4. Квазиравномерные сетки.

При тех значениях аргумента, где функция резко меняется, шаг таблицы должен быть малым, иначе точность вычисления по этой таблице будет плохой. А на тех участках, где функция меняется медленно, хорошую точность обеспечивает и крупный шаг таблицы; мелкий шаг при этом даже невыгоден, ибо он приводит к сильному увеличению объема таблицы.

Поэтому неравномерная сетка, удачно подобранная для определенной функции, позволяет построить таблицу небольшого объема, по которой можно производить вычисления с хорошей точностью. Разумеется, для других функций эта сетка может быть малопригодной.

Каждая конкретная сетка либо равномерна (т. е. ее шаг постоянен), либо неравномерна. Но нам нередко приходится сгущать сетку, т. е. рассматривать на последовательность сеток с возрастающим числом интервалов N. Разумеется, если таблица уже задана, то сетку сгущать невозможно, но можно ее разреживать, выбрасывая из таблицы половину, две трети и т. д. точек. Это также является некоторым способом построения последовательности сеток. Сгущение сеток широко применяется при численном решении дифференциальных и интегральных уравнений.

Среди последовательностей сеток важное место занимают квазиравномерные сетки. Будем называть сетки квазиравномерными, если существует дважды непрерывно дифференцируемая функция преобразующая отрезок в отрезок так, что каждой сетке соответствует равномерная сетка причем на этом отрезке () ограничена.

Если эти условия выполнены, то шаг сетки а разность двух соседних шагов есть

Значит, при большом числе узлов разность соседних шагов , т. е. много меньше длины шага, и соседние интервалы почти равны. Поэтому такие сетки и называют квазиравномерными или почти равномерными. Однако отношение длин далеких друг от друга интервалов может быть большим.

Для того чтобы сгустить квазиравномерную сетку надо сгустить равномерную сетку U (увеличить N) и по ней вычислить новую сетку. Середину интервала квазиравномерной сетки надо вычислять при помощи того же преобразования, полагая

брать равной полусумме соседних узлов нельзя.

Рассмотрим некоторые примеры. -

а) Если надо детально передать поведение функции вблизи одного из концов отрезка , то удобно преобразование

Значение соответствует малому шагу сетки у левого конца отрезка, значение правого. Шаги этой сетки составляют геометрическую прогрессию со знаменателем Отношение первого и последнего шага сетки примерно равно при большом а оно может быть очень большим. Такая сетка полезна, например, в задачах атомной физики, где волновые функции наиболее быстро меняются вблизи ядра.

б) На полупрямой тоже можно построить квазиравномерную сетку; например, таким преобразованием;

Параметр а управляет сеткой; чем он меньше, тем гуще узлы сетки при и реже при . Последний интервал этой сетки бесконечно велик, ибо точка бесконечно удаленная (отсюда ясно, что середину интервала квазиравномерной сетки надо находить при помощи основного преобразования!). Эта сетка полезна при вычислении интегралов с бесконечным верхним пределом.

в) Преобразование при позволяет построить квазиравномерную сетку на бесконечной прямой. Первый и последний интервалы этой сетки бесконечны.

г) Преобразование определяет не квазиравномерную сетку. Здесь не выполнено условие строгой положительности . По этому преобразованию строится такая сетка;

В результате разность двух соседних шагов — первого и второго — вдвое больше одного из них при любом N. Значит, вблизи точки сетка не стремится к равномерной при .

Если сетка квазиравномерна, то производные на ней вычисляются либо проще, либо точнее, чем на произвольной неравномерной сетке. Например, если на такой сетке взять подряд три узла то и аналогично

Это означает, что узел расположен вблизи точки повышенной точности для этих узлов, в окрестности размером . Из сделанного в п. 2 замечания следует, что одночленные формулы (2), рассчитанные на произвольную сетку:

в узлах квазиравномерной сетки обеспечивают точность Пользоваться в этом случае формулами типа (7), рассчитанными на равномерную сетку, не следует на квазиравномерной сетке их точность будет хуже.

На квазиравномерных сетках справедливо разложение остаточного члена в ряд (17), если порождающее сетки преобразование достаточное число раз непрерывно дифференцируемо. В этом случае для повышения точности расчетов можно употреблять метод Рунге — Ромберга, подставляя в формулы (16)-(18) вместо h величину . Для квазиравномерных сеток этот метод особенно выгоден, ибо для них прямые формулы высокого порядка точности очень громоздки.

Только в одном пункте квазиравномерные сетки уступают равномерным. На них ряд для остаточного члена (17) даже в случае симметричной формулы содержит обычно все степени поэтому каждая лишняя сетка позволяет повысить порядок точности лишь на единицу, а не на двойку.

Квазиравномерные сетки часто используют при решении сложных задач математической физики, когда необходимо при малом числе узлов детально передать особенности решения.