§ 2.3. Бесконечно малая и бесконечно большая величины
Переменная
, имеющая предел,
равный нулю, называется бесконечно малой величиной или, короче, бесконечно
малой.
Таким образом,
переменная
есть
бесконечно малая, если для любого
найдется
такое, что
.
Нетрудно
видеть, что для того, чтобы переменная
имела предел
, необходимо и достаточно,
чтобы
,
где
есть
бесконечно малая.
Переменная
называется бесконечно
большой, если для любого
найдется такое
, что
. При этом пишут
, или
(1)
и говорят, что
стремится к бесконечности.
Если бесконечно
большая
,
начиная с некоторого
, принимает только положительные
значения или только отрицательные значения, то пишут
, или
(2)
соответственно
, или
(3)
Таким образом,
из (2), так же как из (3), следует (1). Пример переменной
показывает, что может иметь
место соотношение (1), в то время как не имеет места ни (2), ни (3).
Отметим следующие очевидные
свойства:
1. Если переменная
ограничена, а
бесконечно большая,
.
2. Если абсолютная величина
ограничена снизу положительным
числом, а
-
не равная нулю бесконечно малая, то
.
Докажем только
второе свойство. Дано, что для некоторого числа
имеет место неравенство
и для всякого
существует
такое, что
.
(4)
Тогда
.
Зададим
произвольное положительное число
и подберем по нему
так, чтобы
, а по
подберем такое
, чтобы имело место
свойство (4). Тогда
, что и требовалось доказать.
Из высказанных
двух утверждений получаются следующие следствия:
.
Отметим, что
если последовательность
неограничена, то она не обязательно
бесконечно большая. Например, последовательность
неограничена, но она не является
бесконечно большой, так как в ней имеются как угодно малые члены с каким угодно
большим (нечетным) номером.
З а м е ч а н и
е. Любая не равная нулю постоянная величина (последовательность) не является
бесконечно малой. Из всех постоянных величин бесконечно малой является только
одна – равная нулю. Если про некоторую величину известно, что она постоянна и
ее абсолютная величина меньше любого положительного числа
, то она равна нулю.
Т е о р е м а
1. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную является
бесконечно малой последовательностью, т. е. если
и 
, то
.
В самом деле,
зададим
и
подберем
так,
чтобы
.
Тогда
,
что и требовалось доказать.