Главная > Численные методы
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

2. Стационарные разностные схемы.

Такие схемы можно составлять, непосредственно аппроксимируя производные разностями, или при помощи интегро-интерполяционного метода. Например, для многомерного уравнения простейшая разностная замена производных приводит к схеме

Рис. 88.

Составлять разностные схемы мойшо также вариационными методами. Для этого специальным образом выбирают пробные функции , например, считая их сплайнами, построенными по узловым значениям у.

Пример. Рассмотрим решение двумерного уравнения прямоугольной сетке с шагами . Эквивалентная задача на минимум в этом случае имеет вид

(для простоты мы опускаем краевые условия). Разобьем каждую прямоугольную ячейку на две треугольных (рис. 88) и в треугольных ячейках аппроксимируем и линейными функциями; например, в нижнем треугольнике

Совокупность этих функций образует линейный сплайн. Очевидно,

Аппроксимируя правую часть в ячейке например, константой , легко вычисляем интеграл по этой ячейке:

Аналогично вычисляется интеграл по верхней треугольной ячейке. Суммируя эти интегралы, получим

Функционал является квадратичной функцией узловых значений. Приравнивая нулю производные функционала по и учитывая, что эта величина входит в четыре члена двойной суммы (49), получим разностную схему

Это — стационарная схема; легко видеть, что она аппроксимирует непосредственно исходное дифференциальное уравнение.

Замечание. При помощи вариационного метода удобно составлять разностные схемы высотой точности. Для этого решение и правую часть аппроксимируют сплайнами более высокого порядка, обычно кубическими (такая аппроксимация обсуждалась в гл. VII, § 4, п. 4).

Categories

1
Оглавление
email@scask.ru