4. Многомерное уравнение.
Схемы бегущего счета естественно обобщаются на многомерное уравнение переноса. Рассмотрим, для определенности, задачу с двумя пространственными переменными в области 
Скорости переноса по осям 
считаем положительными и, для простоты, постоянными.
Построим, например, многомерный аналог абсолютно устойчивой схемы (11). Введем по переменной 
сетку 
, а по переменной 
— сетку 
. Значения решения в узлах этой сетки обозначим следующим образом:
Возьмем шаблон, изображенный жирными линиями на рис. 66, и составим на нем схему
где 
— шаги по соответствующим направлениям.
Исследовать схему (29) несложно. Из принципа максимума сразу следует безусловная 
устойчивость этой схемы. Ее невязка определяется разложением по формуле Тейлора и равна 
? Следовательно, схема (29) сходится в 
с первым порядком точности 
Рис. 66.
Вычисления проводятся послойно. Значение 
в узле, отмеченном на рис. 66 двойным кружком, выражается по формуле (29) через значения в нескольких других вершинах ячейки. Когда решение на слое t вычислено, тоего значения на слое 
можно вычислять по этой формуле вдоль направлений 
(см. рис. 67, а, где последовательность вычислений указана стрелками).
Заметим, что последовательность вычислений может быть иной. Например, можно вести расчет на слое вдоль направлений 
(рис. 67, б). В принципе, не обязательна даже послойная организация расчета; достаточно, чтобы последовательность расчета соответствовала какому-то порядку заполнения первого координатного угла в пространстве 
ячейками, при котором новая ячейка прикладывается тремя гранями к ранее уложенным ячейкам или координатным плоскостям.
Двумерный аналог симметричной схемы (12), имеющий второй порядок точности, нетрудно написать методом баланса. Для этого проинтегрируем уравнение (27а) по ячейке, преобразуем трехкратные интегралы в двукратные и вычислим последние по формуле трапеций. Детали настолько очевидны, что мы на них не будем останавливаться.
Таким образом, в уравнении переноса многомерность не приводит к принципиальным усложнениям. Вычислительный алгоритм остается простым и экономичным. В декартовых координатах даже формулы расчета имеют обычно простой вид, хотя в криволинейных координатах (цилиндрических, сферических и т. д.) они могут быть громоздкими.
Рис. 67.
