3. Удаление корней.

Один из недостатков дихотомии — сходимость неизвестно к какому корню — имеется почти у всех итерационных методов. Его можно устранить удалением уже найденного корня.

Если есть простой корень уравнения (22) и f(х) липшиц-непрерывна, то вспомогательная функция непрерывна, причем все нули функций совпадают, за исключением ибо . Если — кратный корень уравнения (22), то он будет нулем кратности на единицу меньше; остальные нули обеих функций по-прежнему будут одинаковы.

Поэтому найденный корень можно удалить, т. е. перейти к функции . Тогда нахождение остальных нулей сведется к нахождению нулей , Когда мы найдем какой-нибудь корень функции , то этот корень тоже можно удалить, вводя новую вспомогательн функцию . Так можно последовательно найти все корни

Строго говоря, мы находим лишь приближенное значение корня хяах. А функция имеет нуль в точке и полюс в близкой к ней точке (рис. 27); только на некотором расстоянии от этого корня она близка к

Чтобы это не сказывалось при нахождении следующих корней, надо вычислять каждый корень с высокой точностью, особенно если он кратный или вблизи него расположен другой корень уравнения.

Кроме того, в любом методе окончательные итерации вблизи определяемого корня рекомендуется делать не по функциям типа , а по исходной функции . Последние итерации, вычисленные по функции используются при этом в качестве нулевого приближения. Особенно важно это при нахождении многих корней, ибо чем больше корней удалено, тем меньше нули вспомогательной функции соответствуют остальным нулям функции

Учитывая эти предосторожности и вычисляя корни с 8—10 верными десятичными цифрами, зачастую можно определить десятка два корней, о расположении которых заранее ничего не известно (в том числе корней высокой кратности ).