны, по предположению, меньше к — наименьшего натурального числа, обладающего таким свойством. Значит, т.е. Таким образом, порядок группы равен к.

Итак, у нас появился простой метод построения подгрупп в данной группе Выберем произвольный элемент тогда

• множество степеней а является подгруппой в G;

• порядок группы равен наименьшему натуральному к, для которого

Сейчас удобный момент для введения следующей терминологии. Подгруппа состоящая из всех степеней одного элемента а, называется циклической подгруппой группы а элемент а — ее образующей. Наименьшее натуральное к, удовлетворяющее соотношению называется порядком элемента а.

И как нетрудно убедиться, порядок циклической подгруппы совпадает с порядком ее образующей.

В качестве простого приложения разработанного метода определим структуру группы порядок которой — простое число Примером такой группы служит с операцией сложения. Предположим, что Н — какая-то подгруппа в По теореме Лагранжа порядок Н должен делить порядок равный Так как простое, то порядком Я может быть только либо 1, либо . В первом случае а во втором Таким образом, в группе есть только две подгруппы. Теперь выберем произвольный элемент аевби обозначим через Н циклическую подгруппу, им порожденную. Так как то Н не может состоять только из единичного элемента и значит, . В частности, циклическая группа, причем любой ее элемент, отличный от является образующей. Суммируем эти результаты в следующей теореме.

Теорема о группах простого порядка. Если порядок группы G прост, то

• G циклическая;

• G имеет только две подгруппы: саму ;

• любой элемент группы за исключением является образующей всей группы.

Итак, любая группа простого порядка — циклическая. Обратное же, вообще говоря, неверно. Например, порядок группы равен но она циклическая, и 2 — ее образующая. Мы вернемся к этому примеру в главе 11, где докажем теорему о примитивных корнях.

Хотя пока мы подробно обсудили лишь циклические подгруппы, это не означает, что других подгрупп не бывает. Мы убедимся в этом в следующем параграфе.

1
Оглавление
email@scask.ru