§ 1.5. Ферма, Эйлер и Гаусс

В период Возрождения работы многих греческих авторов были открыты заново, отредактированы и опубликованы. Это не относится, однако, к греческим математикам. Например, Баше (Bachet) опубликовал оригинальный текст «Арифметики» Диофанта только в 1621 году вместе с переводом на латынь. Незадолго до 1636 года Пьер де Ферма, советник Верховного суда Тулузы, приобрел это издание. Ферма изучал математику в свободное время; он прочитал и тщательно

законспектировал свой экземпляр. Идеи, вызванные у Ферма чтением книги Диофанта, знаменуют возрождение теории чисел в Европе.

Ферма родился в 1601 году; он не был профессиональным математиком. Очень немногие тогда зарабатывали себе на жизнь математикой. Кроме того, ввиду отсутствия специальных математических журналов было очень непросто знакомить других со своими результатами. Первый журнал, целиком посвященный математике, появился только в 1794 году. Однако современник Ферма Паскаль говорил, допуская, возможно, некоторое преувеличение, что математиков «так мало, как еще никогда не было ни в одном народе, и уже в течение очень долгого времени». Поэтому математики того времени могли более или менее эффективно обмениваться идеями в письмах. Задача облегчалась тем, что находились люди, бравшие на себя роль посредников, — получив последние новости, они пересылали их всем своим корреспондентам. Во времена Ферма самым знаменитым из этих посредников был отец Марэн Мерсенн (Mersenne). Круг его корреспондентов включал, помимо самого Ферма, такие светила как Паскаль (Pascal), Декарт (Descartes) и Роберваль (Roberval).

Именно в форме писем к Мерсенну и другим математикам того времени до нас и дошла большая часть трудов Ферма. После смерти Ферма его сын Самюэль собрал все бумаги своего отца, которые смог найти, намереваясь их опубликовать. Первый опубликованный том представлял собой издание Баше книги Диофанта с пометками Ферма на полях. Самая знаменитая из этих записей содержит утверждение, которое позднее нарекли «великой теоремой Ферма». На современном языке она гласит, что для любых целых чисел таких, что справедливо равенство Ферма утверждает, что он нашел «поистине замечательное» доказательство этого факта, однако «поля недостаточно широки, чтобы его записать». Великая теорема Ферма была наконец

доказана в 1995 году — более 300 лет спустя. Дополнительные детали и необходимые ссылки см. в § 3.8.

Математические работы Ферма не ограничивались теорией чисел. Ему принадлежат также принципиальные результаты в аналитической геометрии, интегральном и дифференциальном исчислении. Кроме того, он делит с Паскалем (Pascal) честь открытия вероятности. Несмотря на любовь Ферма к теории чисел, ему не удалось заинтересовать ею своих современников. Наследство от него принял Леонард Эйлер, который родился в 1707 году, через 42 года после смерти Ферма.

Эйлер был одним из наиболее плодовитых математиков всех времен, он внес вклад во все разделы чистой и прикладной математики, существовавшие в восемнадцатом веке. В отличие от Ферма, ему платили за математические исследования, он занимал посты в Берлинской и Санкт-Петербургской академиях. Эти академии были на самом деле исследовательскими институтами, в мемуарах которых публиковались статьи их членов.

Интерес Эйлера к теории чисел был результатом переписки с Кристианом Гольдбахом (Christian Goldbach). Подобно своему предшественнику Мерсенну, Гольдбах не был великим математиком, занятие математикой было его хобби. Однако именно он навел Эйлера на работы Ферма по теории чисел. В постскриптуме к своему первому письму к Эйлеру, написанному в 1729 году, Гольдбах добавляет

«Знакомы ли Вы с наблюдением Ферма о том, что все числа простые? Он говорит, что не может этого доказать, и, насколько я знаю, никому другому это тоже не удалось.»

Первая реакция Эйлера была скептической, однако Гольдбах продолжал настаивать, и в 1730 году Эйлер принялся за чтение работ Ферма. Впоследствии он доказал многие результаты Ферма и развил их. В главе 10 мы опишем метод, с помощью которого Эйлер ответил (отрицательно!) на вопрос,

поднятый Гольдбахом. Подробности истории чисел вида можно найти в § 4.3.

После труда Эйлера теория чисел приобрела гораздо большую популярность. Однако ее систематическое исследование началось только с книги К. Ф. Гаусса «Арифметические исследования», опубликованной в 1801 году. Влияние книги Гаусса было огромным; свидетельством тому то, что большинство книг, посвященных теории чисел, включая и нашу, следуют подходу Гаусса. Многие из приводимых здесь результатов и используемых методов взяты непосредственно из «Исследований».

Гаусс был сыном ремесленника, но вундеркиндом, и его математические способности были замечены очень рано. Его вклад в математику огромен и захватывает столь различные области, как дифференциальная геометрия и небесная механика. Ему принадлежат также важные продвижения в геодезии и физике. Важность его работы настолько велика, что современники нарекли его «князем математиков».

Ферма, Эйлер и Гаусс — герои этой книги. Большинство излагаемых здесь идей восходят либо к античной Греции, либо к работам одного из этих трех математиков.