§ 114. Полуэмпирическая формула для энергии ядерной связи и для атомных энергий и масс

Для ядерных расчетов большое значение имеет формула Вайцвеккера, позволяющая с достаточной точностью вычислять массы и внутренние энергии атомов по их составу. Приведем вкратце ее обоснование.

Как было пояснено в предыдущем параграфе, внутренняя энергия атома (ядра) равна собственной энергии нуклонов за вычетом нолной энергии их связи в ядре:

В первом приближении, но еще со значительной ошибкой энергия связи разных ядер пропорциональна числу нуклонов А:

где -коэффициент пропорциональности, который, как и последующие коэффициенты, определяется сопоставлением формулы с экспериментальными данными.

Кулоновское отталкивание протонов в ядре нарушает пропорциональность энергии связи числу нуклонов, так как оно уменьшает энергию связи на величину, пропорциональную квадрату заряда ядра (т. е. пропорциональную и обратно пропорциональную радиусу ядра. Поскольку плотность атомных ядер приблизительно одинакова, то ядерный радиус пропорционален кубическому корню из числа нуклонов. Поэтому, учитывая кулоновскую энергию взаимного отталкивания протонов, которая уменьшает энергию связи, можно принят:

Нуклоны, находящиеся в поверхностном слое ядра, имеют меньшую энергию связи с ядром, чем находящиеся внутри ядра. Число этих нуклонов пропорционально поверхности ядра т. е. квадрату ядерного радиуса, или А 3. Учитывая это уменьшение энергии связи, можно принять:

Наибольшей устойчивостью, т. е. наибольшей энергией связи отличаются ядра (не слишком тяжелые), у которых число протонов и нейтронов приблизительно одинаково, т. е. При отклонении от приблизительного равенства числа протонов и нейтронов в ту или другую сторону обнаруживается уменьшение энергии

связи ядра, и при более или менее значительных отступлениях от соотношения ядро оказывается неустойчивым. Каковы бы ни были причины этот факта (они пояснены в § 115), его следует учесть для уточнения величины энергяи связи ядра. Поскольку понижение устойчивости ядра при значительных отклонениях разности от нуля не завысит от знака этой разности и сказывается тем меньше, чем тяжелее ядро, то можно принять:

Выражение может быть обосновано строже (на основе статистики Ферми), как следствие того, что кинетическая энергия нуклонов минимальна при равенстве чисел нейтронов и протонов.

В приведенных соображениях еще не было учтено влияние полуцелого спина нуклонов. Возможные ориентации спинов, как показывают квантовомеханические соображения, должны влиять на энергию связи ядра в противоположные стороны, когда четные и когда нечетное, а А четное. Член А в выражении энергии связи должен зависеть, таким образом, от четности или нечетности чисел

Суммируя уравнения получаем уравнение для энергии атома; разделив его почленно на приходим к формуле для массы атома; она дает наилучшее согласие с данными опыта при

Таким образом, получаются следующие формулы для вычисления (по энергии связи полной энергии и массы атома:

В этих формулах спиновые поправки и А определяются следующими выражениями:

Значения массы атомов, вычисленные по формуле (34), отличаются от найденных экспериментально (кроме масс легчайших атомов) не более чем в пятой значащей цифре, о чем свидетельствует приводимая таблица:

(см. скан)