Глава 9. Группы

В этой главе мы вводим понятия «группа» и «подгруппа» и доказываем теорему Лагранжа. Группы — это один из «таксономических классов», которые используются при классификации математических структур с общими характеризующими свойствами. Как при знакомстве с любым новым классом объектов, мы сможем понять, что из себя представляет группа, только познакомившись с большим количеством частных случаев. Примеры, обсуждаемые в данной главе, включают в себя группы симметрии многоугольников и группы обратимых целых чисел по модулю Последний из них является ключевым для приложения групп к теории чисел в главах 10 и 11.

§ 9.1. Определения и примеры

Группа обладает двумя основными составляющими: множеством и операцией, определенной на этом множестве. Обозначим множество буквой а операцию — символом. Под операцией мы понимаем правило, согласно которому любым двум элементам о и b множества ставится в соответствие третий элемент из обозначаемый

В математике довольно часто изучаются множества, снабженные операцией. Вам знакомы примеры: натуральные числа с операцией сложения, целые числа с операцией сложения, рациональные числа с операцией умножения, векторы в трехмерном пространстве с операцией векторного умножения.

Однако не любое множество с операцией является группой. Множество с операцией называется группой только в том случае, если операция удовлетворяет следующим условиям:

• Ассоциативность: для любых элементов

• Единичный элемент: существует такой элемент что при любом

• Обратный элемент: для каждого найдется элемент а называемый обратным к , удовлетворяющий соотношению

Причина, по которой группа так определяется, состоит в том, что множества с операцией, удовлетворяющей этим условиям, часто встречаются и обладают некоторыми очень приятными и полезными свойствами. То есть группы определяются именно так не по Божественному промыслу, а по вполне прагматическим соображениям.

Заметим, что мы не требуем коммутативности операции, т. е. равенства для любой пары Еще раз отметим, что такое требование продиктовано соображениями удобства: существует много интересных групп, операция в которых не коммутативна. Те группы, у которых операция все же коммутативна, называются абелевыми.

Нередко множества, снабженные операцией, не являются группами. Например, сложение натуральных чисел ассоциативно и имеет 0 в качестве единичного элемента. Однако, единственное обратимое натуральное число (т.е. число, имеющее обратный элемент по сложению) — это 0, поскольку отрицательные числа не принадлежат множеству значит натуральные числа не образуют группу.

Множество векторов трехмерного пространства с векторным произведением — более показательный пример. Оно не является группой потому, что векторное произведение не ассоциативно. Кстати, скалярное произведение векторов вообще не является операцией: результатом скалярного умножения двух векторов является число, а не вектор.

С другой стороны, группы в изобилии встречаются среди знакомых множеств с операциями. Например, группы относительно операции сложения. Ввиду того, что только два целых числа обратимы относительно умножения, множество не является группой по умножению, так же, как и из-за невозможности деления на 0. Однако, если выбросить 0 из этих множеств, то они станут группами. Таким образом, группы относительно умножения.

Для любого положительного числа множество образует группу по сложению. Множество квадратных матриц с вещественными коэффициентами и операцией сложения матриц — тоже группа, в то время как обратимые матрицы (т.е. матрицы с ненулевым определителем) образуют группу относительно умножения матриц. Заметим, что последний пример

определяет не абелеву группу, ибо произведение матриц некоммутативно.

Число элементов в группе называется ее порядком. Все группы в приведенных примерах бесконечны, за исключением чей порядок равен Другая хорошо известная конечная группа — это множество с операцией умножения целых чисел; ее порядок равен 2. Обратите внимание, что говоря о «группе», мы в действительности называем подлежащее множество. Это общепринятый подход, и мы будем в дальнейшем его придерживаться по мере возможности. Более интересные примеры конечных групп мы изучим в следующих двух параграфах.

Последний комментарий к терминологии. Многие результаты этой главы будут относиться к «общим» группам. Поэтому, во избежание недоразумений, удобно использовать нейтральный символ для обозначения операции в общей группе. Однако при этом мы будем употреблять термины «умножить» и «умножение», даже если обозначает совсем другую операцию. Причина в том, что такие неологизмы, как «звездануть» и «звездение» режут слух и отвлекают внимание читателя от существа дела.