§ 1.4. Греки и целые числа

Все античные цивилизации знали целые числа и умели оперировать с ними. Это знание носило по большей части чисто

эвристический характер, однако для практических целей его было достаточно, поскольку числа использовались только для пересчета и ведения счетов. Греки, которым был присущ более философский подход, начали рассматривать числа сами по себе, со своей собственной жизнью, а не как чистое средство счета. В результате они разделили логику и арифметику. Первая оказалась для них «наукой об обращении с перенумерованными предметами, а не числами», тогда как вторая занималась «умственной природой чисел». Вторая цитата принадлежит Платону (Plato). В его «Республике» ([35]) мы читаем также:

«... арифметика оказывает великое и возвышающее действие, побуждающее душу рассуждать об абстрактных числах, препятствуя привлечению к доказательству видимых или осязаемых предметов.»

Смешно, но сейчас мы пользуемся словом арифметика для обозначения того, что греки называли логикой. Однако их арифметика не умерла; она превратилась в современную теорию чисел.

Среди теоретико-числовых проблем, которыми занимались греки, находим:

• метод вычисления наибольшего общего делителя двух целых чисел;

• метод поиска положительных целых чисел, меньших данного числа;

• доказательство бесконечности множества простых чисел.

Эти задачи подробно обсуждаются в самой знаменитой из дошедших до нас греческих книг, «Элементах» Эвклида, написанных в Александрии около 300 г. до н. э.

«Элементы» разделены на 13 книг. Три из них посвящены теории чисел, остальные — геометрии плоскости и трехмерных тел, а также построению вещественных чисел и их свойствам. Обсуждение теоретико-числовых проблем начинается в книге VII. В ней содержатся определения простых и составных чисел и метод вычисления наибольшего общего делителя путем последовательных делений. Книга VIII посвящена в основном геометрическим прогрессиям. В книге IX содержится доказательство того, что простых чисел бесконечно много, которое мы обсуждаем в § 4.5, а также формула для совершенных чисел, которую можно найти в упражнениях к главе 3.

Многие другие греческие математики занимались задачами, теоретико-числовыми по своей природе. Первое место среди них принадлежит Диофанту (Diophantus). В его «Арифметике», написанной около 250 г., он подробно рассматривает решение неопределенных уравнений с целыми коэффициентами; подробности см. в § 5.6. После Диофанта греческая математика отошла от теории чисел, и хотя среди арабов, индийцев и в Европе в период Возрождения было много хороших математиков, никто из них не занимался непосредственно теорией чисел. Этот предмет находился в оцепенении, пока не возродился вновь, непосредственно из греческих источников, в XVII веке.