7. Сходимость интерполяции.

При каких условиях погрешность метода стремится к нулю, т. е. когда и как интерполяционный многочлен сходится к На практике мы имеем два способа перехода к пределу. Первый состоит в том, чтобы, сохраняя степень интерполяционного многочлена, уменьшить шаг сетки, т. е. воспользоваться более подробными таблицами. Второй — сохраняя шаг сетки, увеличивать число используемых узлов, т. е. увеличивать степень многочлена.

Уменьшение шага. Если у(х) имеет непрерывные производные вплоть до 1-й, то при интерполяции многочленом степени погрешность метода есть . В этом случае при фиксированной степени многочлена и уменьшении шага сетки погрешность неограниченно убывает. Если ограничена производная, входящая в оценку ошибки, то интерполяционный многочлен равномерно сходится к на ограниченном отрезке b.

Строго говоря, для каждого значения выбирают свои узлы интерполяции, ближайшие (на данной сетке) к точке т. е. составляют свой многочлен При этом точка заведомо лежит между крайними узлами интерполяции, используемыми в данном многочлене. Поэтому входящий в оценку погрешности (10) полином ограничен равномерно по , где h — шаг сетки (для неравномерных сеток — максимальный шаг). Для заданной точности определим шаг сетки из условия где Тогда для всех сеток с данным и более мелким шагом и любой точки отрезка погрешность интерполяционного многочлена узлы которого выбраны указанным выше образом, будет не более е.

Аналогичные утверждения справедливы для интерполяционного многочлена Эрмита.

Увеличение числа узлов. Увеличивать степень интерполяционного многочлена далеко не всегда целесообразно. Во-первых, неизвестно, как быстро растет максимум производной с увеличением ее порядка. Во-вторых, у функции может быть лишь конечное число производных. Рассмотрим интерполяцию на отрезке , когда число узлов, используемых для построения интерполяционного многочлена, неограниченно возрастает.

Известно, что если — целая функция, то при произвольном расположении узлов на многочлен равномерно сходится к при . Но целая функция — это функция, разложимая в степенной ряд с бесконечным радиусом сходимости. Гораздо чаще приходится импонировать не целые функции, так что практическая ценность этого утверждения невелика.

Если же на функция имеет непрерывные производные сколь угодно высоких порядков, то это не гарантирует сходимости при произвольном расположении узлов. Например, возьмем функцию

Ее график приведен на рис. 3. Все производные этой функции на непрерывны. Но если разместить все узлы интерполяции левее точки то, очевидно, ее 0, и никакой сходимости быть не может.

Правда, в этом примере расположение узлов было грубо неравномерным.

Рис. 3.

Рис. 4.

Но равномерное расположение не всегда спасает. С. Н. Бернштейн в 1916 г. доказал, что для функции на отрезке покрытом равномерной сеткой узлов, значения между узлами интерполяции неограниченно возрастают при Это иллюстрируется рис. 4, где даныграфики функции и двух многочленов разных степеней.

Более того, для любой наперед заданной системы узлов можно найтй такую непрерывную функцию, что построенные по этим узлам и функции многочлены Ньютона не будут равномерно сходиться.

Но сходимости в среднем для многочленов Ньютона всегда можно добиться следующим несложным выбором узлов. Пусть — система многочленов, ортогональных с весом на отрезке — нули этих многочленов. Используем эти точки в качестве узлов интерполяций; тогда

при для любой непрерывной функции.

Для многочленов Эрмита получены более сильные результаты. Пусть функция непрерывна на возьмем в качестве узлов нули многочленов Чебышева первого рода (см. Приложение); фиксируем в этих узлах значения функции, а вместо ее производной возьмем любые числа удовлетворяющие условию Построенный по всем этим значениям многочлен равномерно сходится к при .

Очевидно, если у имеет ограниченную производную, то в качестве можно брать значение производной в узлах.

Но и для многочленов Эрмита неудачный выбор узлов может испортить сходимость. Например, ряд Тейлора (17) расходится, если больше расстояния от до ближайшей особой точки в комплексной плоскости.

Выводы. На практике интерполировать многочленом высокой степени нежелательно. Если 3 — 5 узлов (точнее, свободных параметров) не обеспечивают требуемой точности, то обычно надо не увеличивать число узлов, а уменьшать шаг таблицы.