§ 3.7. Греки и иррациональности

В этом параграфе мы рассматриваем одно из приложений фундаментального свойства простых чисел, доказанного в § 3.6. Мы хотим показать, что если простое, то число иррациональное. Доказательство будет первым в длинной цепочке доказательств от противного.

Идея этого метода доказательства очень проста, и мы часто пользуемся им в повседневной жизни. Вот достаточно безыскусный пример. Пусть Вам нужен файл, который находится на одной из двух дискет — синей или красной. К несчастью, Вы не помните, на какой именно, а меток на дискетах нет. Что Вы делаете? Вставляете одну из дискет, скажем синюю, в дисковод, и просматриваете ее оглавление. Если нужного файла там нет, то он находится на другой дискете. Если говорить более формально, то Вы предполагаете, что нужный файл находится на синей дискете. Обнаружив, что это не так, Вы заключаете, что предположение было неверным, и что файл, следовательно, находится на красной дискете.

Причина, по которой мы предполагаем, что такая стратегия будет работать, состоит в том, что никакое утверждение не может быть одновременно истинным и ложным. Так, если файл находится на одной из двух дискет, и если его нет на голубой дискете, то он должен быть на красной. Разумеется, в повседневной жизни редко встречаются столь простые ситуации. Например, Ваша уверенность в том, что файл находится на одной из двух дискет, может оказаться ошибочной. Или, хуже того, Вы могли походя стереть нужный файл. К счастью, в математике такой беспорядок редкость.

Посмотрим, как можно применить предложенную стратегию к доказательству того, что число иррационально. Кстати. что означает в этом контексте слово «иррациональный»? Иногда можно услышать, что иррациональное — это что-то, чего нельзя понять. Однако здесь мы имеем в виду всего лишь отрицание не рациональное, т.е. «не являющееся отношением». Согласно Оксфордскому словарю английского языка, отношение представляет собой

«численное соотношение между двумя аналогичными величинами, измеряемое количеством повторений одной из этих величин в

Это определение почти в точности повторяет определение Эвклида из книги V «Начал». К сожалению, такое определение не позволяет узнать, что такое отношение, если Вы еще не знаете, что это такое. В этом смысле оно похоже на знаменитое эвклидово определение точки: «нечто, что не имеет частей». К счастью, нам надо знать только, что иррациональное число это вещественное число, не представимое в виде дроби. Итак, перед нами вопрос, к которому метод доказательства от противного вполне приложим. Мы хотим проверить, что не дробь? Давайте предположим, что это не так, и придем к противоречию. Если нам это удастся, то мы докажем иррациональность числа

В проведении доказательства следует соблюдать осторожность. Напомним, что мы предполагаем (в надежде прийти к противоречию), что является дробью. Другими словами, мы предполагаем, что существуют натуральные числа a и b такие, что

Более того, можно считать, что дробь записана в приведенном виде, т.е. В таком виде можно записать каждую дробь: для этого достаточно произвольную дробь сократить на наибольший общий делитель числителя и

знаменателя. Предположение о взаимной простоте числителя и знаменателя существенно — оно облегчает поиск противоречия.

Чтобы иметь дело только с целыми числами, возведем обе части равенства (7.1) в квадрат. Получим

Значит, делится на Согласно фундаментальному свойству простых чисел, это означает, что о делится на Поэтому существует такое число с, что Подставляя последнее выражение в (7.2), получаем

Сокращая на мы заключаем, что должно делиться на Повторное использование фундаментального свойства простых чисел дает, что b делится на Значит, и и делятся на Однако это невозможно, поскольку Тем самым, мы пришли к ожидаемому противоречию, и не может быть дробью. Значит, число иррационально.

У вопроса о существовании иррациональных чисел долгая и яркая история. Согласно греческому историку Геродоту (Herodotus), геометрия зародилась в Египте, где фараон раздавал подданным прямоугольные участки земли под годовую ренту. Если Нил смывал часть участка, то необходимо было вызывать землемера для определения, какая часть утеряна. Плата владельца участка сокращалась пропорционально потерянной площади.

Египтяне интересовались только практическими измерениями площади и другими подобными вычислениями, поэтому они неявно полагали все числа дробями. На передний план иррациональные числа выдвинулись в Древней Греции в результате развития более теоретического подхода к геометрии.

Считается, что иррациональные числа были открыты в философской школе (или секте), основанной Пифагором.

Развитие геометрии чрезвычайно интересовало пифагорейцев, поскольку они полагали, что числа (под которыми они подразумевали целые числа и дроби) лежат в основе мироздания. Можно представить себе, как ужаснулись они, поняв, что имеются отношения величин, не выражаемые никакой дробью. Говорят, что Хипас из Метапонтума (Hypasus of Metapontum) был изгнан из секты за обнародование этого секрета. Решив, что этого недостаточно, пифагорейцы даже воздвигли ему гробницу, чтобы продемонстрировать, что он для них умер!

Открытие иррациональных чисел с неизбежностью вскоре распространилось среди философов. Платон утверждает в диалоге «Театет», что Феодор Сиренский (Theodorus of Cirene) доказал иррациональность чисел . К сожалению, он ничего не говорит о методе доказательства.

Приведенное выше доказательство иррациональности числа было известно грекам. В главе 23 книги I своей «Первой аналитики» Аристотель (Aristotle) пишет, что

«диагональ квадрата несоизмерима с его стороной, так как если предполагать их соизмеримость, то нечетные числа равны четным.»

Это чрезвычайно сжатая форма доказательства иррациональности числа Более развернутое доказательство содержится в предложении 117 книги X эвклидовых «Начал».