2. Метод линеаризации.
Запишем задачу на собственные значения (1) через компоненты собственного вектора:
Задачу (69) можно рассматривать как систему уравнений с 
неизвестным 
; эта система нелинейна благодаря наличию членов 
Для решения нелинейрой системы целесообразно применить метод Ньютона. Давая всем переменным малые приращения 
и линеаризуя уравнения (69) относительно приращений, получим
(70)
здесь индекс s обозначает номер итерации.
Система (70) содержит 
уравнений, линейных относительно неизвестных приращений. Этих неизвестных 
но поскольку собственный вектор определен с точностью до множителя, то, не нарушая общности, можно положить или 
или 
. После этого число уравнений будет равно числу неизвестных приращений.
Напомним, что ньютоновский процесс вблизи решения сходится квадратично. Число итераций зависит от выбора нулевого приближения. При удачном приближении достаточно 3—5 итераций. А если за 10 итераций процесс не сошелся, то скорее всего он не сойдется, и надо изменить нулевое приближение. Заметим, что при неудачном нулевом приближении процесс иногда сходится не к искомому собственному значению, а к другому.
Матрица линейной системы (70) отличается от матрицы А по структуре мало только добавлением одного ненулевого столбца. Поэтому для матрицы А общего вида на одну итерацию требуется 
арифметических действий, для почти треугольной матрицы — всего 
действий, а для ленточной матрицы даже 
действий (где 
— ширина ленты).
Метод линеаризации успешно применяется к матрицам порядка 
. Он особенно выгоден для трехдиагональных матриц; для них получение одного собственного значения и. собственного вектора требует обычно 
арифметических действий.
