Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 3.7. Греки и иррациональностиВ этом параграфе мы рассматриваем одно из приложений фундаментального свойства простых чисел, доказанного в § 3.6. Мы хотим показать, что если Идея этого метода доказательства очень проста, и мы часто пользуемся им в повседневной жизни. Вот достаточно безыскусный пример. Пусть Вам нужен файл, который находится на одной из двух дискет — синей или красной. К несчастью, Вы не помните, на какой именно, а меток на дискетах нет. Что Вы делаете? Вставляете одну из дискет, скажем синюю, в дисковод, и просматриваете ее оглавление. Если нужного файла там нет, то он находится на другой дискете. Если говорить более формально, то Вы предполагаете, что нужный файл находится на синей дискете. Обнаружив, что это не так, Вы заключаете, что предположение было неверным, и что файл, следовательно, находится на красной дискете. Причина, по которой мы предполагаем, что такая стратегия будет работать, состоит в том, что никакое утверждение не может быть одновременно истинным и ложным. Так, если файл находится на одной из двух дискет, и если его нет на голубой дискете, то он должен быть на красной. Разумеется, в повседневной жизни редко встречаются столь простые ситуации. Например, Ваша уверенность в том, что файл находится на одной из двух дискет, может оказаться ошибочной. Или, хуже того, Вы могли походя стереть нужный файл. К счастью, в математике такой беспорядок редкость. Посмотрим, как можно применить предложенную стратегию к доказательству того, что число «численное соотношение между двумя аналогичными величинами, измеряемое количеством повторений одной из этих величин в Это определение почти в точности повторяет определение Эвклида из книги V «Начал». К сожалению, такое определение не позволяет узнать, что такое отношение, если Вы еще не знаете, что это такое. В этом смысле оно похоже на знаменитое эвклидово определение точки: «нечто, что не имеет частей». К счастью, нам надо знать только, что иррациональное число это вещественное число, не представимое в виде дроби. Итак, перед нами вопрос, к которому метод доказательства от противного вполне приложим. Мы хотим проверить, что В проведении доказательства следует соблюдать осторожность. Напомним, что мы предполагаем (в надежде прийти к противоречию), что
Более того, можно считать, что дробь записана в приведенном виде, т.е. знаменателя. Предположение о взаимной простоте числителя и знаменателя существенно — оно облегчает поиск противоречия. Чтобы иметь дело только с целыми числами, возведем обе части равенства (7.1) в квадрат. Получим
Значит,
Сокращая на У вопроса о существовании иррациональных чисел долгая и яркая история. Согласно греческому историку Геродоту (Herodotus), геометрия зародилась в Египте, где фараон раздавал подданным прямоугольные участки земли под годовую ренту. Если Нил смывал часть участка, то необходимо было вызывать землемера для определения, какая часть утеряна. Плата владельца участка сокращалась пропорционально потерянной площади. Египтяне интересовались только практическими измерениями площади и другими подобными вычислениями, поэтому они неявно полагали все числа дробями. На передний план иррациональные числа выдвинулись в Древней Греции в результате развития более теоретического подхода к геометрии. Считается, что иррациональные числа были открыты в философской школе (или секте), основанной Пифагором. Развитие геометрии чрезвычайно интересовало пифагорейцев, поскольку они полагали, что числа (под которыми они подразумевали целые числа и дроби) лежат в основе мироздания. Можно представить себе, как ужаснулись они, поняв, что имеются отношения величин, не выражаемые никакой дробью. Говорят, что Хипас из Метапонтума (Hypasus of Metapontum) был изгнан из секты за обнародование этого секрета. Решив, что этого недостаточно, пифагорейцы даже воздвигли ему гробницу, чтобы продемонстрировать, что он для них умер! Открытие иррациональных чисел с неизбежностью вскоре распространилось среди философов. Платон утверждает в диалоге «Театет», что Феодор Сиренский (Theodorus of Cirene) доказал иррациональность чисел Приведенное выше доказательство иррациональности числа «диагональ квадрата несоизмерима с его стороной, так как если предполагать их соизмеримость, то нечетные числа равны четным.» Это чрезвычайно сжатая форма доказательства иррациональности числа
|
1 |
Оглавление
|